大學(xué)物理中微積分思想及其方法教學(xué)研究

王旭丹+蘇麗+劉欣欣

[摘要]數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性與工具性兼具的學(xué)科，它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在其許多思想方法可以運(yùn)用到其他學(xué)科中，特別是微積分思想和矢量思想，廣泛運(yùn)用到大學(xué)物理的教學(xué)中。因此，大學(xué)教師應(yīng)充分加大微積分思想在教學(xué)中的應(yīng)用研究。

[關(guān)鍵詞]微積分思想；矢量思想；大學(xué)物理；應(yīng)用研究

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.22.208

作為理工類大學(xué)生必須學(xué)習(xí)的一門課程，大學(xué)物理的基礎(chǔ)性和實(shí)踐性很強(qiáng)，在大學(xué)課程中的地位舉足輕重。大學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)物理，不僅能夠?qū)W習(xí)到物理學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，更能夠?yàn)榻窈髲氖赂钊氲膶W(xué)習(xí)及工作奠定良好基礎(chǔ)，同時(shí)還能有效地鍛煉科學(xué)思維及創(chuàng)造性思維能力，因此，有效地提高大學(xué)物理的課堂教學(xué)效果，無論是對(duì)于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展，還是對(duì)于物理方面的研究，都有著積極的作用。

1 微積分發(fā)明的歷史

“如果說我看得比別人更遠(yuǎn)一些，那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募绨蛏??！边@是微積分發(fā)明者之一牛頓曾說過的話。早在三國(guó)時(shí)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽就提出了“割圓術(shù)”的思想：“把一個(gè)圓分割的越細(xì)致，那么損失的就越少，一直切割到不能切割為止，那么和圓周合體時(shí)沒什么區(qū)別了?！彼囊馑际?，我們可以用一個(gè)正多邊形與圓內(nèi)接，近似描述一個(gè)圓形，雖然在多邊形的邊數(shù)較少的情況下這種近似的誤差比較大，但這種誤差隨著邊數(shù)的不斷增加也會(huì)逐漸減少最終消失。它在分割的過程中運(yùn)用到的是基礎(chǔ)的幾何與代數(shù)，優(yōu)點(diǎn)在于直觀且形象的表達(dá)，并且提出了一種極限思想：可以通過趨近的手段得到一個(gè)任意精確度的結(jié)果。極限的概念和物理中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)密切?？偟膩碚f，一個(gè)宏觀質(zhì)點(diǎn)在空間中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是有連續(xù)性的，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度都是隨著時(shí)間不斷地進(jìn)行連續(xù)性的過渡，在某個(gè)時(shí)刻，這些物理量并不存在躍進(jìn)變化。用極限來解釋就是：一個(gè)時(shí)刻與下一相鄰時(shí)刻之間的間隔可以被無限小，在這個(gè)時(shí)間間隔里，這些物理量變化近似為零。牛頓把這兩個(gè)無限小量的比值與運(yùn)動(dòng)學(xué)的定義相結(jié)合，從而定義了無限微分這個(gè)概念的原型。后來，牛頓—萊布尼茲公式又解決了求變速運(yùn)動(dòng)、變力做功等問題。至此，牛頓—萊布尼茲公式可以說是為微積分奠定了理論基石，并完善了經(jīng)典力學(xué)結(jié)構(gòu)。

