帶形區(qū)域上SLE殼的性質(zhì)

田爽爽, 藍(lán)師義

(廣西民族大學(xué)理學(xué)院,廣西南寧530006)

帶形區(qū)域上SLE殼的性質(zhì)

田爽爽, 藍(lán)師義?

(廣西民族大學(xué)理學(xué)院,廣西南寧530006)

利用帶形區(qū)域上SLE的性質(zhì)與Schwarz反射原理,討論了帶形區(qū)域上SLE殼的性質(zhì).給出了R-對稱共形映射與帶形區(qū)域內(nèi)殼的關(guān)系;得到了帶形區(qū)域內(nèi)由一對不相交的殼組成集合與Loewner共形映射之間的關(guān)系;導(dǎo)出了R-對稱共形映射的提升在帶形區(qū)域的殼空間內(nèi)以及帶形區(qū)域的殼對空間上的相關(guān)映射是連續(xù).這就將上半平面上SLE殼的有關(guān)性質(zhì)推廣到了帶形區(qū)域的情形.

Loewner方程;SLE;殼;共形映射

§1 引 言

隨機(jī)Loewner演變(Stochastic Loewner evolution,簡稱SLE)是2000年Schramm[1]在研究回路刪除隨機(jī)游動(dòng)和一致生成樹的尺度極限時(shí)引入的一種研究離散物理模型的一個(gè)隨機(jī)過程.這類隨機(jī)增長的過程是由驅(qū)動(dòng)項(xiàng)為時(shí)間乘以一個(gè)參數(shù)κ的一維Brownian運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典Loewner微分方程來描述的.已經(jīng)知道SLE跡的行為依賴于參數(shù)κ.當(dāng)κ∈(0,4]時(shí),它是一條簡單曲線;當(dāng)κ∈(4,8)時(shí),它是一條自交的曲線;當(dāng)κ∈[8,∞)時(shí),它填滿整個(gè)空間.同時(shí),SLE與統(tǒng)計(jì)物理中網(wǎng)格模型的尺度極限有密切聯(lián)系.已經(jīng)被證明,臨界點(diǎn)滲流探索路徑收斂于SLE6[2];回路刪除隨機(jī)走動(dòng)收斂于SLE2與一致生成樹Peano路徑收斂于SLE8[3];調(diào)和探索過程路徑與離散Gaussian自由場的回路線收斂于SLE4[4]及FK Ising模型的接口收斂于SLE16/3[5]等.

文[6]通過上半平面SLE的性質(zhì)研究了其相應(yīng)殼的性質(zhì),結(jié)合耦合技術(shù)討論了反向SLE與粘合的對稱性.在本文中,討論帶形區(qū)域S1上SLE殼的有關(guān)性質(zhì).首先,利用帶形區(qū)域上Loewner共形映射定義了S1-殼的積與商,同時(shí)給出了一個(gè)對稱集合相關(guān)于S1-殼的萎陷與提升的定義,并討論了它們一些相關(guān)性質(zhì);其次,討論了R-對稱共形映射與帶形區(qū)域內(nèi)殼的關(guān)系.給定一個(gè)定義在?上的R-對稱共形映射S與一個(gè)S1-殼H,證明了一定存在唯一一個(gè)定義在?通過H提升的集合?H上的R-對稱共形映射T使得它關(guān)于H的萎陷等于S(見定理1);接著,通過帶形區(qū)域上Loewner共形映射定義了由S1一對不相交的殼組成集合之間的映射,得到它們之間的互逆關(guān)系及其相應(yīng)殼的積與并的關(guān)系(見定理2);最后,導(dǎo)出了R-對稱共形映射的提升在帶形區(qū)域的殼空間內(nèi)以及帶形區(qū)域的殼對空間上的相關(guān)映射按Hausdor ff度量是連續(xù)的(見定理3).這樣就將上半平面上的殼的有關(guān)性質(zhì)推廣到了帶形區(qū)域的情形.

