用圖形運動變換的思想添輔助線

上海市沙田學(xué)校 馮 祺

在初中幾何學(xué)習(xí)中，如何添置恰當(dāng)?shù)妮o助線，一直是學(xué)生們覺得有困難的問題。其實根據(jù)條件或結(jié)論，快速、有效、合理地添置輔助線是有章可循的。例如根據(jù)常見的基本圖形補缺添輔助線；根據(jù)所用的幾何定理所在的基本圖形補缺添輔助線；“截長補短”“倍長中線”等。下面，介紹一種自己在多年的教學(xué)實踐中感悟到的用圖形運動變換的思想添輔助線的一些想法，供大家參考。

一、平移變換

平移變換主要出現(xiàn)在與梯形有關(guān)的幾何題中，如添一腰的平行線、添對角線的平行線等。

如圖1，添腰的平行線可以看成是將一腰平移；

如圖2，添對角線的平行線可以看作是平移一條對角線。

例1：如圖3所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+ ∠B= 9 0°，點M、N分別是AB、CD的中點。

求證：MN=(AB-CD)

分析：

所證等式右邊有AB－CD，通過平移一腰至DP，即可證得AP=AB－CD，且有∠ADP=90°，在Rt△ADP中，AP上的中線等于 ，故平移MN至DG，本題歸結(jié)證點G是AP的中點的問題。

用平移變換思想得到的是輔助線的添置位置，但書寫時仍必須使用演繹證明的規(guī)范的數(shù)學(xué)語言：“過點D分別作DP∥BC，DG∥MN，分別交AB于點P、G”（證明過程略）。

本題也可以通過如圖4的平移變換方法，即分別平移BC至NP，平移AD至NG得Rt△GNP，且GP=AB－CD，本題歸結(jié)為證點M是GP的中點。輔助線的書寫方法是：

“過點N分別作NP∥BC，NG∥AD，分別交AB于點P、G”。

這種圖形運動變換的實質(zhì)是將相對分散的元素∠A、∠B；AD、BC變得相對集中（集中在同一個直角三角形中），使得條件與結(jié)論之間的關(guān)系變得相對明朗起來。若能領(lǐng)會平移變換的這一實質(zhì)，有些變化了的有難度的問題就能容易解決，無形中降低了學(xué)習(xí)難度。

二、翻折變換

翻折變換是將圖形中的一部分沿某條直線翻折，利用軸對稱性質(zhì)，翻折后的圖形與原圖形是全等形，實現(xiàn)圖形位置遷移而利于解題的方法。當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線或垂線時，我們可以嘗試將某個三角形沿著角平分線或垂線翻折，翻折后的圖形所在的位置就是所要添線的位置。

例2：如圖5，在△ABC中，AD平分∠BAC，

∠B=2∠C，BD=2，AC=6，

求：AB的長。

分析：

因為∠B=2∠C，可知AC＞AB，由AD平分∠BAC可知將△ABC沿AD翻折，線段AB必定落在AC上，設(shè)點B的對稱點為點E，則△ADE≌△ADB，得AB=AE=ACEC=6－EC，BD=ED=2，∠1=∠B=2∠C，根據(jù)三角形外角定理可以得到∠2=∠C推出ED=EC=2，從而求得AB=6－2=4。基于上述分析可得本題輔助線的寫法：“在AC上截取點E，使AE=AB，聯(lián)結(jié)ED”。（證明過程略）

本題通過翻折變換，將AB變換到AC上，一看即知，只要求出EC即可，而根據(jù)已知條件和全等三角形的性質(zhì)是不難求得結(jié)果的。倘若不經(jīng)過翻折變換，很難將AB 、AC、 BD三者掛上鉤。本題還可以將△ADC沿角平分線AD翻折，同樣可求得AB=4。

三、旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換是將圖形中的一部分繞某一定點旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)到一個新的位置，同樣使部分元素相對集中，利于找到各個元素之間的互相關(guān)系的方法。

如圖7所示，“倍長中線”一類的輔助線添法，完全可以看成是將△ADC繞著中點D旋轉(zhuǎn)180°后得到的。

例3：如圖8，AD是△ABC的邊BC上的中線，AE

是△ABD的邊BD上的中線，且BA=BD。

求證：AC=2AE。

分析：

AE是△ABD的邊BD上的中線，則點E是BD的中點，我們可以將△ABE繞點E旋轉(zhuǎn)180°變換到△FDE的位置，則△FDE與△ABE全等，∠B變換到∠2，AB變換到DF，AE變換到FE，∴AF=2AE，故只要證AC=AF?！連A=BD，∴∠BAD=∠1，∵∠3=∠BAD+∠B，∴∠3=∠1+∠2，即∠3=∠ADF，∵AD是BC上的中線，∴CD=BD=AB=DF，∵AD=AD，∴△ADC≌△ADF，得AC=AF=2AE。

本題輔助線添置的書寫方法是：“延長AE至點F，使EF=AE，聯(lián)結(jié)DF”，這樣寫可以保證證得△FDE≌△ABE。這種添線的思路與常說的“倍長中線”一致，但我總結(jié)的規(guī)律是：“看見中點，嘗試繞這個中點將某個三角形旋轉(zhuǎn)180度”。因為有很多的幾何題只出現(xiàn)中點但并沒有中線，所以倍長中線的說法明顯有較大局限。本題通過旋轉(zhuǎn)變換，將原本相對分散的元素AB、CD；AE、AC集中在了兩個全等的三角形中，從而便于思考并解決問題。本人在多年的教學(xué)實踐中覺得這種思考問題的方式可應(yīng)用的范圍更廣。

總結(jié)用圖形運動變換的思想添輔助線的實質(zhì)，就是通過圖形運動變換實現(xiàn)圖形位置遷移，使相對分散的元素變得相對集中，從而更容易找到題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系。當(dāng)然，有些幾何題的條件符合上述規(guī)律，用上述總結(jié)的方法，不一定能百分之百地解決問題，有時還得結(jié)合其它添線的方法綜合使用。當(dāng)你在解幾何題碰到添線困難時，不妨用一用上述總結(jié)的方法，或許會讓你柳暗花明。