由一名學(xué)生的質(zhì)疑引發(fā)對分式方程解的思考

梁艷云

【摘要】分式方程的增根與無解是分式方程中常見的、易混淆的兩個(gè)概念.每當(dāng)學(xué)習(xí)分式方程后，總認(rèn)為分式方程無解是因?yàn)樵龈?，因?yàn)橛辛嗽龈匠滩艧o解，所以解題時(shí)往往出錯(cuò).究其原因，是學(xué)生對這兩個(gè)概念沒有徹底理解、掌握.分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，分式方程的兩邊都乘了整式，這個(gè)整式通常是各分母的最簡公分母，這樣解出的方程的解是整式方程的解，而不一定是分式方程的解.

【關(guān)鍵詞】教學(xué)；調(diào)查研究；反思

下面是我在教分式方程時(shí)由一名學(xué)生的質(zhì)疑引發(fā)的思考，它對分式方程的教學(xué)具有一定的普遍性.下面我給大家匯報(bào)一下，希望對同行們有所啟發(fā).

二.調(diào)查研究

（一）調(diào)研學(xué)生：《一卷通》是我校初二年級統(tǒng)一使用的教輔資料，問題1是筆者選自《一卷通》同步練習(xí)P20第13題，因?yàn)樵诮虒W(xué)過程中，筆者都出現(xiàn)分析不嚴(yán)謹(jǐn)，從而導(dǎo)致漏解的現(xiàn)象，于是就很想了解學(xué)生的答題情況，因此對初二年級作業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)95%左右的學(xué)生都答錯(cuò).

（二）訪談教師：由于筆者在上課時(shí)出現(xiàn)分析上的錯(cuò)誤，于是想了解其他老師對本問題的理解情況，就把問題1拿給本年級的其他幾位老師解答，結(jié)果參與的五位老師中有三位與筆者出現(xiàn)同樣的漏解錯(cuò)誤.

（三）查詢資料：在《一卷通》的單元測試卷P12第13題的參考答案也出現(xiàn)考慮不全面的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致了答案錯(cuò)誤.

三、教學(xué)反思

（一）現(xiàn)象：我校是區(qū)示范性學(xué)校，生源好且?guī)熧Y水平較高，但事實(shí)上不論是我校的學(xué)生還是老師，或其他編寫教輔資料的老師對這一類問題都出現(xiàn)了錯(cuò)誤，說明這不是一個(gè)個(gè)別現(xiàn)象而是一個(gè)普遍現(xiàn)象，所以對于這一類問題很值得進(jìn)一步探討研究.

（二）原因：分式方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一，解分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)會(huì)導(dǎo)致增根的產(chǎn)生，對學(xué)生而言比較抽象，難以理解，就是教師若考慮不仔細(xì)、不全面，也很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

（三）經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：分式方程有解必須建立在分式有意義的前提下才能成立，若分式無意義，則分式方程的解無從談起.對于可化為一元一次方程的分式方程的解可分下列三種情況考慮：

①分式方程“有根”——整式方程的根就是分式方程的根；

②分式方程“只有增根”——整式方程有根，而分式方程無根；

③分式方程“既無根，也無增根”——整式方程無根，因此分式方程也無根.