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    我心中的一次函數(shù)

    2016-06-30 03:18:27江蘇省江陰市利港中學(xué)八王興標(biāo)
    初中生世界 2016年6期
    關(guān)鍵詞:直角勾股定理一元二次方程

    江蘇省江陰市利港中學(xué)八(7)班 王興標(biāo)

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    我心中的一次函數(shù)

    江蘇省江陰市利港中學(xué)八(7)班王興標(biāo)

    函數(shù)的神奇和神秘之處,就在于和我們往常接觸的數(shù)學(xué)知識(shí)不同.

    1.它不同于計(jì)算,工工整整,順理成章,簡(jiǎn)單易懂;

    2.它不同于幾何,有復(fù)雜多變的圖形.

    函數(shù)是一個(gè)抽象化的概念,打個(gè)比喻,函數(shù)如同一張大網(wǎng),為什么這么說呢?請(qǐng)看下題——設(shè)直線l1:y1=k1x+b1與l2:y2=k2x+ b2,若l1⊥l2,垂足為H,則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線.

    (2)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC的頂點(diǎn)A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P為線段OC上一點(diǎn),設(shè)過B、P兩點(diǎn)的直線為l1,過A、P兩點(diǎn)的直線為l2,若l1與l2是點(diǎn)P的直角線,求直線l1與l2的解析式.

    圖1

    圖2

    圖3

    【解析】第一問不難,畫圖正確,很明顯可以發(fā)現(xiàn)①③是點(diǎn)C的直角線.此題主要難在第二問.首先要求直線l1與l2的解析式,就要先確定它的位置,如圖2所示,在圖中,可以發(fā)現(xiàn)有多個(gè)直角三角形,由此可以聯(lián)想到勾股定理,觀察圖形,要求點(diǎn)P的坐標(biāo),由于點(diǎn)P在線段OC上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)P位置不確定,我們不妨采用“未知設(shè)元”,即設(shè)OP=x,則很明顯CP=OC-OP=7-x,這里因?yàn)辄c(diǎn)A(3,0)、B(2,7),所以O(shè)A=3,BC=2,在Rt△OAP中,馬上想到勾股定理,可得AP2=OA2+OP2,所以AP2=9+x2,同理在Rt△CBP中,由勾股定理得:BP2= 4+(7-x)2,題目中又已知l1與l2是點(diǎn)P的直角線,根據(jù)直角線的定義可以知道l1⊥l2,即AP⊥BP,馬上想到通過Rt△APB的三邊關(guān)系建立方程.這里還需要解決線段AB的長(zhǎng)度,過點(diǎn)B作BD⊥AD,垂足為D(如圖3所作),得D(2,0),即OD=2,進(jìn)而得出AD =AO -OD =1,BD =CO =7,AB =.在Rt△APB中,由AB2=AP2+BP2,可轉(zhuǎn)化為9+x2+4+(7-x)2=50.此方程最后化簡(jiǎn)為2x2-14x+12=0,這里很容易卡住——一元二次方程怎么解?我們沒有學(xué)過啊!其實(shí)不然,還記得我們?cè)?jīng)學(xué)過的因式分解嗎?對(duì)于方程的左邊,我們進(jìn)行十字相乘,得到(2x-2)(x-6)=0,故x=1或x=6.所以P(0,1)或(0,6).當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)時(shí),直線l1的解析式為y=3x+1;直線l2的解析式為;當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6)時(shí),直線l1的解析式為,直線l2的解析式為y=-2x+6.

    解完此題后,思緒繼續(xù)前行:

    此題如果改為求△ABP的周長(zhǎng)是多少,則此題就要進(jìn)行分類討論,當(dāng)點(diǎn)P(0,1)時(shí),可以求出△ABP的周長(zhǎng)為,當(dāng)P(0,6)時(shí),△ABP的周長(zhǎng)為.

    回頭觀察已知條件:設(shè)直線l1:y1=k1x+ b1與l2:y2=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足為H,則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線,發(fā)現(xiàn)k1·k2= -1,這里讓我聯(lián)想起直線l1:y1=k1x+b1與l2:y2=k2x+b2如果平行,那么k1=k2,真是有趣!

    我之所以比喻函數(shù)如同一張大網(wǎng),是因?yàn)樗鼘⒏鞣矫娴臄?shù)學(xué)知識(shí)連接、匯合.例如該題很好地說明了函數(shù)是數(shù)與形的結(jié)合,這一道題就覆蓋了“勾股定理”、“因式分解”、“未知設(shè)元”、“方程思想”、“分類討論”等等.函數(shù)的神秘與神奇之處就在這里,完美結(jié)合數(shù)與形、連結(jié)各方面數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),這便是函數(shù)獨(dú)特的數(shù)學(xué)魅力所在.

    劉老師點(diǎn)評(píng):從小王同學(xué)這篇作品可以看出他鉆研的真實(shí)心路歷程.文中“聯(lián)想”“馬上想到”等詞點(diǎn)出了他的頓悟過程.數(shù)學(xué)思想方法在小作者的解題分析的心路歷程中得到完美的詮釋,像發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí),OP的長(zhǎng)度就采用“未知設(shè)元”,在直角三角形中,馬上聯(lián)想到勾股定理、方程思想.當(dāng)出現(xiàn)了一元二次方程這個(gè)沒有學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)時(shí),小作者并沒有放棄,反而激發(fā)了斗志,馬上注意到方程左邊的式子可進(jìn)行因式分解,這種探究精神值得表?yè)P(yáng)!這里特別值得一提的是,小作者具有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),具體體現(xiàn)在解完題后,能自己提出問題(雖然這個(gè)問題的含金量不高,但具備這樣的問題意識(shí)是值得稱贊的),第二個(gè)問題滲透著由特殊到一般、歸納類比等思想.

    (指導(dǎo)教師:劉杰)

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