揭示高考數(shù)學試題本質(zhì)的若干策略

趙愛華　肖松柏

(新疆烏魯木齊市教育研究中心,830000)　(新疆大學附屬中學,830046)

揭示高考數(shù)學試題本質(zhì)的若干策略

趙愛華肖松柏

(新疆烏魯木齊市教育研究中心,830000)(新疆大學附屬中學,830046)

數(shù)學高考考試大綱指出:數(shù)學科考試要考查對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質(zhì)的理解水平,要考查進入高等學校繼續(xù)學習的潛能. 在中學數(shù)學教學中,借助題目,探尋其背后所蘊含的數(shù)學本質(zhì),是有助于學生達到這個要求的．

下面,我們從多角度來揭示高考數(shù)學試題的本質(zhì),以期拋磚引玉．

策略1換元凸顯本質(zhì)

換元法是化簡求值的一種重要的方法,通過整體代換可以化繁為簡,通過化“多元”為“一元”達到降低難度的目的．教學中要讓學生清楚使用換元的條件,明白換元的注意事項,掌握換元的常用方法,引導學生運用換元法來揭示問題的本質(zhì)．

例1(2011年浙江高考題)設x、y為實數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是______.

分析本題有很好的開放性,不同的視角就有不同的解法．學生最容易想到的常規(guī)方法應該是二元變一元,因此將2x+y看成一個變量t,消去y,得到一個關于x的含參數(shù)t的二次方程,利用二次方程有解時Δ≥0就可穩(wěn)妥解決問題．

同類試題練習:

策略2數(shù)形結(jié)合觀察本質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是高考要求的一種重要思想方法．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休．通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即可以使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的．要想更好地使用數(shù)形結(jié)合法,要求學生必須掌握基本初等函數(shù)的圖象和基本初等函數(shù)通過平移、伸縮等變換后的函數(shù)圖象．

所以在(1,4)內(nèi)函數(shù)y1與y2的圖象有四個交點E、F、G、H；相應地,在(-2,1)內(nèi)有四個交點A、B、C、D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標之和為8.

同類試題練習:

(A)a>0,b>0,c<0

(B)a<0,b>0,c>0

(C)a<0,b>0,c<0

(D)a<0,b<0,c<0

答案:C.

策略3結(jié)構(gòu)反應本質(zhì)

數(shù)學中大量的問題隱含著形的信息,因此,抓住所給數(shù)式結(jié)構(gòu)的特征,聯(lián)想有關的數(shù)學定義,挖掘出數(shù)式的幾何意義,把數(shù)式問題轉(zhuǎn)換到圖形上來,常常能使問題獲得形象、直觀的解法.

分析分子中有分母的相同項時,分離時常數(shù)是常用技巧．剩余部分構(gòu)成奇函數(shù),題中的結(jié)構(gòu)M+m提示你需要利用奇函數(shù)最大值與最小值之和為0這一本質(zhì)．

對奇函數(shù)來說,g(x)max+g(x)min=0,而f(x)max=1+g(x)max,f(x)min=1+g(x)min,所以f(x)max+f(x)min=2， 即M+m=2.

同類試題練習:

策略4概念蘊含本質(zhì)

數(shù)學概念是數(shù)學基礎知識的核心,是數(shù)學推理和論證的要素,是學好數(shù)學知識和培養(yǎng)數(shù)學能力的關鍵．新課標強調(diào)數(shù)學教學應當使學生對數(shù)學概念本質(zhì)達到理性認識．在解決某些概念明顯的題時，若回歸概念就能找到解決問題的方法．

分析題設中有“焦點”、“面積”等信息,應該聯(lián)想到焦點三角形這個概念,焦點三角形面積公式恰好提供了b2．本題用其他方法都有不同程度的運算,本質(zhì)節(jié)約了運算和時間．

解如圖3,根據(jù)題意得?OPF2是正三角形,則OP=OF2=OF1, ∠POF2=∠OPF2=60°,∠OPF1=30°,因此∠F1PF2=30°+60°=90°.又橢圓焦點三角形的面積公式為

根據(jù)題意，得

同類試題練習:

(2006年浙江高考題)函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}滿足f(f(x))=f(x),則這樣的函數(shù)個數(shù)共有()

(A)1個(B) 4個

(C) 8個(D) 10個

答案:D.

策略5運算決定本質(zhì)

運算求解能力是課標要求的五大能力之一,也是高考要求的基本能力之一．每年都有考查學生計算能力的高考題．只要我們會根據(jù)概念、公式、法則進行數(shù)、式、方程的正確運算與變形,能分析條件,尋求與設計合理、簡捷的運算途徑,能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估算,并能進行近似計算,加點小心就可以解決問題．

例5已知函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函數(shù),則a=______.

分析本題主要考查學生的計算能力,可以直接利用偶函數(shù)的定義f(-x)=f(x)求解,也可通過奇偶函數(shù)的性質(zhì)求解,沒有多大難度,只要按部就班計算即可．

解法1由f(-x)=f(x),得

x(-aex-e-x)=x(ex+ae-x)，

即(1+a)xe2x=0.

所以a+1=0，解得a=-1．

解法2由f(x)=x(ex+ae-x)是偶函數(shù)得g(x)=ex+ae-x是奇函數(shù).又因為f(x)的定義域為R,所以g(0)=0,即g(0)=1+a=0,解得a=-1.

解法3由f(x)是偶函數(shù),得

f(-1)=f(1).

同類試題練習:

(2009年全國高考題)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交A、B兩點,F為C的焦點．若|FA|=2|FB|,則k=()

答案:D.

策略6變形找到本質(zhì)

“變形”是數(shù)學中的重要基礎,也是一項基本技能．是探索數(shù)學問題解答的一種有效方法,是開拓思路,發(fā)展智力,培養(yǎng)能力的途徑之一．“變形”要變之有用,變之有規(guī),變之有益．有些問題變形目標是明確的,比如函數(shù)單調(diào)性的證明、奇偶性的判定、三角函數(shù)、幾何證明等目標都是明確的．

例6(2015年北京高考題)已知函數(shù)

(1)求f(x)的最小正周期;

分析求解與三角函數(shù)性質(zhì)有關的問題,一般方法是利用輔助角公式收縮成一個角的三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,借助三角函數(shù)性質(zhì)求解．因此本題目標是明確的,就看如何變形化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式．

∴f(x)的最小正周期

同類試題練習:

(A) 奇函數(shù)(B) 偶函數(shù)

(C) 既奇又偶函數(shù)(D) 非奇非偶函數(shù)

答案:A.