正上密度回歸點集的若干性質(zhì)

曹 毅, 吳曉榮

(1. 江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 江蘇 常州　213001; 2. 南京外國語學(xué)校, 江蘇 南京　210008)

正上密度回歸點集的若干性質(zhì)

曹 毅1, 吳曉榮2

(1. 江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 江蘇 常州213001; 2. 南京外國語學(xué)校, 江蘇 南京210008)

摘要：令X為緊致度量空間，f:X→X為連續(xù)映射, 討論正上密度回歸點與支撐點的關(guān)系，并證明當(dāng)正上密度回歸點集稠密時, 可遷系統(tǒng)等價于E系統(tǒng).

關(guān)鍵詞：E系統(tǒng)； 支撐點； 正上Banach密度回歸點

0引言

拓?fù)淇臻g中連續(xù)自映射的周期點、 回歸點、 非游蕩點及映射混沌性是拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的重要研究內(nèi)容. 在這些方面，許多學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了廣泛的研究，做出了很多貢獻(xiàn)，而從純粹的拓?fù)浣嵌瓤矗貧w點集的軌道才是最重要的.

設(shè)(X,d)是緊致度量空間，f:X→X是連續(xù)映射. 若點x的軌道無限次地進(jìn)入它的任一鄰域，則稱之為f的回歸點. 根據(jù)點x的軌道進(jìn)入鄰域的不同頻數(shù)，可以有不同的回歸. 文獻(xiàn)[1]給出了一種特殊的回歸現(xiàn)象——正上Banach密度回歸. 討論正上Banach密度回歸點，得出正上Banach密度回歸點集在迭代作用的不變性，并給出正上Banach密度回歸點集稠密時f拓?fù)淇蛇w的等價條件.

1相關(guān)定義

定義2設(shè)A={a1, a2, …}，其中a1

定義4如果(X, f)拓?fù)淇蛇w且存在有全支撐的不變測度，則稱(X, f)為E系統(tǒng). 如果存在x∈X，對于任意ε>0，有m(V(x, ε))>0，則稱x為m∈M(X, f)的支撐點. Sm表示m所有支撐點的集合. 如果對于任意ε>0，存在m∈M(X, f)，使得m(V(x, ε))>0，則稱x∈X為f的支撐點.

2正上密度回歸點集與支撐點集

引理3[4]設(shè)(X, f)為一動力系統(tǒng)，E、 F分別為X的開子集和閉子集，m，mi∈M(X)，i=1, 2, …，且mi在ω*拓?fù)湎率諗康絤，則有

引理5[6]設(shè)(X, f)為一動力系統(tǒng)，則以下等價：

(1) f拓?fù)淇蛇w；

(2) f 為滿射且Trans(f)≠?；

定理1設(shè)(X, f)為一動力系統(tǒng)：

所以x為μ的支撐點，從而x為f的支撐點.

在上式中取g=χV，其中χV為V上的特征函數(shù). 從而有:

即

3正上密度回歸點集稠密的等價條件

定理3設(shè)(X, f)為一動力系統(tǒng)，下列條件等價：

(2) (X, f)是E系統(tǒng)；

證明充分性顯然.

因為N(W, W)?N(x, W)-N(x, W)，由引理6得N(W, W)為Syndentic集.

而當(dāng)fi(W)∩W≠φ時，fi+n(U)∩V?fi+n(W)∩fi(W)?fn(fi(W)∩W)≠?, 即

于是N(U, V)為Syndentic集，f是拓?fù)鋸?qiáng)遍歷的.

引理7[7]設(shè)X為一緊致度量空間，f：X→X是連續(xù)滿射，則f拓?fù)淙醣闅v且不是敏感依賴于初始條件的充分必要條件是f是一致幾乎周期的極小同胚.

引理8[8]設(shè)X為一緊致度量空間，f：X→X是連續(xù)滿射，則f一致幾乎周期的充分必要條件是f等度連續(xù).

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(責(zé)任編輯： 洪江星)

Some properties of positive upper density recurrence points

CAO Yi1, WU Xiaorong2

(1. School of Mathematics and Physics, Jiangsu University of Technology, Changzhou, Jiangsu 213001, China; 2. Nanjing Foreign Language School, Nanjing, Jiangsu 210008, China)

Abstract:Let X be a compact metric space and f:X→X a continuous onto maps. This paper discusses the relationships of the positive upper Banach density recurrence point and the support point, and proves that a topologically transitivity system is equivalent to a E-system when the set of positive upper Banach density recurrence points is dense.

Keywords:E-system; support point； positive upper Banach density recurrence points

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0401

文章編號：1000-2243(2016)03-0401-04

收稿日期:2013-11-22

通訊作者:曹毅(1978-)，講師，主要從事方向動力系統(tǒng)與遍歷理論方面的研究，cyy7812@163.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11102076)； 江蘇理工學(xué)院青年科研基金資助項目(KYY12023)

中圖分類號：O189.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A