基于希爾伯特-黃變換的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法

李雨

(廣西電力系統(tǒng)最優(yōu)化與節(jié)能技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004)

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基于希爾伯特-黃變換的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法

李雨

(廣西電力系統(tǒng)最優(yōu)化與節(jié)能技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004)

摘要：采用特征值求解分析系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定時存在不足：全部特征值的求解在大規(guī)模電力系統(tǒng)中會出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)”；分析大規(guī)模系統(tǒng)的部分特征值求解方法可能遺漏某些重要的模態(tài)。為此，提出一種基于時域特性曲線分析的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法。該方法基于矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算，獲得表征系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的時頻特性曲線，通過希爾伯特-黃變換(Hilbert-HuangTransform，HHT)方法分析該時頻特性曲線獲取系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，進(jìn)行小干擾穩(wěn)定分析。最后，通過WSCC3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：電力系統(tǒng)；時域仿真；矩陣指數(shù)計(jì)算；小干擾穩(wěn)定分析；希爾伯特-黃變換

現(xiàn)代電力系統(tǒng)逐步向超大型互聯(lián)電力系統(tǒng)發(fā)展，電網(wǎng)負(fù)荷需求逐年增加、輸電線路的輸送功率不斷增大，電力系統(tǒng)的運(yùn)行條件變得日益緊張，小干擾穩(wěn)定問題頻繁出現(xiàn)，已經(jīng)成為制約聯(lián)絡(luò)線功率傳輸和互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要因素[1-2]。

常用的計(jì)算小干擾穩(wěn)定的方法是基于狀態(tài)矩陣的特征值計(jì)算，通過判斷特征值實(shí)部在負(fù)半軸的情況說明系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。計(jì)算特征值的方法有QR法(利用矩陣的QR分解，逐步按遞推法構(gòu)造矩陣分解序列的過程，其中Q為正規(guī)正交矩陣，R為上三角形矩陣)，其魯棒性強(qiáng)，收斂速度快，但不能稀疏實(shí)現(xiàn)，因而不能適應(yīng)于大規(guī)模電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性分析[3]。對于大規(guī)模電力系統(tǒng)，QR計(jì)算方法存在“維數(shù)災(zāi)”，很多學(xué)者對關(guān)鍵特征值的求解進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]提出了一種借助Cayley變換將關(guān)鍵特征值計(jì)算變?yōu)橹魈卣髦涤?jì)算的方法，導(dǎo)出了基于稀疏增廣狀態(tài)矩陣的冪法迭代公式；文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Jacobi-Davidson方法求取系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的關(guān)鍵特征子集，使用了電力系統(tǒng)線性化模型中的增廣狀態(tài)矩陣進(jìn)行相應(yīng)面向稀疏的計(jì)算。文獻(xiàn)[6]把Krylov-Schur方法應(yīng)用于大規(guī)模電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性分析，求取狀態(tài)矩陣阻尼比最小的部分特征值。這些方法只計(jì)算一部分對穩(wěn)定性判別有關(guān)鍵影響的特征值，以確保計(jì)算精度和速度都可以滿足大規(guī)模電力系統(tǒng)的要求，但不能保證所有負(fù)阻尼和弱阻尼模式不被漏掉。為了避免特征值直接求解的不足，本文應(yīng)用小擾動后系統(tǒng)的時頻特性，直接獲取狀態(tài)矩陣的跡的軌跡，從而獲取系統(tǒng)的振蕩參數(shù)，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。獲取狀態(tài)矩陣的跡的軌跡就是對狀態(tài)矩陣進(jìn)行指數(shù)計(jì)算，在矩陣指數(shù)計(jì)算常用的數(shù)值方法中，縮放平方法因其更少的矩陣乘法和開方計(jì)算而具有更高的計(jì)算效率和準(zhǔn)確度。

電力系統(tǒng)運(yùn)行過程中，小干擾失穩(wěn)多體現(xiàn)為低頻振蕩問題，衡量機(jī)電振蕩模式有2個常用指標(biāo)：衰減系數(shù)σ和阻尼比ζ。ζ計(jì)及了振蕩頻率，因此使用起來更為方便，目前ζ已成為衡量小干擾穩(wěn)定性最主要的指標(biāo)[7]。對于實(shí)際電網(wǎng)，機(jī)電振蕩模式下ζ應(yīng)達(dá)到多少并沒有統(tǒng)一定義，其典型值的大致范圍為0.02～0.05。

李雨：基于希爾伯特-黃變換的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)方法用于分析振蕩信號時，既能處理線性、平穩(wěn)信號，又能處理非線性、非平穩(wěn)信號，是一種可以根據(jù)信號的局部時變特征進(jìn)行自適應(yīng)時頻分解的分析方法。本文采用HHT方法對系統(tǒng)跡的軌跡進(jìn)行自適應(yīng)分解，得到相關(guān)時頻分量，并對每個分量經(jīng)過Hilbert變換計(jì)算出振蕩頻率、阻尼比ζ等系統(tǒng)的振蕩特性參數(shù)，然后根據(jù)與系統(tǒng)小干擾振蕩的對應(yīng)關(guān)系將這些參數(shù)轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)的關(guān)鍵模態(tài)值，從而反映出系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定情況。最后，本文在WSCC 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例中驗(yàn)證該方法的有效性。