本文組織如下：§2給出通弦SLE和帶狀SLE的定義和一些相關(guān)的性質(zhì);§3定義帶狀SLEκ殼的積與商,導(dǎo)出了帶狀SLEκ殼與R-對稱共形映射關(guān)系;帶狀SLEκ殼之間的映射及其相互關(guān)系在§4討論;殼空間上相關(guān)映射的連續(xù)性在§5證明.

§2 通弦SLE和帶狀SLE

在這一節(jié),簡要給出通弦SLE和帶狀SLE的定義和一些相關(guān)的性質(zhì),更詳細(xì)的內(nèi)容與背景知識(shí)可參見文[7-9]等.

通弦SLE 假設(shè)Bt是實(shí)軸R上開始于B0=0的標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng),對于κ＞0,令W(t)=表示上半平面,則對于z∈H{0},令gt(z)為下面常微分方程的初值問題

的解.容易看出,只要gt(z)-W(t)有界且不等于0時(shí),則這個(gè)初值問題的解總是存在的.

用τ(z)表示第一次時(shí)間τ使得當(dāng)t→τ時(shí),0是gt(z)-W(t)的極限點(diǎn),也就是

則容易驗(yàn)證,對于一切t≥ 0,Kt是緊集,Gt是開集.把含有參數(shù)t的映射集合(gt：t≥ 0)稱為通弦SLEκ(Schramm-Loewner evolution).集合Kt稱為通弦SLEκ的殼.也容易驗(yàn)證,對于每個(gè)t≥0,映射gt：Gt→H是一個(gè)共形同胚映射,而且Gt是HKt的無界分支.過程W(t)稱為通弦SLEκ的驅(qū)動(dòng)過程或驅(qū)動(dòng)函數(shù).

帶狀SLE 設(shè)Sp={z∈C：0＜Imz＜pπ}是一個(gè)寬度為pπ的一個(gè)帶形區(qū)域且κ＞0.如前面令其中Bt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一維Brownian運(yùn)動(dòng).則對于每個(gè)z∈Sp{0},考慮下面偶極Loewner微分方程

的解gt(z).當(dāng)gt(z)-W(t)不等于0時(shí),初值問題(2.4)有解.

那么,St=SpHt且映射gt：St→Sp是一個(gè)共形同胚映射使得gt(±∞)=±∞.將含參數(shù)t的映射集合(gt：t≥0)稱為帶狀SLEκ;把(2.5)式中的Ht稱為帶狀SLEκ的殼或Sp-殼.

值得指出,當(dāng)p→∞時(shí),帶狀SLEκ就變成通弦SLEκ.也就是,p是一個(gè)伸縮量.因此,不失一般性,可設(shè)p=1,下面將只討論帶形區(qū)域S1上偶極SLEκ殼的性質(zhì).

帶狀SLEκ的跡γ定義為

其中z從帶形區(qū)域S1內(nèi)趨近于0.文[10]已經(jīng)證明跡γ在有限時(shí)間內(nèi)碰到上邊界的概率為零,也就是,γ只有在無限時(shí)間內(nèi)碰到上邊界.由于偶極SLEκ跡局部等同于通弦或徑向SLEκ跡,因此,這推出當(dāng)κ≤4時(shí)帶狀SLEκ的殼與跡是一致的,而后者是S1內(nèi)一條簡單曲線,它不碰到下邊界即實(shí)軸R但碰到上邊界即iπ+R上某個(gè)隨機(jī)點(diǎn)時(shí)就停止;當(dāng)κ≥4時(shí)跡γ不是一條簡單曲線且S1內(nèi)的點(diǎn)被吞沒,而二者之并就構(gòu)成帶狀SLEκ的殼,這個(gè)殼與下邊界相交且跡γ碰到這個(gè)邊界無窮多次,然而一旦它碰到上邊界某個(gè)隨機(jī)點(diǎn)就停止.

考慮帶形區(qū)域S1={z∈C：0＜Imz＜π}.對每一個(gè)定義如在(2.5)的第二個(gè)式子S1-殼H(這里省略了下標(biāo)t),則一定存在唯一的共形映射gH：S1H →S1把S1H映到S1且滿足gH(z)=z+c/z+O(1/z2)當(dāng)z→±∞時(shí).通常把gH稱為Loewner共形映射;常數(shù)c稱為H的S1-容量,并記為scap(H).令fH=g,則容易知道,g?=f?=idS1,其中idS1表示S1上的恒等映射.

