例談“線性代換”法證明不等式

洪木山

變量代換是解決數(shù)學(xué)問題的常用技巧，在一些數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)頻繁.對(duì)于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變?cè)^多而變化關(guān)系不太清楚的不等式，可以適當(dāng)引進(jìn)一些新的變量替換（或者部分替換）原來的變量，達(dá)到簡化結(jié)構(gòu)，凸顯特征的目的，是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn).最常用的代換是“線性代換”，下面通過舉例子來說明用“線性代換”證明不等式.

例1 設(shè)a>1，b>1，求證：a2b-1+b2a-1≥8.

分析 這個(gè)看似簡單的問題采用常規(guī)的方法來解并不順利，如果分別用x，y來替換不等式中的分母b-1、a-1，則不等式的結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)生明顯的變化.