1小干擾穩(wěn)定分析一般性描述

在描述電力系統(tǒng)動態(tài)特性的微分-代數(shù)方程上根據(jù)李雅普諾夫線性化理論，在系統(tǒng)平衡點(diǎn)進(jìn)行線性化，得到小干擾穩(wěn)定的微分代數(shù)方程：

(1)

對式(1)消去運(yùn)行向量Δy得：

(2)

基于線性定常時不變系統(tǒng)的時域解，則式(2)的時域解

(3)

式中Δx(0)為系統(tǒng)自由運(yùn)動的初始狀態(tài)。

設(shè)λ、v、uT分別表示狀態(tài)矩陣A的特征值及對應(yīng)的右向量、左向量，文獻(xiàn)[3]給出了式(3)對應(yīng)的原始狀態(tài)向量的時域解

(4)

基于式(3)、(4)可知

(6)

式中tr(*)為矩陣的跡。

令y(t)=tr(eAt)，則y(t)表示了所有特征值的指數(shù)函數(shù)線性和。

2縮放平方法

對于矩陣指數(shù)的求解方法，文獻(xiàn)[8]應(yīng)用精細(xì)積分法求解，文獻(xiàn)[9]給出了19種求解方法，其中縮放平方法是應(yīng)用最廣泛有效的求解方法。其以2的冪次縮放矩陣來使得矩陣的范數(shù)減少到1階，同時應(yīng)用Padé逼近來獲取矩陣指數(shù)的近似值，然后重復(fù)平方來撤銷縮小的效果[10]。該方法應(yīng)用表達(dá)式為

(7)

(8)

3HHT理論

3.1經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

HHT方法的核心部分在于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)過程，在這個過程中定義了使得進(jìn)行Hilbert變換求取的瞬時頻率具有物理意義的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)信號。IMF信號滿足以下兩個條件[11-12]：條件一，在所有的分析數(shù)據(jù)段，極值點(diǎn)的個數(shù)和零點(diǎn)的個數(shù)必須相等或差值至多為1；條件二，在任意時間點(diǎn)上，分別由局部極大值點(diǎn)、局部極小值點(diǎn)形成的兩條包絡(luò)線的均值為零。但是第二個條件是很難達(dá)到的，研究者對此有不同的近似處理方法，在本文中IMF的篩選條件采用的是法國學(xué)者G-Rilling于2003年提出的基于模態(tài)幅值和估計(jì)函數(shù)的改進(jìn)準(zhǔn)則[12]。

EMD分解的具體步驟：

a)找到原始信號s(t)的所有極大值和極小值點(diǎn)，分別用三次埃爾米特插值函數(shù)得到s(t)的上、下包絡(luò)線emax(t)、emin(t)；

c)將h(t)作為新的s(t)，重復(fù)步驟a)、b)，直到h(t)滿足IMF條件則停止，此時得到第一階IMF記作c1(t)；

d)將r(t)=s(t)-c1(t)作為新的s(t)，重復(fù)步驟a)、b)、c)，依次得到第二階IMF、第三階IMF，……，最終可得：

(10)

式中：ci(t)為第i個IMF分量；r(t)為剩余量。

① 估計(jì)函數(shù)β(t)∈(θ1,θ2)，θ1、θ2分別為估計(jì)函數(shù)數(shù)值的上下限，θ1、θ2一般取值0.05、0.5。

② 滿足條件①的序列數(shù)與總序列數(shù)的比值達(dá)到1-α，α為可根據(jù)需要設(shè)置數(shù)值的變量，α一般取值0.05；

③ 過零點(diǎn)數(shù)和極值點(diǎn)數(shù)相等或相差1。

分解終止條件，應(yīng)用的是Huang[13]等人在提出EMD分解的同時給出的分解終止條件。

3.2Hilbert變換

對任一上述分解得到的IMF信號ci(t)，Hilbert變換為

(11)

式中τ為積分變量。

即可獲得解析信號

(12)

式中：a(t)為信號的瞬時幅值；φ(t)為信號的瞬時相位。

從而信號的瞬時幅值a(t)、瞬時相位φ(t)和瞬時頻率f(t)的計(jì)算如下：

3.3小干擾穩(wěn)定信息的提取

一個振蕩模式λ1,2=σ±jω可以表達(dá)為

(14)

式中：A0為b(t)的幅值；ω為角速度；φ為相位。

其響應(yīng)特性

式中ω0為初始角速度。

那么阻尼比

(15)

