支付值為語言信息的矩陣對策求解方法

楊靛青，李登峰

(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州　350116)

支付值為語言信息的矩陣對策求解方法

楊靛青，李登峰

(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：在闡述語言評估標(biāo)度定義及其運(yùn)算法則、 比較規(guī)則的基礎(chǔ)上，提出了支付值為語言信息的矩陣對策定義及其解的概念，并研究了如何將求解局中人的極大-極小與極小-極大策略問題轉(zhuǎn)化為求解一對輔助線性規(guī)劃問題. 數(shù)值實(shí)例表明，所提方法是有效、 實(shí)用的，所建立的支付值為語言信息的矩陣對策理論與方法既是對經(jīng)典矩陣對策理論的發(fā)展，又可為解決其他帶有模糊語言信息的對策問題提供新的途徑.

關(guān)鍵詞：語言信息； 矩陣對策； 線性規(guī)劃； 對策論

0引言

矩陣對策是一類在對抗競爭對策問題中應(yīng)用比較成熟的對策，主要思想是局中人在有限個(gè)策略中根據(jù)不同對策局勢的支付情況選擇最有利自己的策略方案. 目前，支付值為數(shù)值的矩陣對策研究已經(jīng)取得了豐碩的成果[1-12]. 但在一些實(shí)際對策問題中，由于對策環(huán)境的復(fù)雜性、 多樣性和不確定性，人們(局中人)對局勢結(jié)果(或結(jié)局)的主觀判斷可能難以完全用數(shù)值精確度量，或數(shù)值度量的成本、 技術(shù)要求過高，又或者用模糊語言判斷便可以滿足決策需要. 在這些情形下，局中人對局勢結(jié)果的判斷一般直接用語言形式表達(dá). 例如，將兩家電子商務(wù)商家在市場競爭中如何提高各自產(chǎn)品的市場份額看作一個(gè)對策問題，對策的結(jié)果為商家對各個(gè)局勢下的銷售情況的主觀判斷，用“很高”、 “高”、 “一般”、 “低”、 “很低”等語言術(shù)語來評估各局勢的銷售量. 這類對策問題可用語言信息表示局中人的判斷結(jié)果，通過建立支付值為語言信息的矩陣對策加以研究解決.

在闡述語言評估標(biāo)度集及其比較、 運(yùn)算規(guī)則的基礎(chǔ)上，著重研究支付值為語言信息的矩陣對策(簡稱語言值矩陣對策)問題. 首先，給出語言值矩陣對策的定義及其解的概念； 然后，將求解兩個(gè)局中人的策略問題轉(zhuǎn)化為求解一對輔助線性規(guī)劃問題. 可為解決復(fù)雜模糊信息環(huán)境下的競爭決策與對策問題提供新的途徑.

1語言評估標(biāo)度

1) 若α≥β，則sα≥sβ，特別若α=β，則sα=sβ；

2) 存在負(fù)算子neg(sα)=s-α，特別地，neg(s0)=s0；

3) 若α>β，則max{sα，sβ}=sα和min{sα，sβ}=sβ.

定義1設(shè)sα，sβ∈S，λ∈[0，1]，規(guī)定：

1) sα⊕sβ=sα+β； 2) λsα=sλα

定理1設(shè)sα，sα1，sα2∈S，則

1) sα1⊕sα2=sα2⊕sα1； 2) λ(sα1⊕sα2)=λsα1⊕λsα2(λ∈[0，1])；

3) λ1sα⊕λ2sα=(λ1+λ2)sα( λ1，λ2∈[0，1])

2支付值為語言信息的矩陣對策的數(shù)學(xué)表示及其解的定義

由于實(shí)際競爭性決策問題的復(fù)雜性和不確定性，通常很難精確地給定局中人的支付值，而采用語言評估術(shù)語相對方便、 簡單. 因此, 建立語言評估術(shù)語與語言值之間的對應(yīng)關(guān)系，可以方便地描述復(fù)雜的競爭性決策問題.

由于局中人之間的利益是根本對立的，因此對于有理智的局中人而言，常遵循“從最壞處著想，從最好處入手”的決策原則. 例如，設(shè)S′={s-3，s-2，s-1，s0，s1，s2，s3}，其中語言評估標(biāo)度的語義為s-3=極低，s-2=很低，s-1=低，s0=一般，s1=高，s2=很高，s3=極高. 局中人P1的語言值矩陣A為:

定義2 若存在混合策略(x*，y*)(x*∈X，y*∈Y)使得對任意x∈X，y∈Y，滿足:

E(x，y*)≤E(x*，y*)≤E(x*，y)

則稱(x*，y*)是Γ2的混合策略鞍點(diǎn)，x*與y*分別為局中人P1和P2的最優(yōu)(混合)策略，v=x*TAy*為語言對策值.

