廣義變分不等式解的精煉*

趙淵嫣，楊　輝，陳　莎

(貴州大學(xué)理學(xué)院 ，貴州　貴陽　550025)

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廣義變分不等式解的精煉*

趙淵嫣，楊輝，陳莎

(貴州大學(xué)理學(xué)院 ，貴州貴陽550025)

摘要：主要通過對集值映射Φ的定義域X和法錐映射進行擾動，對Φ的廣義變分不等式的解進行精煉，進一步提出穩(wěn)定解和法錐穩(wěn)定解的定義，并證明其存在性結(jié)果。

關(guān)鍵詞：廣義變分不等式；精煉；定義域；法錐映射

0引言

設(shè)X是n維歐氏空間Rn的一個子集，是X到Rn的映射。 如果存在x*∈X滿足：

(x*-x)T(x*)≥0，?x∈X

則稱x*為關(guān)于的變分不等式的解，其中：aTb表示向量a∈Rn和b∈Rn的內(nèi)積。

眾所周知，變分不等式的問題在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，特別是在a∈Rn非合作博弈、經(jīng)濟平衡理論、不動點理論、非線性最優(yōu)化理論和交通網(wǎng)絡(luò)均衡[1-4]中。而在這些應(yīng)用中，解往往都不是唯一的，所以需要對解進行精煉[5-6]。

廣義變分不等式問題如下：

設(shè)X是Rn的一個子集，Φ：X→P0(Rn)為集值映射。 這里，P0(Rn)表示Rn中所有非空子集。如果存在x*∈X，z∈Φ(x*)使得：

(x*-x)Tz≥0， ?x∈X

則稱x*為關(guān)于Φ的廣義變分不等式的解。

而關(guān)于Φ的廣義變分不等式的解的存在性，在文[8]中已有相關(guān)結(jié)果： 即X是Rn的非空緊凸子集，Φ：X→P0(Rn)為上半連續(xù)的集值映射，且?x∈X，Φ(x)是Rn中的緊凸集。

廣義變分不等式中，其解通常是不唯一的，所以需要對其進行精煉，以滿足應(yīng)用的需求。

在var der Laan，Talman和Yang[9]的文章中，提出了變分不等式解的一種精煉方法，在此將之推廣到廣義變分不等式中。

本文主要是借助一列擾動，去掉那些不符合要求的解，且至少保留一個解，稱之為穩(wěn)定解。 精煉的主要思想是通過對Φ的定義域X和法錐的擾動來剔除不穩(wěn)定的解，以實現(xiàn)解的精煉。

1主要結(jié)果

在這部分中，基于定義域和法錐映射的擾動，提出廣義變分不等式的穩(wěn)定解和法錐穩(wěn)定解，并證明其存在性。

首先，介紹一些基本知識。

設(shè)X是n維歐氏空間Rn的一個非空緊凸子集，A(X)為X的仿射包。為了不失一般性，對給定正整數(shù)m(0≤m≤n)，假定A(X)是一個Rn的(n-m)維的仿射子空間，且表示為：

A(X)={x∈RnCTx=d}

其中，C是n×m的滿秩矩陣，d是一個m維向量。 當m=0時，A(X)=Rn。 設(shè)Rn的線性子空間為Y={y∈Rny=Cv，v∈Rm}。 當m=0，則Y是零向量。

給定A(X)中的(n-m)維緊凸子集Z，Z在點x∈Z的法錐映射表示為：

則N(Z，·)是Z上的上半連續(xù)集值映射，由文[10]顯然可得。

對?x∈Z，N(Z，x)是包含Y的閉凸錐。 且當x屬于Z的相對內(nèi)部時，N(Z，x)=Y。 顯然，x*∈Z是關(guān)于Φ的廣義變分不等式的解當且僅當Φ(x*)∩N(Z，x*)≠φ。

為了討論廣義變分不等式解的精煉，我們引進兩個集值映射：χ和G。

設(shè)映射χ：[0,1]→X為關(guān)于集合X的擾動，且滿足以下兩個條件：

(X1)映射χ：[0,1]→X是連續(xù)的，且對?ε∈[0,1]，集合χ(ε)是X的非空緊凸子集。

(X2)χ(0)=X，且?ε和ε′(0≤ε<ε′≤1)，都有χ(ε′)?Intχ(ε)。

其中，IntA表示集合A?X的相對內(nèi)部。

通過以下兩個例子，我們可以更好地理解χ映射關(guān)于定義域X的擾動。

例2.2設(shè)χ(ε)=ε{v}+(1-ε)X，v屬于X的相對內(nèi)部。 對每一個x∈Xχ(1)，都存在唯一的ε(0≤ε<1)，使得x屬于χ(ε)的相對邊界。

給定滿足(X1)，(X2)的映射χ，設(shè)映射G：X→P0(Rn)滿足如下的三個條件：

(G1)G是上半連續(xù)的，且?x∈X，G(x)是包含Y的閉凸錐。

(G2)對任意x∈Bndχ(ε)和y∈N(χ(ε)，x) {0n}，0<ε<1，存在ω∈G(x)，使得yTω>0，其中BndA表示集合A?X的相對邊界。

(G3)對任意x∈BndX，都有G(x)?N(X，x)。

以上條件說明，當x在集合χ(ε)的邊界上時，集合G(x)是包含Y的一個錐。對任意非零向量y∈N(χ(ε)，x)，存在一個向量ε∈G(x)與y成銳角。 如果x在集合X的邊界，則G(x)是法錐N(X，x)的一個子集。