如果一個振蕩信號x(t)是多個不同頻率的振蕩模式的線性和，即

(16)

該信號進(jìn)行HHT轉(zhuǎn)換得到

(17)

式(16)、(17)中：Ak為第k個模態(tài)的幅值；σk為第k個模態(tài)的衰減系數(shù)；ωk為第k個模態(tài)的角速度；φk為第k個模態(tài)的相位；ak(t)為第k個IMF信號的幅值；φk(t)為第k個IMF信號的相位。

則可知每個IMF分量對應(yīng)一個振蕩模式，通過求解IMF的幅值、頻率可獲得系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

4算例分析

本文采用WSCC3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例進(jìn)行分析，其結(jié)構(gòu)框架如圖1所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)見文獻(xiàn)[14]，發(fā)電機(jī)采用六階模型。

文獻(xiàn)[3]給出了詳細(xì)的狀態(tài)矩陣形成過程，本文不再敘述。由于系統(tǒng)都會存在一個0的特征值，其指數(shù)函數(shù)數(shù)值為常數(shù)1，所以不需要求解該特征值，就在獲取的數(shù)值曲線上減去1。取仿真時長為10s，步長為0.05s，獲得該系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣指數(shù)函數(shù)曲線y(t)如圖2所示。

對y(t)進(jìn)行EMD分解獲得兩個固有模態(tài)分量f1、f2以及剩余分量r，如圖3所示。

按式(13)求解每個IMF的瞬時幅值、瞬時相位和瞬時頻率。

由式(16)、(17)的對應(yīng)關(guān)系得

(18)

式中：fi、σi、ζi分別為原信號不同頻率分量的頻率、衰減系數(shù)和阻尼比；fj、aj為每個IMF的瞬時頻率和瞬時幅值。

對圖3中的每個IMF分量的瞬時值進(jìn)行最小二乘法擬合并應(yīng)用式(13)和式(18)進(jìn)行計(jì)算，獲得IMF分量的頻率、衰減系數(shù)和阻尼比參數(shù)(見表1)。

從表1可以知道原信號分解后獲得兩個振蕩模式-1.099 0±j12.445 0(此處12.445 0=2πf)、-0.324 6±j7.709 0和一個衰減模態(tài)，阻尼比分別為0.088、0.042、1。與對該系統(tǒng)進(jìn)行QR求解得到特征值的對照見表2。

表2本文方法與QR算法的比較

QR算法計(jì)算結(jié)果存在兩個振蕩模態(tài)，本文所提算法能較準(zhǔn)確地判斷系統(tǒng)的振蕩模態(tài)。

5結(jié)束語

本文基于矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算，獲得表征系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的時頻特性曲線。通過HHT方法對該曲線進(jìn)行分解轉(zhuǎn)換，求解出每個分量的瞬時幅值、瞬時相位及瞬時頻率。根據(jù)曲線特性與分解分量的關(guān)系計(jì)算出小干擾穩(wěn)定分析的各模態(tài)參數(shù)，判定穩(wěn)定性。本文的優(yōu)點(diǎn)在于通過曲線獲得振蕩模態(tài)參數(shù)，避免大量特征值的計(jì)算，快速準(zhǔn)確，為大系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定在線分析提供依據(jù)。

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AnalysisMethodforSmallSignalStabilityofPowerSystemBasedon

Hilbert-HuangTransformLIYu

(GuangxiKeyLaboratoryofPowerSystemOptimizationandEnergyTechnology,Nanning,Guangxi530004,China)

Keywords：powersystem;time-domainsimulation;matrixexponentialcalculation;smallsignalstabilityanalysis;Hilbert-Huangtransform(HHT)

Abstract：Therearedeficienciesofthesolutiontoeigenvalueforanalyzingsmallsignalstabilityofthepowersystemincludingdimensiondisastersofsolutionstoalleigenvaluesinlargescalepowersystemsandparteigenvaluesolvingmethodforlargescalesystemsbeinglikelytoleaveoutsomeimportantmodals.Therefore,thispaperproposesakindofanalysismethodforsmallsignalstabilityofpowersystembasedontime-domaincharacteristiccurveanalysis,whichisbasedoncalculationonmatrixexponentialtoobtainthetime-domaincharacteristiccurverepresentingsmallsignalstabilityofthesystem.Meanwhile,itisabletoobtainmodalparametersofthesystembyanalyzingthistime-domaincharacteristiccurvebasedonHilbert-Huangtransformmethodsoastoconductanalysisonsmallsignalstability.Finally,exampleanalysisonWSCC3machinewithninenodesverifiesvalidityofthismethod.

doi:10.3969/j.issn.1007-290X.2016.04.008

收稿日期：2015-10-12修回日期：2016-01-05

中圖分類號：TM71

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-290X(2016)04-0045-05

作者簡介：

李雨(1989)，女，廣西桂林人。在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析與控制。

(編輯彭艷)