3二人零和語言值矩陣對策的線性規(guī)劃求解模型

每個(gè)局中人都是在對方的每個(gè)純策略下，考慮選擇使自己的語言期望支付值達(dá)到最大的混合策略. 當(dāng)局中人P1選用混合策略x∈X、 局中人P2選用純策略γj∈C2時(shí)，局中人P1的語言期望支付值為

其中: A?j是矩陣A的第j列,E(x，j)是語言值. 局中人P2選取純策略使E(y，j)達(dá)到最小，即為

(1)

其中： Ai?是矩陣A的第i行，E(i，y)是語言值. 局中人P1選取純策略使E(i，y)達(dá)到最大，即為:

(2)

(3)

和

(4)

根據(jù)前面的分析，式(3)與 式(4)可以改寫成為如下通常的一對對偶線性規(guī)劃模型：

(5)

和

(6)

4應(yīng)用實(shí)例分析

電商P1和P2爭奪某種產(chǎn)品電子商務(wù)市場，各自制定策略，以提高自己產(chǎn)品在電子商務(wù)市場的銷售量. 由于網(wǎng)上消費(fèi)對這兩種產(chǎn)品的需求量是固定的，因此一家電商銷售量的提高會(huì)引起另一家電商銷售量的下降. 兩家電商考慮采用下面3種策略來提高自己這兩種產(chǎn)品在該市場上的銷售量. 策略δ1：網(wǎng)絡(luò)宣傳； 策略δ2：降低價(jià)格； 策略δ3：改善物流服務(wù). 兩家電商策略的選擇問題可以看成一個(gè)矩陣對策，即電商P1和P2分別看成兩個(gè)局中人，均根據(jù)語言評估標(biāo)度集S′={s-3，s-2，s-1，s0，s1，s2，s3}對其局勢進(jìn)行判斷、 評估. 電商P1在各局勢下的支付矩陣用語言支付矩陣表示如下:

試確定兩家公司的極大-極小與極小-極大策略.

根據(jù)S′與語言支付矩陣A，可得語言評估標(biāo)度矩陣為:

由式(5)與式(6)可構(gòu)建如下一對對偶線性規(guī)劃模型:

(7)

和

(8)

5結(jié)論

本文研究了支付值為語言值的矩陣對策問題，提出這類矩陣對策的定義與解的概念，建立了局中人極大-極小與極小-極大策略問題的線性規(guī)劃求解方法. 該方法的主要特點(diǎn)是計(jì)算簡便、 實(shí)用性強(qiáng). 決策者或?qū)＜铱赏ㄟ^經(jīng)驗(yàn)或歷史數(shù)據(jù)評估出不同純策略局勢下的語言評估標(biāo)度，直接用該方法模型快速計(jì)算出最優(yōu)混合策略及語言對策值，為策略制定提供參考. 該方法可應(yīng)用于帶有模糊語言信息的其他競爭性決策與對策問題，是對經(jīng)典矩陣對策理論與方法的擴(kuò)展、 創(chuàng)新. 然而，研究中也發(fā)現(xiàn)該方法存在不足. 首先該方法要求決策者對局勢的語言評估是準(zhǔn)確的、 恰當(dāng)?shù)模駝t計(jì)算出的結(jié)果會(huì)有偏差，甚至錯(cuò)誤； 另外，該方法建立在均勻語言評估標(biāo)度的基礎(chǔ)上，實(shí)際對策局勢評估中存在語言標(biāo)度非均勻等情況. 顯然, 此類語言矩陣對策不適用本文提出的方法. 基于其他語言評估標(biāo)度方法，建立更有效的語言值矩陣對策的求解方法將是今后的研究工作.

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(責(zé)任編輯： 林曉)

Method for solving matrix games with payoffs of linguistic information

YANG Dianqing，LI Dengfeng

(School of Economics and Management，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

Abstract:The definition of linguistic labels and their operational laws as well as comparison laws are introduced. The definition of matrix games with payoffs of linguistic information and the concept of their solutions are given. The max-min and min-max strategies of two players are calculated by solving a pair of auxiliary linear programming models. A numerical example shows that the proposed method is effective and practical. The theory and method of matrix games with payoffs of linguistic information are not only an extension of those of classical matrix games，but also provide a new route for solving other matrix games with fuzzy linguistic information.

Keywords:linguistic information; matrix game; mathematical programming; game theory

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0301

文章編號(hào)：1000-2243(2016)03-0301-05

收稿日期:2014-06-12

通訊作者:李登峰(1965-)，教授，主要從事經(jīng)濟(jì)管理決策與對策、 運(yùn)籌管理等方面研究，lidengfeng@fzu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71231003，71171055)； 福建省社會(huì)科學(xué)規(guī)劃資助項(xiàng)目(2012C022，F(xiàn)J2015C141，F(xiàn)J2015B185)； 福建省中青年教師教育科研資助項(xiàng)目(JA13392S)； 福州大學(xué)社科科研扶持基金資助項(xiàng)目(15SKF13)

中圖分類號(hào)：O225

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A