2 關(guān)于如何構(gòu)建微積分思想的思考

雖然大學(xué)新生提前在中學(xué)階段學(xué)習(xí)了物理知識(shí)，并且已經(jīng)掌握了一定的物理學(xué)基礎(chǔ)及技能，也培養(yǎng)了自己的一套學(xué)習(xí)物理學(xué)的方法。但是大學(xué)物理無論是教學(xué)還是學(xué)習(xí)都與中學(xué)物理教學(xué)和學(xué)習(xí)存在很多不同，尤其在教學(xué)與學(xué)習(xí)思想方法及原理方面，大學(xué)物理與中學(xué)物理的區(qū)別之一在于難度的改變，中學(xué)期間學(xué)習(xí)的物理量以及概念都是簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)的常量，遇到的問題也是由這些簡(jiǎn)單常量構(gòu)成的，而在大學(xué)物理中，問題的難度提高了，由以前簡(jiǎn)單的常量物理問題，變?yōu)閺?fù)雜的變量物理問題，由于學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)從中學(xué)時(shí)期固定的思維模式中跳出來，所以，雖然微積分思想在大學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用，但他們卻不能靈活地將微積分思想運(yùn)用到物理中去，很多大學(xué)生都反映，大學(xué)物理是相對(duì)較難學(xué)好的一科，即使在課堂上聽懂了原理，但實(shí)際中還是不會(huì)做題。因而教師在大學(xué)物理的教學(xué)過程中應(yīng)該充分運(yùn)用微積分思想，把它融入到教學(xué)中，結(jié)合例題幫助學(xué)生構(gòu)建微積分思想，讓他們能在實(shí)際中靈活運(yùn)用，提高他們學(xué)習(xí)的效率。

微積分在大學(xué)物理中占據(jù)重要部分，并且有廣泛的運(yùn)用，例如許多物理概念、定律都是以微積分的形式來定義的，因此指導(dǎo)學(xué)生盡快熟練地掌握微積分原理及其在物理學(xué)中的應(yīng)用，并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用是十分必要的。也就是讓學(xué)生建立微積分思想，將思想、原理和方法與物理問題結(jié)合起來，從而解決問題。

物理學(xué)科最大的特點(diǎn)是由簡(jiǎn)及難，從最基本、最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象著手，微積分思想具有很強(qiáng)的辯證性，在應(yīng)用它來解決研究物理問題時(shí)，一般思路就是化大為小，把大問題進(jìn)行分解，變成幾個(gè)簡(jiǎn)單的小問題，按照由重及輕，一個(gè)一個(gè)解決。這種思路的優(yōu)點(diǎn)在于把有限變?yōu)闊o限，把近似變?yōu)榫_，把復(fù)雜的變量問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的常量問題，這樣既能夠提高解決物理問題的效率，更能夠提高物理教學(xué)與學(xué)習(xí)的效果。

近似處理在物理學(xué)中的意思就是抓住問題關(guān)鍵，忽略次要方面，把難變?yōu)楹?jiǎn)單，然后通過解決簡(jiǎn)單的問題進(jìn)而解決難題。在大學(xué)物理中采用微積分的思想解決問題是為了選取微分元后，能夠在微元范圍內(nèi)把復(fù)雜的問題近似成基本的問題。例如在研究變力做功時(shí)，如果采用普通處理方法會(huì)特別麻煩，但是采用微積分思想，處理起來就非常容易了。對(duì)于“求一質(zhì)點(diǎn)在變力作用下從A運(yùn)動(dòng)到B，做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)做的功”這個(gè)題，就可以采用微積分的思想，把質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)路徑，分割為無數(shù)個(gè)微元，視變力為恒定，分割后的曲線路徑可以看作無數(shù)個(gè)短直線，這樣，將變力曲線做功問題，轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的直線恒力做功問題，最后對(duì)這些直線路徑做功求和，就得到了變力曲線做的功。

