逆向思考巧解題

劉平

眾所周知，由已知條件到結(jié)論的定向思維是常見的思考方法。但有些問題按照這種思考方法去尋找解題途徑卻往往比較困難，甚至無從下手。遇到這種情況就應(yīng)從辯證思維的觀點(diǎn)出發(fā)，打破思維定勢，從相反的方向去思考問題，這就是所謂的逆向思維。平常人們所說的：“反過來想一想”，便是逆向思維的運(yùn)用。從心理學(xué)上講，學(xué)生的思維從一個(gè)方向轉(zhuǎn)向其相反方向有一定的困難，然而，學(xué)生能夠迅速而自由地從正向思維轉(zhuǎn)到逆向思維，正是思維靈活性的一種具體表現(xiàn)。此外，逆向思維也是創(chuàng)造性思維方法之一。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，是非常必要的。

一、逆用定義解題

互逆關(guān)系，是數(shù)學(xué)科基本關(guān)系之一。例如，原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系、對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系、乘除運(yùn)算關(guān)系等就是互逆關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，依托數(shù)學(xué)上的互逆關(guān)系，運(yùn)用逆向思路研究數(shù)學(xué)問題，是一種重要而常用的方法。在具體解題中，對概念而言，表現(xiàn)為定義的逆用。

例1：設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2x2-x，則= f（1）= 。

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式。

解析：∵f（-1）=3∴f（1）=-f（-1）=

-3。

評析：在解題過程中，逆用了奇函數(shù)的定義，省去了求函數(shù)解析式的煩惱，簡潔明了，解法巧妙。正如恩格斯所指出的：“從一個(gè)形式到另一個(gè)相反的形式的轉(zhuǎn)變……它是數(shù)學(xué)科學(xué)的最有力的杠桿之一。”

二、逆用、變用公式解題

我們知道，數(shù)學(xué)公式有：從左到右用、從右到左用、變形后再用這三種功能。學(xué)生只有掌握公式的逆用和變形用，才能真正活用公式，才能加深對公式的理解和認(rèn)識(shí)。教學(xué)數(shù)學(xué)公式時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。

例2：sin20°cos10°-cos160°sin10°=

。

本小題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式。

評析：以上解法可謂十分巧妙，若不用反例來進(jìn)行推斷，將是十分困難的。針對選項(xiàng)，靈活選取反例來判斷真假，是解選擇題的一個(gè)重要方法，利用它，不但可提高解題速度，還可通過口算解選擇題。

反例不但用于解題，數(shù)學(xué)教學(xué)中常常用來深化概念、糾正錯(cuò)解、強(qiáng)調(diào)條件等。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。因此，教學(xué)中抓好思維訓(xùn)練，就抓住了教學(xué)過程的關(guān)鍵和核心。從上面例子可看出，逆向思維是數(shù)學(xué)中一種重要的思維方法，它不僅可探測某些問題的解題方向，找到解題途徑，還可加深對概念、原理的理解，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。也就是說，加強(qiáng)逆向思維解題的訓(xùn)練，不但能開拓學(xué)生的解題思路，提高分析問題和解決問題的能力，而且從思維品質(zhì)角度來說，還可提高思維的靈活性和批判性，培養(yǎng)逆向思維能力和發(fā)明創(chuàng)造能力。

（作者單位：湖南省華容縣懷鄉(xiāng)中學(xué)）