《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》教學(xué)方式及注意事項(xiàng)分析

柴慧娟

導(dǎo)數(shù)在甘肅省課程教學(xué)中作為選修課程，是學(xué)生在文理分科后分別學(xué)習(xí)的內(nèi)容，文科生在選修1—1第三章中學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，理科學(xué)生在選修2—2第一章中學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。無(wú)論是理科生還是文科生都對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用感到困惑。本文就“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)方式及其注意事項(xiàng)提出了以下看法，以供參考。

一、導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)

在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中要注意新課的引入和學(xué)生的啟發(fā)，通過(guò)幾個(gè)具體的例子，讓學(xué)生體會(huì)觀察它們的共同特點(diǎn)，從而引出導(dǎo)數(shù)。教材從變化率入手研究導(dǎo)數(shù)，用形象直觀的 “逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)：從函數(shù)的平均變化率到瞬時(shí)變化率，再到函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而到函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）。建議導(dǎo)數(shù)概念課以多媒體課件的形式展示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和參與度。例如，用幾何畫(huà)板展示割線逼近切線，曲線的切線與曲線不止有一個(gè)交點(diǎn)。

二、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的教學(xué)

為了使學(xué)生能用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，教材在直接給出導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則后，安排了大量的例題和練習(xí)題，學(xué)生通過(guò)例題和習(xí)題的模仿、操作，從而熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)。在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算教學(xué)中要給學(xué)生一定的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，老師只作適當(dāng)引導(dǎo)，不必花時(shí)間去大講特講。其他初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式也可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)而得，但教材不作要求，教學(xué)時(shí)要準(zhǔn)確把握，不要偏移重心，影響教學(xué)效果。

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)于文科學(xué)生沒(méi)有涉及，教學(xué)中不必再提及。理科生教學(xué)中不必介紹復(fù)合函數(shù)的嚴(yán)格定義，也不要求證明復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，因此建議教學(xué)中多配備幾個(gè)例題，引導(dǎo)學(xué)生理解簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，知道復(fù)合過(guò)程中的自變量、因變量及中間變量分別是什么。教學(xué)參考明確要求會(huì)求形如

f（ax+b）的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可，老師在教學(xué)中選用例題、習(xí)題時(shí)一定要注意這一點(diǎn)，不作過(guò)多的引申。

三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是微積分的基本思想。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，利用這個(gè)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的優(yōu)越性。

（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：教學(xué)中老師結(jié)合實(shí)例，如高臺(tái)跳水，一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，讓學(xué)生利用幾何圖形，觀察探索并了解單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，學(xué)生只需歸納得出結(jié)論即可，不需要嚴(yán)格證明。一定要注意，這里要強(qiáng)調(diào)函數(shù)y=f（x）在某點(diǎn)附近的增減情況。如果在整個(gè)區(qū)間上恒有f'（x）>0（x<0），那么函數(shù)y=f（x）在整個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）。

（2）函數(shù)的極值和最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：在該節(jié)教學(xué)中還是要讓學(xué)生先通過(guò)對(duì)大量函數(shù)圖象的觀察，直觀感受函數(shù)在某些特殊點(diǎn)（極值點(diǎn)）的函數(shù)值與附近點(diǎn)的函數(shù)值大小之間的關(guān)系，以及函數(shù)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值與附近函數(shù)的增減情況。在教學(xué)中一定要強(qiáng)調(diào)，極大值和極小值是局部性質(zhì)，反映的是函數(shù)在某點(diǎn)附近的性質(zhì)，“極大值不一定大于極小值”，讓學(xué)生知道“f ' （x0）=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件”。對(duì)于函數(shù)的“連續(xù)”，只需要讓學(xué)生根據(jù)圖象可直觀地感受到函數(shù)圖象在x=x0處及其附近“不斷”即可。本節(jié)的重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值、最值。

（3）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題：在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活等實(shí)際問(wèn)題中，常常需要研究一些成本最低、利潤(rùn)最大、用料最省的問(wèn)題，此類問(wèn)題稱為優(yōu)化問(wèn)題。教學(xué)中要設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出解答此類問(wèn)題的一般步驟：①建立函數(shù)關(guān)系；②求極值點(diǎn)，確定最大（?。┲?；③回歸優(yōu)化方案。從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)建模的能力。

四、定積分的教學(xué)

教材安排了兩類典型的問(wèn)題——求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的位移這兩個(gè)實(shí)例，一個(gè)是定積分的幾何背景，一個(gè)是定積分的物理背景。教學(xué)中要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)類比求圓的面積的過(guò)程，引出求曲邊梯形面積的基本思想：在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”和“逼近”的思想；教學(xué)過(guò)程中可以利用多媒體給學(xué)生們演示“無(wú)限分割”讓學(xué)生們加深體會(huì)其數(shù)學(xué)思想。求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程也是定積分的概念的一個(gè)重要背景，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生類比求曲邊梯形面積的過(guò)程，讓他們自己獨(dú)立解決問(wèn)題。

引出定積分概念后，說(shuō)明定積分的含義及定積分中符號(hào)的含義；有了求曲邊梯形面積的經(jīng)驗(yàn)，可通過(guò)“思考”引導(dǎo)學(xué)生分析定積分的幾何意義；對(duì)于教科書(shū)中定積分的三個(gè)基本性質(zhì)，不要求學(xué)生證明，幫助學(xué)生從幾何直觀上感知性質(zhì)的成立即可。

對(duì)于微積分基本定理的教學(xué)，我們應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，把握從局部到整體、從具體到一般的思想，先利用物理意義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并根據(jù)定積分的概念，通過(guò)尋求導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，得到微積分基本定理的雛形，然后一般化而得出積分基本定理。在定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用這部分的教學(xué)中，應(yīng)特別注意利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?，從而把求平面圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積的問(wèn)題。

（作者單位：甘肅省嘉峪關(guān)市酒鋼第三中學(xué)）