數(shù)學問題過程性變式的應(yīng)用探索與思考

楊松

摘 要： “變式”是中國傳統(tǒng)而有效的數(shù)學教學方法，它對學生數(shù)學知識的掌握和技能的形成有很大幫助。本文從變式理論角度探究初中數(shù)學過程性變式教學，探索變式教學對學習者的影響，了解過程性變式教學的適用范圍，精心設(shè)計變式題，使數(shù)學中過程性變式的功能得到最大限度的發(fā)揮。

關(guān)鍵詞： 變式教學 過程性變式 教學問題

一、過程性變式在數(shù)學教學中的界定

變式分為概念性變式和過程性變式。過程性變式的含義是在指數(shù)學活動過程中，通過有層次的推進，使學生逐步形成概念、推演命題或解決問題，形成活動經(jīng)驗。這種教學方式并不是一種“機械訓(xùn)練”，而是促進有意義學習的教學手段。概念性變式關(guān)注的是數(shù)學學習對象靜態(tài)的、整體的、相對穩(wěn)定的內(nèi)涵與外延特征，而過程性變式關(guān)注的是數(shù)學學習對象動態(tài)的、內(nèi)在的、層次性遞進的過程。

二、過程性變式的理論基礎(chǔ)

（一）腳手架理論。

伍德等人曾用“腳手架”一詞描述小孩成人指導(dǎo)下學習。布魯納將該理論應(yīng)用于教學中，強調(diào)教師要搭建適當?shù)摹澳_手架”，以促進學生“最近發(fā)展區(qū)”。過程性變式教學中的鋪墊策略強調(diào)有層次地搭建適當臺階，幫助學生化解難點，逐步解決問題。

（二）建構(gòu)主義理論。

建構(gòu)主義的數(shù)學教學觀認為，學習是學習者的主動建構(gòu)，而不是被動接受。過程性變式教學重視知識的發(fā)生過程，把教學作為一個活動過程，通過體驗、探索，擴充原有認知結(jié)構(gòu)，建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu)。

（三）加涅的教學序列觀點。

加涅的教學序列觀點強調(diào)教學設(shè)計上要求：一是確定各分任務(wù)；二是保證各分任務(wù)的完成；三是設(shè)計一個完成任務(wù)的順序。這與過程性變式教學中有層次地推進教學活動的觀點不謀而合。

三、過程性變式在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用

通過過程性變式教學，使學生掌握知識的來龍去脈，在解決問題的過程中獲取活動經(jīng)驗，逐步形成形式運算的認知結(jié)構(gòu)。我從以下三方面談?wù)勥^程性變式在教學中的應(yīng)用。

（一）變式創(chuàng)設(shè)情境，體現(xiàn)概念的形成。

每個概念都有一個形成的過程，教師不能簡單地將教材知識“復(fù)制”后再“粘貼”到學生頭腦中，而應(yīng)在具體問題中導(dǎo)入情境，逐步轉(zhuǎn)化為抽象概念，這有助于概念的掌握。例如，常量和變量在一個過程中是相對存在的，學生較難理解。我在教學中圍繞行程問題舉三個例子：晚飯后小明和媽媽去散步，（1）如果他們勻速步行，速度V是常量，時間T和路程S是變量；（2）如果他們從家到學校，路程S是常量，速度V和時間T是變量；（3）如果他們步行30分鐘，時間T是常量，路程S和速度V是變量。通過這些例子，讓學生學會辯證地看問題。

（二）變式鋪墊，解決問題。

數(shù)學問題解決的一條基本思路是“將未知問題化為已知問題，將復(fù)雜問題化為簡單的問題”。但由于學生對未知問題的化歸經(jīng)驗和能力有限，需要設(shè)置一系列過程性變式在已知和未知之間適當鋪墊，作為化歸臺階。例如，等腰三角形判定定理的證明思路不易形成，我做如下啟發(fā)：（1）已知什么？需要求證的結(jié)論是什么？（2）要證明兩條邊相等，我們已經(jīng)有了哪些經(jīng)驗？（3）為了構(gòu)造以AB、AC為對應(yīng)邊的兩個三角形全等，可怎樣添輔助線？（4）作頂角的平分線AD能說明兩個三角形全等嗎？根據(jù)什么？在實際教學中，將復(fù)雜問題分解成一個個有序的問題串，即通過變式鋪墊，幫助學生有層次地解決復(fù)雜問題。這隱含了加涅的序列教學觀點和“腳手架”教學觀。

（三）變式拓展，形成經(jīng)驗系統(tǒng)。

無論是關(guān)注概念的形成，還是鋪設(shè)臺階解決問題，都是通過體驗參與和有層次推進形成經(jīng)驗，不斷豐富學生的認知系統(tǒng)。其中，豐富有效的經(jīng)驗對于認知系統(tǒng)的完善非常重要。變式活動是豐富學生數(shù)學經(jīng)驗的有效途徑，我們可以在教學活動中經(jīng)常提供以下機會豐富學生的數(shù)學學習。

1.一題多變

一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，是指變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而題目的實質(zhì)不變，以便從不同角度、不同方面揭示題目的本質(zhì)，用這種方式進行教學，能使學生隨時根據(jù)變化的情況積極思考，探索解決問題的辦法，培養(yǎng)思維的靈活性。一題多變可以改變條件，保留結(jié)論；也可以保留條件，改變結(jié)論；或者同時改變條件和結(jié)論；也可以將某項條件與結(jié)論對換，等等。

例如：已知：C為線段AB上一點，△ACM和△CBN為等邊三角形，求證：AN=BM.

