一種基于LMS的振動信號相位差自適應無偏估計方法及應用

楊輝躍, 涂亞慶, 張海濤, 李　明

(后勤工程學院 信息工程系，重慶　401311)

一種基于LMS的振動信號相位差自適應無偏估計方法及應用

楊輝躍, 涂亞慶, 張海濤, 李明

(后勤工程學院 信息工程系，重慶401311)

摘要：針對振動信號相位差估計問題，提出了一種基于LMS的自適應無偏估計方法。該方法通過一路信號與其正交的三角運算來配準另一路信號，相位差的正切值等于兩個配準系數(shù)之比；根據(jù)均方誤差最小原則對配準系數(shù)進行迭代更新，從而實現(xiàn)相位差自適應估計；理論推導出噪聲引起的估計偏差，并據(jù)此對估計結(jié)果進行偏差補償，實現(xiàn)相位差無偏估計，給出了補償公式和方法流程。實驗結(jié)果表明：該方法能準確估計出兩路同頻振動信號相位差，經(jīng)偏差補償后估計精度顯著提高；在相位差發(fā)生突變時，能進行快速跟蹤測量，具有較好動態(tài)測量特性；該方法在變化流量下科氏流量計振動信號相位差估計中的應用，驗證了方法的工程實用性。

關鍵詞：相位差; 自適應; 無偏估計; LMS算法; Hilbert變換

相位差測量技術在振動分析、故障診斷、電力系統(tǒng)、儀器儀表、智能控制等諸多領域應用中有著重要意義[1-3]?，F(xiàn)有諸如過零鑒相[4]、數(shù)字相關[5-6]、DFT譜分析[7]等方法在動態(tài)相位差估計方面存在各自不足。過零鑒相法利用兩路信號過零點的時間計算相位差，計算速度快，但硬件成本高；數(shù)字相關法利用兩路信號的相關函數(shù)估計相位差，對隨機噪聲抑制能力強，但受諧波影響較大且要求同步采樣；DFT譜分析將信號從時域變換到頻域，利用相頻關系估計相位差，應用廣泛，但受譜泄漏影響。最小均方(LMS)自適應算法[8]由于無需信號先驗知識，且計算簡便，易于實現(xiàn)，廣泛應用于自適應濾波器、頻率跟蹤、時延估計等領域[9-12]。文獻[13]通過自適應相位計跟蹤信號相位變化，利用兩個相位計的估計值之差實現(xiàn)相位差估計，但難以估計動態(tài)相位差；文獻[14]通過對輸入信號進行自適應延遲補償，使得補償后的信號與參考信號對齊，并在最小均方誤差準則下對延遲補償因子進行計算和修正，由延遲補償因子獲得相位差，但受噪聲影響存在估計偏差。

本文利用一路信號與其正交變換來配準另一路信號，并根據(jù)最小均方誤差對配準系數(shù)進行自適應更新，針對估計偏差問題在迭代過程中進行了偏差補償，實現(xiàn)相位差自適應無偏估計。

1方法原理

1.1基本思想

設兩路同頻實正弦信號采樣序列為s1(k),s2(k)：

k=1,2,…,N

(1)

式中，A為信號幅值，θ1,θ2為初始相位，角頻率ω0=2πf0/fs，fs為采樣頻率，n1(k)和n2(k)是零均值，方差為σ2的高斯白噪聲，N為采樣長度。

(2)

估計誤差：

ε(k)=Asin(ω0k+θ1)-ws(k)Asin(ω0k+θ2)-

wc(k)Acos(ω0k+θ2)+n3(k)

(3)

系數(shù)ws(k)和wc(k)中蘊涵相位差Δθ信息，利用LMS算法對ws(k)和wc(k)進行自適應更新，在均方誤差E[ε2(k)]→min時即可解算出相位差Δθ。

1.2相位差計算

Δθ=θ1-θ2=arctan(wc/ws)

(4)

