數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂
——“湊十法”在四則運算和圖形計算中的變式運用

四川省犍為縣研訓(xùn)中心 王賢華

什么是數(shù)學(xué)思想，就是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學(xué)事實和數(shù)學(xué)理論本質(zhì)的認(rèn)識。一個人學(xué)會了一定的數(shù)學(xué)知識，隨著時間的推移會漸漸遺忘，甚至一片空白，但領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想，掌握了獲取知識的方法就是掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精髓。新課程標(biāo)準(zhǔn)里強調(diào)：數(shù)學(xué)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成和蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法。要讓學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、獲到基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。所以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的開始——一年級，教師就要鉆研教材，分析教材中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，有意識地培養(yǎng)學(xué)生深刻領(lǐng)悟并靈活運用數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)中要有意識地開展數(shù)學(xué)思想的變式滲透，促進學(xué)生可持續(xù)的發(fā)展，是新課標(biāo)給數(shù)學(xué)老師提出的要求?！皽愂ā钡乃枷敕椒ǎ寣W(xué)生初步感知到數(shù)學(xué)的知識與方法的聯(lián)系，即數(shù)學(xué)的知識中包含著方法，方法能促進獲取知識?！皽愂ā痹谝院蟮摹靶?shù)”“分?jǐn)?shù)”以及“幾何圖形”的知識學(xué)習(xí)中都能變式運用。

一、“湊十法”在20以內(nèi)的加法里的運用

在一年級的教材里，9加幾的進位加法的教學(xué)過程：出示了情景后列式：9+4。先利用實物圖（主題圖中）計算9+4，呈現(xiàn)了點數(shù)、接著數(shù)、湊整箱（湊十法）三種方法，比較分析后討論方法的優(yōu)劣，重點顯示“湊十法”的計算過程，并通過擺一擺、算一算，加深對“湊十法”的理解。還配合圖在算式下面注出了湊十的過程，把操作與計算對應(yīng)起來，便于學(xué)生理解算理和掌握“湊十法”，也為學(xué)生脫離實物通過思考算出得數(shù)打下基礎(chǔ)。

這個圖式完整表達了湊十法的思維過程，通過4拆成1和3（為什么不拆成2和2），再用9和1組成了10，用數(shù)的組成計算進位加法。這樣9加幾的進位加法轉(zhuǎn)化成了10加幾的加法。通過比較、體驗和感受，從而讓學(xué)生主動接受和應(yīng)用湊十法，通過這樣的教學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用一種具體的算法，更讓學(xué)生進一步認(rèn)識湊十的計算快捷性，讓學(xué)生真正經(jīng)歷由數(shù)數(shù)—計算—算理的發(fā)展過程。湊十法的教學(xué)過程，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的思想方法有“分解與組合”“轉(zhuǎn)化與變換”的方法。以上教學(xué)過程我認(rèn)為還可以適當(dāng)擴展，以利于今后的學(xué)習(xí)需要。

以上兩種計算方法，左面是讓學(xué)生理解湊十時可以看大數(shù)拆小數(shù)，也可以看小數(shù)拆大數(shù)，本質(zhì)上是同一種思維。而教材強調(diào)拆4補9（看大數(shù)拆小數(shù)），忽略了拆9補4 （看小數(shù)拆大數(shù)），兩種思路沒有優(yōu)劣之分，兩種方法都能開發(fā)學(xué)生的思維。上面的計算方法讓學(xué)生領(lǐng)悟：把一個數(shù)拆成兩個數(shù)的和，也可以拆成兩個數(shù)的差。這樣補充后在一年級學(xué)生的心靈深處扎下了對“湊十法”的牢牢根基。一題多解、一題多變，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。

二、“湊十法”在四則運算中的變式運用

多位數(shù)加減法的計算中常常使用湊整百、整千等的方法，學(xué)生的學(xué)習(xí)起點仍然是一年級學(xué)習(xí)的“湊十法”的發(fā)展和運用。雖然知識內(nèi)容不同，但采用的數(shù)學(xué)思想方法不變，這就體現(xiàn)了思想方法的層次性。

案例：（一）487+398的教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)的特點，得出398很接近400，所以把398拆成400—2，487+398=487+400—2=885 （二）482—305的教學(xué)時，讓學(xué)生觀察數(shù)的特點，知道305由300和5組成，所以把305拆成300+5，482—305=482—300—5=177 這兩個案例是把一個數(shù)拆成兩個數(shù)和或差，是其思維方法與9拆成3和6或者10—1同出一脈。

由20以內(nèi)的計算到多位數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的計算，“湊十法”的思想都得到體現(xiàn)?？梢?，數(shù)學(xué)思想是一種隱性知識，它從淺層到深刻的遞進。

三、“湊十法”在幾何面積計算中的變式運用

生活中處處需要測算幾何圖形的周長或面積，但更多不規(guī)則圖形的相關(guān)計算需要學(xué)生掌握一定的方法，一般都是采用割補法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從而合理地計算。變式后將未知轉(zhuǎn)化為已知，實現(xiàn)了認(rèn)知方法的飛躍。

（一）割補法在圖形面積計算中的運用

如測算小旗的面積是多少？

學(xué)生討論后得出有兩種作圖方法：一是通過分割，圖形變?yōu)橐粋€長方形和兩個三角形。二是通過貼補，圖形變成為一個長方形和一個三角形。不規(guī)則圖形通過割補（相當(dāng)于數(shù)的分與合）轉(zhuǎn)化成了長方形和三角形，測量相關(guān)數(shù)據(jù)后計算圖形的面積計算。作輔助線的割（補）與9分成3+6或者9分成10—1其方法同出一轍。這是“湊十法”由數(shù)到形的演變。

（二）轉(zhuǎn)化在周長中滲透

不規(guī)則圖形的周長轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的周長。求不規(guī)則圖形的周長時，用平移的方法，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，然后求其周長。通過變形實現(xiàn)新舊知識的銜接，實現(xiàn)了復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化。

圖形的“分解與組合”與“轉(zhuǎn)化與變換”——數(shù)字的分合，二者之間蘊含的數(shù)學(xué)思想方法完全一致。

湊十法的運用可以從20以內(nèi)的加法遷移到整數(shù)的加減，再拓展到圖形的割補或平移。雖然內(nèi)容不同，但蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法有共通性，因此數(shù)學(xué)思想方法往往是以數(shù)學(xué)知識為載體，以隱蔽的形式蘊含于課本的具體內(nèi)容之中，這就要求教師首先要弄清楚教材中所反映的數(shù)學(xué)思想方法以及它與數(shù)學(xué)相關(guān)知識之間的聯(lián)系。教學(xué)中，教師要對整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材進行全面梳理，從縱橫兩個維度研究每一種數(shù)學(xué)思想的系統(tǒng)，從而在具體的教學(xué)中有的放矢地進行變式教學(xué)，真正讓數(shù)學(xué)思想的變式舉一反三、觸類旁通。