3 關(guān)于如何構(gòu)建矢量思想的思考

在物理學(xué)科中，“矢量運(yùn)算法則”及“矢量方程”的運(yùn)用相當(dāng)普遍?，F(xiàn)如今的大學(xué)新生在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí)常常不能正確的表示矢量，這是因?yàn)橹袑W(xué)時(shí)期，老師對(duì)學(xué)生的要求并不嚴(yán)格，這就導(dǎo)致了他們跳不出中學(xué)時(shí)的物理思維模式，他們對(duì)標(biāo)量、矢量和矢量方程的理解不到位，還沒有形成矢量思維。因此，他們到了大學(xué)之后，在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí)仍然不能正確的書寫矢量，至于對(duì)它的理解就只停留在簡(jiǎn)單的字面意思了，所以，在大學(xué)物理教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建微積分思想，還要引導(dǎo)他們構(gòu)建矢量思想。在高中人教版課本中，“標(biāo)量只有大小，沒有方向；矢量既有大小，又有方向。”因此，有的學(xué)生就形成“有方向的是矢量，沒方向的是標(biāo)量”的慣性思維，這種慣性思維需要老師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行糾正。但由于中學(xué)時(shí)的慣性思維，很多學(xué)生對(duì)“遵循四邊形合成法則的物理量是矢量，否則是標(biāo)量”這個(gè)定義并不深刻，因此在平日里做題會(huì)產(chǎn)生許多錯(cuò)誤，例如電流及電動(dòng)勢(shì)等物理量，其既有大小，也有方向，但并不是矢量。矢量的定義中，要求矢量必須符合平行四邊形合成法則。所以我們?cè)诮鉀Q物理問題時(shí)，如果使用矢量思想方法解決，通常要將矢量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量來進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)把矢量向某一方向或者坐標(biāo)系進(jìn)行投影，因而首先要建立一個(gè)正確的坐標(biāo)系。如在解決斜面運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，我們可以首先建立坐標(biāo)體系，選擇沿斜面方向和垂直斜面的兩個(gè)方向進(jìn)行構(gòu)建，將復(fù)雜的矢量轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的標(biāo)量，這樣能夠很好地體現(xiàn)矢量方法的高效性。又如，在研究曲線運(yùn)動(dòng)中，自然坐標(biāo)系往往不易解決問題，大學(xué)物理中的矢量和微元通常是相互關(guān)聯(lián)的，對(duì)于矢量微積分的求解，首先應(yīng)該將矢量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量，把矢量向某一方向投影，采用矢量點(diǎn)積的方法或者叉積轉(zhuǎn)化為標(biāo)量進(jìn)行運(yùn)算，或者直接應(yīng)用直角坐標(biāo)系的正交分解方法，進(jìn)行點(diǎn)積或者叉積后再進(jìn)行積分運(yùn)算。只有深刻的理解矢量微積分，才能正確地運(yùn)用，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該精選例題，爭(zhēng)取早日指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建矢量思想、建立模型，學(xué)會(huì)運(yùn)用物理方法和思想分析和求解實(shí)際問題。

4 結(jié) 論

微積分思想和矢量思想在大學(xué)物理的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，不僅作為一種教學(xué)工具，更是一種思維方法的應(yīng)用。因此，在大學(xué)物理的教學(xué)中，教師應(yīng)通過講解具體的實(shí)例，來引導(dǎo)和幫助學(xué)生將微積分和矢量的思想與物理問題相結(jié)合，讓他們學(xué)會(huì)構(gòu)建模型，熟練地運(yùn)用微積分和矢量方法分析解決物理問題。這樣做既能提高教學(xué)效率，又能培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法。而學(xué)生只有將微積分與具體物理問題相結(jié)合，掌握微積分以及矢量的分析方法和技巧，有機(jī)結(jié)合其他的物理科學(xué)方法，才能實(shí)現(xiàn)將微積分和矢量法從運(yùn)算工具轉(zhuǎn)變?yōu)樗枷敕椒ǖ木C合運(yùn)用，進(jìn)而熟練地解決一些復(fù)雜的物理變量問題，如今的大學(xué)生需要做的是理解大學(xué)物理和中學(xué)物理的區(qū)別和聯(lián)系，培養(yǎng)自己學(xué)習(xí)大學(xué)物理的興趣，提高自己分析問題和解決問題的能力，為將來從事工程技術(shù)和科學(xué)研究奠定扎實(shí)的物理基礎(chǔ)。

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