圖1　相位差自適應估計原理Fig.1 Principle of the phase difference adaptive estimation

1.3自適應更新

對ws(k)和wc(k)采用LMS最大梯度迭代算法進行自適應計算，有：

(5)

式中，μ為步長。

1.4估計偏差與補償

由于噪聲影響，式(5)的計算結(jié)果通常存在偏差。穩(wěn)態(tài)條件下，設

ws(k)≈ws0,wc(k)≈wc0

δws(k)=ws(k)-ws0,δwc(k)=wc(k)-wc0

(6)

代入式(3)，整理可得：

ε(k)=-δws(k)Asin(ω0k+θ2)-

δwc(k)Acos(ω0k+θ2)+n3(k)

(7)

考慮噪聲，對式(5)兩邊同時減去ws0或wc0，得：

δws(k+1)=δws(k)-με(k)s2(k)

(8)

兩邊取期望，有，

E[δws(k+1)]=E[δws(k)]-μE[ε(k)s2(k)]=

(9)

穩(wěn)態(tài)條件下，一般有

E[δws(k+1)]|k→∞=

E[δws(k)]|k→∞=E[δws(∞)]

(10)

考慮到噪聲相關性，聯(lián)合式(9)和(10)有：

(11)

同理，可得：

(12)

可見，相位差估計是有偏的，偏差大小與信噪比SNR、步長μ以及對ws(k)和wc(k)的穩(wěn)態(tài)值有關。

穩(wěn)態(tài)下，則偏差補償算法為

ws(k+1)=(1+G)ws(k)-με(k)s2(k)

(13)

式中，G=2σ2/μA2。

1.5方法流程

綜上所述，方法流程如圖2所示，具體步驟如下：

步驟1信號采樣，獲取離散序列s1(k)和s2(k)；

步驟2初始化參數(shù)wc(0),ws(0)和步長μ，估計信噪比SNR；

步驟6根據(jù)式(13)對參數(shù)ws(k)和wc(k)進行自適應更新；

步驟7計算相位差Δθ=arctan(wc/ws)。

圖2　相位差自適應估計流程Fig.2 Flow of the phase difference adaptive estimation

2性能分析

(14)

以下分析均方誤差

μ2E[{ε(k)s2(k)}2]

(15)

結(jié)合式(11)，可推導出

(16)

(17)

(18)

同理，可得

(19)

聯(lián)立式(18)和式(19)解得：

(20)

3實驗結(jié)果

3.1仿真實驗

設信號頻率f=198 Hz，幅值A=10，相位差分別Δθ=[π/6,π/4,π/3]，SNR=30 dB，采樣頻率fs=20 000 Hz，初始化步長μ=0.48×10-4，利用本文方法估計相位差，得到估計結(jié)果如圖3所示。表1給出了穩(wěn)定后的估計值、均方差及比值校正后的相位差估計值。由實驗結(jié)果可知，本文方法能準確估計出同頻信號相位差，穩(wěn)態(tài)精度與比值校正法持平；校正前存在顯著偏差，均方誤差為13.832 7，經(jīng)偏差校正后均方誤差為0.081 4，估計精度明顯提高。

圖3　相位差跟蹤結(jié)果Fig.3 Phase difference estimation

理論值比值校正校正前估計值均方差校正后估計值均方差3030.107126.330313.832730.11570.08144545.068241.317713.679345.09680.08756060.055656.297213.593660.07040.0962

自適應算法中步長μ影響收斂速度和穩(wěn)定精度，μ值越大收斂越快，但穩(wěn)態(tài)精度降低，反之則穩(wěn)態(tài)精度高、收斂速度慢。圖4為不同步長下相位差估計的穩(wěn)態(tài)精度，可見在校正后方法精度更高。

