三次曲線過定點(diǎn)的切線有幾條？

安徽省太和中學(xué)　岳 峻

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三次曲線過定點(diǎn)的切線有幾條？

安徽省太和中學(xué)岳 峻

一、問題的提出

引例（2014年北京卷）已知函數(shù)f（x）=2x3-3x。

（1）求f（x）在區(qū)間［-2，1］上的最大值。

（2）若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍。

（3）過點(diǎn)A（-1，2），B（2，10），C（0，2）分別存在幾條直線與曲線y=f（x）相切？（只需寫出結(jié)論）

本題第（2）（3）問都是“過一點(diǎn)作三次函數(shù)圖像切線的條數(shù)”的問題，且第（3）問只需寫出結(jié)論，如何才能迅速地進(jìn)行判斷呢？有沒有規(guī)律性的結(jié)論呢？

二、直線與曲線相切的概念

如圖1，設(shè)曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖像，在曲線C上取點(diǎn)P（x0，y0）及與P鄰近的點(diǎn)Q（x0+Δx，y0+Δy），過P、Q兩點(diǎn)作割線，并分別過P、Q兩點(diǎn)作x軸、y軸的平行線MP、MQ，又設(shè)割線PQ的傾斜角為β，那么MP=Δx，MQ=Δy。這就是說，就是割線的斜率。

圖1

圖2

如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q（x0+Δx，y0+Δy）沿著曲線逐漸向點(diǎn)P（x0，y0）接近時(shí)，割線PQ將繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P，即Δx→0時(shí)，割線PQ有一個(gè)極限位置PT，那么，直線PT叫作曲線在點(diǎn)P處的切線。

由直線與曲線相切的概念可知，切線是割線的極限位置，直線與曲線相切是一個(gè)局部的概念，因而直線l與曲線C可以同時(shí)相切于點(diǎn)A并相交于點(diǎn)B，比如曲線y=x3與直線y=3x+2在點(diǎn)（-1，-1）處相切，在點(diǎn)（2，8）處相交，如圖3。

三、探究

對于函數(shù)f（x）=2x3-3x，過定點(diǎn)Q（x0，y0）的直線l與函數(shù)y=f（x）的圖像相切，這樣的直線l有幾條？

設(shè)直線l與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)M（t，f（t）），則切線方程為y-f（t）=f′（t）（x-t），

因?yàn)榍芯€必過點(diǎn)Q（x0，y0），則y0-f（t）=f′（t）（x0-t），

所以y0-（2t3-3t）=（6t2-3）（x0-t），整理可得4t3-6x0t2+y0+3x0=0（*）。

顯然，關(guān)于t的方程（*）有多少個(gè)不同的解，就有多少條不同的切線。

下面，我們來解決方程（*）的解的個(gè)數(shù)問題。

設(shè)g（t）=4t3-6x0t2+y0+3x0，則g′（t）=12t2-12x0t=12t（t-x0），

由g′（t）=0，得t1=0，t2=x0，

（1）當(dāng)x0=0時(shí)，g′（t）≥0，g（t）單調(diào)遞增，方程（*）有1個(gè)解。

（2）當(dāng)x0≠0時(shí)，g（t）的兩個(gè)極值分別為g（0）=y0+3x0，

（ⅰ）當(dāng)g（0）g（x0）>0，即（y0+3x0）［y0-f（x0）］>0時(shí)，兩個(gè)極值同號，定點(diǎn)Q（x0，y0）在不等式（y+ 3x）［y-f（x）］>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，此時(shí)，函數(shù)g（t）只有1個(gè)零點(diǎn)，方程（*）有1個(gè)解（注意到函數(shù)f（x）=2x3-3x是奇函數(shù)，坐標(biāo)原點(diǎn)是對稱中心，等式y(tǒng)+3x=0所表示的直線恰好是曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線）；

（ⅱ）當(dāng)g（0）g（x0）=0，即（y0+3x0）［y0-f（x0）］=0時(shí)，定點(diǎn)Q（x0，y0）在等式（y+3x）［y-f（x）］=0所表示的曲線上，此時(shí)，函數(shù)g（t）有2個(gè)零點(diǎn)，方程（*）有2個(gè)解；

圖3

（ⅲ）當(dāng)g（0）g（x0）<0，即（y0+3x0）［y0-f（x0）］<0時(shí)，定點(diǎn)Q（x0，y0）在不等式（y+3x）［y-f（x）］<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，此時(shí)，函數(shù)g（t）有3個(gè)零點(diǎn)，方程（*）有3個(gè)解。

綜上所述，很容易給出結(jié)論。

四、結(jié)論

一般的，已知定點(diǎn)Q，三次函數(shù)對稱中心N處的切線與曲線將平面分成四個(gè)平面區(qū)域（如圖4所示）：

（1）若點(diǎn)Q在圖像對稱中心N處或在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則過定點(diǎn)Q作三次函數(shù)圖像切線只能作1條；

（2）若點(diǎn)Q在圖像對稱中心N處的切線上（對稱中心除外）或在函數(shù)圖像上（對稱中心除外），則過定點(diǎn)Q作三次函數(shù)圖像的切線有2條；

（3）若點(diǎn)Q在Ⅲ、Ⅳ區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則過定點(diǎn)Q作三次函數(shù)圖像的切線有3條。

圖4

五、應(yīng)用

對于引例：

已知函數(shù)f（x）=2x3-3x。

（1）求f（x）的區(qū)間[-2，1]上的最大值。

（2）若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍。

（3）過點(diǎn)A（-1，2），B（2，10），C（0，2）分別存在幾條直線與曲線y=f（x）相切？（只需寫出結(jié)論）解析（1）略。

解析 （1）略。

（2）易知f（1）=-1，f′（0）=-3，又函數(shù)f（x）在對稱中心處的切線為l0：y=-3x，直線x=1與曲線交于（1，-1），與切線l0交于（1，-3），

因?yàn)檫^點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，所以P（1，t）必在區(qū)域Ⅳ內(nèi)，故t∈（-3，-1）。

（3）易知A（-1，2）在區(qū)域Ⅲ內(nèi)，所以過點(diǎn)A（-1，2）存在3條直線與曲線相切；易知B（2，10）在曲線上，且不是對稱中心，所以過點(diǎn)B（2，10）存在2條直線與曲線相切；易知C（0，2）在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，所以過點(diǎn)C（0，2）存在1條直線與曲線相切。

名師簡介

岳峻，安徽省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事，阜陽名師，阜陽市學(xué)科帶頭人。近兩年，有30多篇文章分別發(fā)表于各類期刊上。