探索一：設(shè)CM、CN分別交AN、BM于P、Q，AN、BM交于點R。問此題中還有其他的邊相等及特殊角、特殊圖形嗎？請給予證明。

探索二：△ACM和△BCN如在AB兩旁，其他條件不變，AN=BM成立嗎？

探索三：△ACM和△BCN分別為以AC、BC為底且頂角相等的等腰三角形，其他條件不變，AN=BM成立嗎？

探索四：A、B、C三點不在一條直線上時，其他條件不變，AN=BM成立嗎？

探索五：A、B、C三點不在一條直線上時，△ACM和△BCN分別變?yōu)檎叫蜛CME和正方形BCNF，其他條件不變，AN=BM成立嗎？這樣教學，不僅提高了學生運用知識的能力，而且發(fā)展了學生的求異思維。

2.一題多解

一題多解是對同一個數(shù)學問題在一定的知識和能力范圍內(nèi)給出不同的解決方法。這種變式的目的不是展示有多少種解題途徑，而是發(fā)展數(shù)學思維，培養(yǎng)好的思維品質(zhì)。這種變式教師平常使用較多，不再列舉。

3.一法多用

一法多用指同一解題方法被用于包含不同知識點的問題的解決。這里的“法”是指具體的解題方法，而不是數(shù)學思想方法。以下習題屬于不同知識點，但解法相同。例如：（1）已知線段AF上有B、C、D、E四個點，圖中共有幾條線段？（2）在∠AOF的內(nèi)部引射線0B、OC、OD、OE，圖中共有幾個角？（0°<∠AOF<180°）（3）n條直線兩兩相交最多有幾個交點？（4）凸n邊形共有幾條對角線？（5）參加研討會的每個人見面時都要其他人握一次手，一共28次，那么有多少人參加會議？

四、如何培養(yǎng)數(shù)學問題的變式能力

著名的數(shù)學教育家波利亞形象地指出：“好問題同種蘑菇類似，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個?！苯處熍囵B(yǎng)學生思考、解決問題的目的是培養(yǎng)探索解決問題途徑的能力和探索新事物的學習精神，那么如何培養(yǎng)學生針對舊問題而提出新問題（問題變式）的能力，筆者結(jié)合自己的教學實踐從以下方面進行闡述。

（一）夯實基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系。

數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本概念（定義、定理、性質(zhì)、公式、法則）是解決數(shù)學問題、產(chǎn)生新問題的起點。要從知識發(fā)生的過程和學生認知的最近發(fā)展區(qū)來設(shè)計問題，不是將公式簡單地告訴學生，而是通過設(shè)計開放性問題，讓學生通過類比、歸納、猜想得出結(jié)論并進行論證。

案例求證：順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：求證：順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形。

變式2：求證：順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形。

變式3：求證：順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是正方形。

變式4：順次連接什么四邊形中點得到平行四邊形？

變式5：順次連接什么四邊形中點得到矩形？

變式6：順次連接什么四邊形中點得到菱形等？

通過這樣一系列變式，學生能充分掌握四邊形的基礎(chǔ)知識和基本概念，強化溝通常見特殊四邊形的性質(zhì)和判定定理、三角形中位線定理等，拓展解題思路，激發(fā)興趣。

（二）推陳出新，發(fā)展思維。

扎實的基礎(chǔ)知識是形成創(chuàng)新意識的前提，教學中要使學生把握知識的產(chǎn)生“過程”，學生在具體在數(shù)學活動中表現(xiàn)出的基本特征是：流暢性，即能在短時間內(nèi)表達較多的概念；變通性，即舉一反三，觸類旁通，能提出超常的設(shè)想或新觀點；獨創(chuàng)性，即對事物的處理或判斷表現(xiàn)出獨特的見解，推陳出新。

（三）掌握規(guī)律，形成技能。

數(shù)學問題的變式以問題為基礎(chǔ)，與學生的思維水平相適應(yīng)，對學生的思維素質(zhì)要求較高，但仍有一定的方法技巧可循。要引導(dǎo)學生根據(jù)現(xiàn)有的思維水平，運用已掌握的知識，把碰到的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或容易解決的數(shù)學問題，變中求解，解中求變。

（四）數(shù)學問題變式設(shè)計應(yīng)注意的問題。

根據(jù)教學需要，遵循學生的認知規(guī)律設(shè)計變式。其目的是通過變式訓(xùn)練，使學生在理解知識的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為能力和技巧，完成“應(yīng)用—理解—形成技能—培養(yǎng)能力”的認知過程。因此，數(shù)學變式設(shè)計要巧，設(shè)計數(shù)學變式應(yīng)注意以下幾個問題：1、差異性。要強調(diào)一個“變”字，避免簡單重復(fù)。變式的題組之間有明顯的差異，學生既熟悉又新鮮，做到變中求“活”、求“新”、求“異”、求“廣”。2.層次性。變式要有一定的難度才能激發(fā)學生的好奇心和求知欲。變式要由易到難，層層遞進，讓問題處于學生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”。3.開闊性。設(shè)計數(shù)學變式要內(nèi)涵豐富，給學生留下充足的思維空間，，所選范例注意知識的橫向聯(lián)系和延伸性。4.靈活性。問題變式訓(xùn)練的方式要靈活多樣，學生獨立練習和教師啟發(fā)引導(dǎo)相結(jié)合。同時，一個題目的變式有時可分幾次完成，充分展現(xiàn)知識螺旋上升的方式。

總之，適當利用變式教學，會對數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)的形成、能力的提高帶來意想不到的效果，同時它也是新課程背景下“輕負高質(zhì)”課堂教學的一種很好的教學手段。

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