巧用“活水”引“抽象”
——談抽象函數(shù)定義域的學習

■王雪萍

高中階段抽象函數(shù)的第一課是求其定義域，由于剛進入高中的學生邏輯思維能力不強，上完課后仍無法理解本節(jié)內容，有的通過死記硬背老師總結的求法結論，導致最后不求甚解。因此，在學習這一節(jié)課時，我們可以從熟識的已知函數(shù)解析式的定義域出發(fā)，以題(知)出發(fā)，題(知)情交融，能收到很好的學習效果。

1.新知引入

經(jīng)過一段時間的學習，同學們已經(jīng)學習了如何求已知函數(shù)的定義域，下面讓我們一起來求函數(shù)的定義域。

分析：由x-9≥0，易得f(x)的定義域為9，+∞[ )。

分析：由x2-9≥0，得x2≥9，所以x≤-3 或x≥3，則f(x2)的 定 義 域 為(-∞，-3]∪[3 ，+∞)。

評析：由求函數(shù)f(x)的定義域過渡到求函數(shù)f(x2)的定義域，可以使同學們從實例中體會定義域是函數(shù)自變量的取值集合，兩個函數(shù)解析式中自變量x的意義不同，為接下來的抽象函數(shù)定義域的求解形成“形”的認知。

接下來我們求函數(shù)f(2x+1)的定義域。

分析：要求函數(shù)f(2x+1)的定義域，先求其解析式得x≥4，所 以f(2x+1)的定義域為[4 ，+∞)。

小結：由函數(shù)f(x)的解析式，求函數(shù)f[g(x)]的定義域，只需將g(x)“整體”作為“自變量”代入f(x)的解析式，化簡求其自變量x的取值集合即可。

思考：若已知函數(shù)f(x)的定義域為[9 ，+∞)，如何求函數(shù)f(x2)，f(2x+1)的定義域呢?

此時函數(shù)f(x)已無解析式可以代入，進而過渡到新的學習目標——抽象函數(shù)的定義域。通過觀察實例中定義域的求解過程可以得出：函數(shù)f(x)的定義域由x-9≥0 得出，f(x2)的定義域由x2-9≥0得出，f(2x+1)的定義域由(2x+1)-9≥0得出。那么求函數(shù)f[g(x)]的定義域呢? 可由g(x)-9≥0得出g(x)≥9，進而解出關于x的不等式，得出f[g(x)]的定義域。

從具體實例中，同學們可以充分體會到函數(shù)f(x)與f[g(x)]中的“x”含義不同，它是用同一字母來表示兩個不同函數(shù)的自變量，在對應關系f作用下引例中的g(x)(x2，2x+1)的范圍和x的范圍相同，而函數(shù)的定義域是對自變量x而言的。從而完成由具體函數(shù)定義域的“活水”引入抽象函數(shù)定義域的理性思維，使同學們體驗了思維產生的過程。

2.典例歸納

例1已知函數(shù)f(x)的定義域為-2，2( )，求函數(shù)f(3x-2)的定義域。

參考答案：f(3x-2)的定義域為。

小結：已知函數(shù)f(x)的定義域為D，求函數(shù)f[g(x)]的定義域是使函數(shù)g(x)∈D的x的取值范圍。

例2已知函數(shù)f(3x-2)的定義域為[ -2，4]，求函數(shù)f(x)的定義域。

參考答案：f(x)的定義域為 [ -8，10]。

小結：已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為D，求函數(shù)f(x)的定義域即為求x∈D時函數(shù)g(x)的值域。

例3已知函數(shù)f(x+1)的定義域為[ -2，3)，求函數(shù)f(2x-3)的定義域。

參考答案：f(2x-3)的定義域為。

小結：已知函數(shù)f[g(x)] 的定義域為D，求函數(shù)f[h(x)]的定義域即求x∈D時函數(shù)g(x)的范圍，即為h(x)的范圍，進而求x的取值集合。