圖4　不同步長下相位差估計均方誤差Fig.4 MSEs of phase difference estimation at different steps

圖5給出了不同信噪比下相位差估計結(jié)果。信噪比較低時，偏差校正效果明顯，當SNR>30 dB時，信噪比已非影響精度的主要原因，校正前后精度基本一致。

圖5給出了相位差突變時本文方法校正前后的跟蹤結(jié)果。相位差發(fā)生突變時，本文方法能實現(xiàn)有效的跟蹤測量，且收斂速度快。

圖5　不同信噪比下相位差估計均方誤差Fig.5 MSEs of phase difference estimation at different SNRs

圖6　時變相位差跟蹤結(jié)果Fig.5 Estimation of time-vary phase difference

3.2應用實驗

圖7　科氏流量計實驗平臺Fig.7 Experiment equipment of Coriolis mass flowmeter

科氏流量計通過測量管兩路振動信號的相位差(時間差)來測量流體的質(zhì)量流量。利用圖7所示科氏流量計實驗裝置進行應用驗證，其中羅斯蒙特F200S型科氏流量計(配1700型變送器，帶MVD技術)振動信號頻率為197.75 Hz。利用NIUSB9234多通道數(shù)據(jù)采集器，以采樣頻率10 kHz采集水流量下科氏流量計振動信號。采集開關閥過程中，流量變化下科氏流量計振動信號。圖8給出了4 000點的采樣波形，可見科氏流量計信號較為干凈。利用本文校正方法跟蹤相位差變化，圖9給出了示值流量分別從105.2 kg/min和42.7 kg/min到0 kg/min過程中，本文方法估計的相位差變化。采用流量計示值作為參考，推導出相位差變化趨勢及幅度與本文方法估計值吻合，說明本文方法在科氏流量計信號處理應用中是有效可行的。

圖8　科氏流量計信號時域波形Fig.8 Signals of Coriolis mass flowmeter

圖9　流量變化時相位差估計曲線Fig.9 Phase difference estimation when flow changes

4結(jié)論

針對同頻信號相位差估計問題，本文提出了一種基于LMS的相位差自適應無偏估計方法。給出了方法的基本思想、相位差估計和偏差校正公式，給出了方法流程，并分析了方法性能。實驗結(jié)果表明本文方法能準確估計出振動信號相位差；在相位差發(fā)生突變時，能進行快速跟蹤測量，具有較好動態(tài)測量特性；科氏流量計應用實驗驗證了本文方法的工程實用性。后續(xù)研究將圍繞進一步提高估計精度展開。

參 考 文 獻

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LMS based phase difference adaptive unbiased estimation method and its application

YANG Hui-yue, TU Ya-qing, ZHANG Hai-tao, LI Ming

(Department of Information Engineering, Logistical Engineering University, Chongqing 401311, China)

Abstract:For phase difference estimation of vibration signals, a LMS based adaptive unbiased estimation method was proposed. In the method, one of the two signals and its orthogonal signal were used to synthesize a new signal which is seen as the estimation of the other signal and the phase difference of the two signals was equal to the ratio of two matching coefficients. The coefficients were adaptively updated to minimize the mean square matching error and then to realize the adaptive estimation of phase difference. The estimation bias resulted from noises was theoretically derived. For improving the precision, the estimated results were compensated according to the estimation bias to obtain an unbiased estimation of phase difference. The compensation formula and process of the proposed method were given out. The experimental results show that the proposed method is able to accurately estimate the phase difference of two signals with the same frequency. The precision of estimation is significantly improved by bias compensation. The proposed method has a good dynamic measurement characteristic which makes it still available when mutations of the phase difference occur. The application of the proposed method in measuring the dynamic phase differences of Coriolis flow meter signals in the varying flow situation verifies its engineering practicability.

Key words:phase difference; adaption; unbiased estimation; LMS algorithm; Hilbert transform

基金項目：國家自然科學基金(61271449；61302175)；重慶市基礎與前沿研究計劃項目(CSTC2013JCYJA40030; CSTC2015JCYJBX0017)

收稿日期：2015-03-26修改稿收到日期：2015-05-24

通信作者涂亞慶 男，博士,教授,博士生導師，1963年生

中圖分類號:TP206+.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.009

第一作者 楊輝躍 男，博士,講師，1987年生

E-mail:yq.tu@163.com