一道課本例題及其變式的研究

楊　林

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一道課本例題及其變式的研究

楊林

一、例題呈現(xiàn)

如圖1，點(diǎn)B、點(diǎn)C在x軸上，試在第一象限內(nèi)畫等腰三角形ABC，使它底邊為BC，面積為10，并寫出△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo).（蘇科版八（上）第123頁例3）

圖1

【解析】點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為B（1，0），C（5，0），BC=4.根據(jù)題意，可知等腰△ABC 的BC邊上的高為5，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，所以其橫坐標(biāo)為3，即A（3，5）.在第一象限內(nèi)畫出△ABC（如圖2）.

圖2

二、變式研究

變式1如圖1，點(diǎn)B、C在x軸上，試在第一象限內(nèi)畫等腰直角三角形ABC，并求出A點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】由原題解析知BC=4，若∠ABC= 90°，如圖3，則AB=BC.所以A（1，4）；若∠BCA=90°，BC=AC，如圖4，所以A（5，4）；若∠BAC=90°，如圖5，則AB=AC，過點(diǎn)A 作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD=BD=CD=2，所以A（3，2）.

圖3

圖4

圖5

說明：由于題目所求等腰直角三角形未指明斜邊、直角邊或直角頂點(diǎn)，所以必須分情況討論，畫出所有可能情況.

變式2如圖6，已知，點(diǎn)A、點(diǎn)B在x軸上，試在y軸上確定點(diǎn)C，使∠ACB=90°.

圖6

【解析】點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（4，0），且AB=5.設(shè)OC=x.

由∠AOC=∠BOC=90°，

根據(jù)勾股定理可得：

在Rt△AOC中：OA2+OC2=AC2，即x2+ 1=AC2.

在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2，即x2+ 16=BC2.

在Rt△ACB中：AC2+BC2=AB2，即x2+ 1+x2+16=25，解得：x=±2.

所以C（0，2），C′（0，-2）.

說明：因?yàn)椴恢傈c(diǎn)C的確切位置，所以要考慮點(diǎn)C的所有可能情況，防止漏解.

變式3正方形OABC如圖7所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)A（3，-1），試求點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖7

【解析】過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E.

由題意可知：AD=3，OD=1.

∵∠ADO=∠CEO=90°，∠AOC=90°，

∴∠DAO+∠DOA=90°，

∠COE+∠DOA=90°，

∴∠EOC=∠DAO.

又∵OC=OA，∴△OEC≌△ADO，

∴OE=AD=3，CE=OD=1，

∴C（1，3）.

說明：解決此題的關(guān)鍵是要掌握由點(diǎn)找坐標(biāo)的方法，再借助正方形的特殊性，利用全等三角形的知識(shí)求解.

變式4點(diǎn)A、B的位置如圖8，若點(diǎn)A（-2，1）、B（-2，-1）、P（4，3）.

①用尺規(guī)作圖的方法找到A、B所在平面直角坐標(biāo)系中原點(diǎn)O的位置.

②若點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，2），試在圖中標(biāo)出點(diǎn)C的位置.

圖8

【解析】觀察A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)：它們的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以AB的垂直平分線即為x軸所在直線，垂足M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），又由于P點(diǎn)在A、B的右邊，所以向右方向?yàn)檎较?，則M點(diǎn)的位置向右平移兩個(gè)單位即為原點(diǎn)位置，如圖9.

圖9

【拓展】若點(diǎn)A的坐標(biāo)不變，點(diǎn)B坐標(biāo)改為（-2，-3），你還能確定原點(diǎn)的位置嗎？有興趣的同學(xué)不妨試一試.

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）