定義2.3如果一對映射(χ，G)滿足(X1)，(X2)，(G1)，(G2)和(G3)，則稱這對映射是正則的。

給定一對映射(χ，G)和ε(0≤ε<1)，定義Gε：

χ(ε)→Rn如下：

給定集值映射Φ：X→P0(Rn)，如果存在集值映射G：X→P0(Rn)和點x∈X，使得G(x)∩Φ(x)≠φ，則稱點x為映射G(x)和Φ(x)的重合點，稱映射G(x)為關(guān)于Φ的重合映射。

關(guān)于討論廣義變分不等式的穩(wěn)定解，首先給出集值映射Φ的ε-穩(wěn)定解的概念。

定義2.4給定一對映射(χ，G)和ε(0≤ε<1)，如果x∈χ(ε)，z∈Ф(x)使得z∈Gε(x)，則稱點x∈X是集值映射Φ關(guān)于(χ，G)的ε-穩(wěn)定解。

由此可以看出，集值映射Φ關(guān)于(χ，G)的ε-穩(wěn)定解是Φ和Gε(x)的重合點。當ε-穩(wěn)定解x在χ(ε)內(nèi)部，Φ(x)∩Y≠φ；x在χ(ε)的邊界時，Φ(x)∩G(x)≠φ，而Y?G(x) ，所以G(x)為關(guān)于Φ的重合映射。 特別當ε=0時，集值映射Φ的ε-穩(wěn)定解x是Φ的廣義變分不等式的解。

廣義變分不等式的穩(wěn)定解定義如下：

b)對?k，xk是集值映射Φ關(guān)于(χ，G)的εk-穩(wěn)定解；

則稱x*關(guān)于(χ，G)是穩(wěn)定的(簡寫成(χ，G)-穩(wěn)定)。

一個(χ,G)-穩(wěn)定解x*不管是在X的內(nèi)部還是邊界，在它的任意一個鄰域內(nèi)，都存在一個點x∈X，使得Φ(x)∩G(x)≠φ。

關(guān)于集值映射Φ的廣義變分不等式的穩(wěn)定解，其存在性結(jié)果如下：

定理2.6設(shè)集值映射Φ：X→P0(Rn)上半連續(xù)，且?x∈X，Φ(x)是Rn中的緊凸集，(χ，G)是一對正則的映射，則在X上一定存在(χ，G)-穩(wěn)定解。

證明：首先要證明對任意的ε(0<ε<1)，Φ關(guān)于(χ，G)的ε-穩(wěn)定解存在。 給定ε(0<ε<1)，由(G1)可知Gε上半連續(xù)，且對任意x∈χ(ε)，Gε(x)是非空閉凸集。 因為對所有的x∈X，集合G(x)是一個錐，由(G2)知，對任意x∈Bndχ(ε)和y∈N(χ(ε)，x)，存在ω∈Gε(x)和z∈Φ(x)，滿足yTω≥yTz。 根據(jù)Ky Fan重合定理[11]可以知道當映射Φ(·)和Gε(·)限制在非空緊凸集χ(ε)上時，存在重合點的xε∈χ(ε)滿足Φ(xε)∩Gε(xε)≠φ。 因此，當

xε∈Intx(ε)時，Φ(xε)∩Y≠φ

xε∈Bndχ(ε)時，Φ(xε)∩G(xε)≠φ

即xε是Φ的關(guān)于(χ，G)的ε-穩(wěn)定解。

當x*屬于X的內(nèi)部時，由χ的連續(xù)性及(X2)可知，當k足夠大時，點列xk∈Intχ(εk)，由此可知，存在zk∈Φ(xk)，使得zk∈Y，因此存在z∈Φ(x*)，使得z∈Y，即x*是Φ的解。當x*屬于X的邊界時，且k足夠大時，點列xk∈Bndχ(εk)。 因此，對每一個k∈N，Φ(xk)∩G(xk)≠φ。 因為Φ上半連續(xù)，G也是上半連續(xù)，且xk收斂于x*，可以得到Φ(x*)∩G(x*)≠φ。 由(G3)可知，Φ(x*)∩N(X，x*)≠φ，即x*是Φ的廣義變分不等式的解。

最后，考慮廣義變分不等式的法錐穩(wěn)定解。

定義2.7給定集值映射Φ：X→P0(Rn)和一對映射(χ，G)，如G是關(guān)于χ的法錐映射，則稱(χ，G)-穩(wěn)定解x為關(guān)于χ是法錐穩(wěn)定的(簡寫為χ-法錐穩(wěn)定)。

定理2.8設(shè)映射χ滿足(X1)和(X2)，G是關(guān)于χ的法錐映射，則(χ，G)是正則的。

證明：由于法錐映射G滿足(G1)，(G2)和(G3)，則定理顯然可證。

推論2.9設(shè)集值映射Φ：X→P0(Rn)上半連續(xù)，且任意x∈X，Φ(x)是Rn中的緊凸集。χ：[0,1]→X是滿足(X1)和(X2)的映射，則Φ在X上一定存在χ-法錐穩(wěn)定解。

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投稿日期：2016-01-06；修回日期：

Refinements of solutions to generalized variational inequalities

ZHAO Yuanyan，YANG Hui，CHEN Sha

(CollegeofScience，GuizhouUniversity，Guiyang550025，China)

Abstract：In this paper，the domain X and the normal cone are perturbed to refine the solutions of generalized variational inequalities with respect to point—to—set mapping Φ.Further，the concepts of stable solution and normal—stable solution are introduced，and their existence results are proved.

Keywords：generalized variational inequalities；refinements；domain；normal cone mapping

中圖分類號：O 177.92；O 178；O 29

文獻標識碼：A

文章編號：1003—6563(2016)02—0049—03

*基金項目：國家自然科學(xué)基金項目“多目標群體博奕與進化的動力學(xué)的研究和應(yīng)用”，課題編號：11271098。

作者簡介：趙淵嫣(1990-)，女，貴州大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系碩士研究生。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。