對于z∈C,定義IR(z)：=一個(gè)集合H?S1∪R∪IR(S1)稱為內(nèi)部殼,若H是緊的且(S1∪R∪IR(S1))H是連通的.對于任意一個(gè)包含多于一點(diǎn)的內(nèi)部殼H,則一定存在唯一一個(gè)共形映射φH：(∪IR())H→(∪IR())U使得φH(±∞)=±∞ 且φH(±∞)＞0,其中U表示單位圓盤.并記ψH=φ,這將在下一節(jié)用到.

§3 帶狀SLEκ殼與R-對稱共形映射關(guān)系

在這一節(jié)應(yīng)用帶形區(qū)域上Loewner共形映射技術(shù)定義帶狀SLEκ殼的積與商,并討論它們的一些性質(zhì).然后,給出帶狀SLEκ殼與定義在一個(gè)區(qū)域??S1上R-對稱共形映射的關(guān)系.

定義1 設(shè)H1和H2是兩個(gè)S1-殼.(i)若H1? H2，則定義H2/H1=gH1(H2H1). 并稱H2/H1為H2的一個(gè)商殼，記為H2/H1?H2.(ii)積H1·H2定義為K1∪fH1(H2).

則有

命題1 (a)商H2/H1也是S1-殼對于任意S1-殼H1? H2;積H1·H2也是S1-殼對于任意S1-殼H1與H2.

(b)對任意S1-殼H1與H2，有H1? H1·H2與H2=(H1·H2)/H1? H1·H2. 并且，若H1? H2，則H1·(H2/H1)=H2.

(c)帶有積“·”的S1-殼空間是一個(gè)單位元素為?的半群,且?在這個(gè)空間內(nèi)是可遷的.

(d) 在S1內(nèi)成立fH1·H2=fH1? fH2;在S1(H1·H2)內(nèi)成立gH1·H2=gH2? gH2.

(e)scap(H1·H2)=scap(H1)+scap(H2).若H1? H2或H1? H2，則scap(H1)≤ scap(H2).

證 由定義1,并結(jié)合§2中g(shù)H與fH的定義,容易推出該命題成立.

由命題1(d)的第一個(gè)等式得到fH1=fH1·H2?gH2(z ∈ S1H2). 因此，fH1是fH1·H2?gH2的解析延拓,這蘊(yùn)含著H1是由H1·H2和H2唯一確定的.于是下面的定義是合理的.

定義2 設(shè)H1和H2是滿足H1? H2的兩個(gè)S1-殼.則令H2：H1表示唯一的S1-殼H ?H2使得H2/H=H1.

對于一個(gè)S1-殼H,集合BH=∩R是H的基.定義H的雙倍為=H∪IR(H)∪BH.則gH可以延拓到(∪IR())內(nèi)的一個(gè)共形映射,仍記為gH,滿足gH(±∞)=±∞,(±∞)=1與gH?IR=IR?gH.而且gH((∪IR()))=(∪IR())ΛH，其中ΛH?R是某一個(gè)緊集,稱之為H的支撐,如圖1所示.因此,fH被延拓到從(∪IR())ΛH到(∪IR())的一個(gè)共形映射.

圖1 一個(gè)帶形區(qū)域S1-殼H的雙倍?H(左邊)與它的支撐ΛH(右邊)

引理1 共形映射fH不能解析延拓到緊集ΛH?R.

圖2 ?H是?通過H的的萎陷

附注1 由定義3(ii)容易推出?K1·K2=(?K1)K1和?K1·K2=(?K2)K1,若它們兩邊都有意義.

圖3 ?H是?通過H的提升

定義4設(shè)S是區(qū)域?上R-對稱的一個(gè)共形映射.令H是一個(gè)S1-殼使得??與±∞∈/S().記SH為gS(H)?S?fH共形擴(kuò)張到?H,并稱之為S通過H的萎陷.

圖4 定理1的情形,存在唯一的T,也記為SH

§4 帶狀SLEκ殼之間的關(guān)系

圖5 一對S1-殼(H1,H2)唯一決定另一對S1-殼(K1,K2),反之也是一樣

§5 帶狀SLEκ殼映射的連續(xù)性

在這一節(jié)利用帶形區(qū)域內(nèi)殼空間的緊致性,將證明R-對稱共形映射的提升在帶形區(qū)域的殼空間內(nèi)以及帶形區(qū)域的殼對空間上的相關(guān)映射按Hausdor ff度量是連續(xù)的.

定義7 對于(K1,K2)∈Q?,定義K1與K2的商并為K1∨K2=H1∪H2,其中(H1,H2)=f?(K1,K2).

對任意一個(gè)緊子集F?R,令HF表示帶形區(qū)域S1內(nèi)其支撐包含于F的殼的集合,那么空間(HF,dH)是緊致的,其中dH表示Hausdor ff度量(見文[11]).于是,有

定理3 (a)設(shè)F?R是一個(gè)緊致集,S是一個(gè)定義域包含F(xiàn)的R-對稱共形映射.則S?：HF→HS(F)是連續(xù)的.

(b)設(shè)E與F是R的兩個(gè)非空的緊致子集使得E∩F= ?. 則f?與(K1,K2)K1∨K2在HE×HF上是連續(xù)的.

證 (a)由定理假設(shè)知道,S?在HF上有定義,S?的值域是HS(F).設(shè){Hn}是HF內(nèi)的一個(gè)子序列且Hn→H0∈HF.要證明S?的連續(xù)性,只需要證明S?(Hn)→S?(H0)即可.假定這個(gè)結(jié)論不成立.因?yàn)镠W(F)是緊致的,所以通過遍歷一個(gè)子序列,可以假設(shè)S?(Hn)→K06=S?(H0).對每個(gè)nk,在fHnK(?F)上有SHnk=fS?(Hnk)?S?gHnk.同時(shí),在fH0(?F)上序列{gHnk}局部一致收于gH0,且在S(?)S(F)上序列{fS?(Hnk)}局部一致收斂于fK0.因此,SHnk在fH0(? F)內(nèi)局部一致收斂于fK0?S?gH0=：T.而SHnk的定義域是?Hnk=nk∪fHnk(?ΛHnk),它收斂于?H0=0∪fH0(?ΛH0)?fH0(?F).很明顯,?H0fH0(?F)是緊致的.因?yàn)镾Hnk在fH0(?F)內(nèi)局部一致收斂于T,所以由最大值原理得到SHnk在?H0內(nèi)也局部一致收斂,仍用T表示這個(gè)極限函數(shù).注意到Hnk→ H0,SHnk→ K0,因此有T(H0)=K0.在fH0(?F)上等式fK0?S?gH0=S成立蘊(yùn)含著在fH0(?ΛH0)上等式fV(H0)?S?gH0=T成立.后者給出T=SH0.由此得到，K0=SH0(H0)=S?(H0),這推出矛盾.所以這個(gè)假定不成立.

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The properties of SLE hull in the strip region

TIAN Shuang-shuang,LAN Shi-yi
(School of science,Guangxi University for Nationalities,Nanning 530006,China)

In this paper,the properties of SLE hull in the strip region are discussed by using the properties of strip SLE and Schwarz re fl ection principe.The relation between R-symmetric conformal mappings and hulls in the strip region is given.The relationship between the set which consists of a pair of disjoint hulls and Loewner conformal mappings is obtained.It is derived that the lift of a R-symmetric conformal mapping is continuous in the space of hulls in the strip region,and that some related mappings are continuous in the corresponding space of hulls,too.This generalizes the related properties of SLE hull in the upper half-plane to the case of strip region.

Loewner equation;SLE;hull;conformal mapping

35B

O175

A

：1000-4424(2016)04-0451-10

2016-01-16

*通訊作者：shiyilan05@sina.com

國家自然科學(xué)基金(11161004;11661011);廣西自然科學(xué)基金(2013GXNSFAA019015;2016GXNSFAA380099);廣西民族大學(xué)研究生創(chuàng)新計(jì)劃(gxun-chx0880)