案例教學(xué)法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教學(xué)中的應(yīng)用

吳美容+張建國++姜葉乘

摘 要 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程內(nèi)容抽象課程，學(xué)員缺乏興趣。案例教學(xué)法使《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂教學(xué)變得通俗易懂，貼近生活，趣味十足，增進(jìn)學(xué)員對課程的深入理解，提高課堂效率，活躍數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)興趣，從而改善教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 案例教學(xué)法 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 課程教學(xué)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是一門從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的科學(xué)。該學(xué)科與生活緊密聯(lián)系，是很多前沿學(xué)科的基礎(chǔ)，直接影響著我們的生活。但該課程普遍存在課程內(nèi)容抽象、教學(xué)方式單一、授課過程枯燥、學(xué)員缺乏興趣等問題。很多學(xué)員都認(rèn)為該課程的基本概念難以理解，對那些定理“從哪兒來，要到哪兒去”更是不解，解題的時候無從下筆，毫無頭緒，因而學(xué)員提不起興趣?；谶@種狀況，我們從生活化和直觀化對概率論課堂教學(xué)進(jìn)行改革，加強(qiáng)案例教學(xué)法，以使概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂教學(xué)變得通俗易懂，貼近生活，趣味十足，增進(jìn)學(xué)員對概率論的深入理解，提高課堂效率，活躍數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)興趣，從而改善教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。

案例教學(xué)法是指教員為達(dá)到教學(xué)目的，完成教學(xué)任務(wù)，根據(jù)學(xué)員的實際情況，精選案例，再課堂上組織學(xué)員對案例進(jìn)行分析、討論和解答，提高學(xué)員的認(rèn)知能力、綜合解答實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)員的創(chuàng)新能力和團(tuán)隊協(xié)作能力?！痘瘹w思想在概率論教學(xué)中的運用》討論了以連續(xù)型隨機(jī)變量的概率教學(xué)為例，探討化歸思想方法在數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中的運用。《在概率論課程的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)員能力的探討》總結(jié)了作者多年從事概率論教學(xué)的經(jīng)驗，提出了培養(yǎng)學(xué)員觀察與分析能力、邏輯推理能力的一系列措施，包括恰當(dāng)選擇教學(xué)內(nèi)容、講授方式、思維方式的訓(xùn)練等?！对诟怕收摰慕虒W(xué)中加強(qiáng)與實際的聯(lián)系》探討了教學(xué)與實際的聯(lián)系，由數(shù)學(xué)的特點決定，數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然.在概率論教學(xué)中加強(qiáng)與實際的聯(lián)系，使學(xué)員樹立理論聯(lián)系實際的學(xué)風(fēng)，提高對現(xiàn)實的認(rèn)識，提高解決問題的能力?！陡怕收摻谭ǔ跆健吠ㄟ^《概率論》教學(xué)方法研究和教學(xué)實踐，總結(jié)出全概率公式和貝葉斯公式教法模式，取得較好的教學(xué)效果，深受學(xué)員歡迎。

1案例教學(xué)法的作用

俗話說興趣是最好的老師，有興趣，學(xué)習(xí)積極性自然高。案例教學(xué)法的使用，不僅能培養(yǎng)學(xué)員分析問題和解決問題的能力，而且能提高學(xué)員的創(chuàng)新能力與團(tuán)隊協(xié)作能力。在課堂上注意觀察學(xué)員的表情，了解學(xué)員掌握內(nèi)容的情況，盡量以幽默的語言幫助他們克服困難，鼓勵他們在聽不懂時不要過于急躁，帶他們走出畏難情緒。課堂上注意調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)氣氛，調(diào)整課堂節(jié)奏，在每一節(jié)的內(nèi)容講解完后，稍作停頓，讓學(xué)員理清思路，慢慢吸收，再接著給例題。關(guān)于講解例題的方式可以采用多種形式可以由教師講解，也可以與學(xué)員共同做，或先由學(xué)員討論，再講解，或是直接請學(xué)員作答，再總結(jié)，等等?？傊咐虒W(xué)法注重學(xué)員能力的培養(yǎng)，提高學(xué)員的綜合素質(zhì)。因此我們在教學(xué)過程中應(yīng)增加案例教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)員學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)員由怕學(xué)到樂意學(xué)，由被動接受到主動思考。

1.1抽象概念要以具體事物為依托

可以說數(shù)學(xué)是抽象的，正因為它抽象才有廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)來源于實踐，是由實際問題升華出來。因此，要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)又害怕接觸抽象概念，正如學(xué)工程的人不愿接觸實際操作一樣，是無法學(xué)好的。在教學(xué)過程中，在講解概念中，始終要抓住概念的本質(zhì)。

例如，講授概率的定義、性質(zhì)和運算法則，首先考慮的是概率這個概念的直觀性，從日常生活中能感受到的現(xiàn)象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)員去發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，歸納出一個數(shù)學(xué)模型（或稱概率模型），而不能從抽象的東西談起。而講概率的加法公式和乘法公式時，引導(dǎo)學(xué)員將概率的加法公式和事件的加法的區(qū)別弄清楚，講清兩個加法公式和乘法公式，再引導(dǎo)學(xué)員自己推導(dǎo)多于兩個事件的加法公式和乘法公式，指出“容斥原理”即為加法公式所依托的思考方法。

1.2 提高學(xué)員應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力

數(shù)學(xué)本身就是實踐的抽象，正好案例還原了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。這時數(shù)學(xué)就不再是抽象的符號，而是具體的問題。課堂上舉出日常體驗中容易引起人錯覺的例子可以激發(fā)學(xué)員的好奇心。例如同月同日出生是很難得的緣分嗎？先抽簽占便宜嗎？體檢時結(jié)果是陽性真的可怕嗎？這些問題留給學(xué)員去思考，讓他們課后去找出正確答案，激發(fā)學(xué)員的探究欲望。通過對這些直覺誤區(qū)的解決和澄清，學(xué)員對概率的認(rèn)識也會得到相應(yīng)的提高，同時培養(yǎng)了學(xué)員發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

當(dāng)介紹基本概念時，盡量用通俗易懂的語言表述，同時配以直觀的圖示或者形象的例子。比如，隨機(jī)試驗是人們認(rèn)識隨機(jī)世界的手段，隨機(jī)試驗的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，如“明天的最高溫度為℃”，“某夫婦的胎兒是男孩”，“向一個水平桌面拋擲一顆均勻骰子”等等都是隨機(jī)事件。在介紹概率論應(yīng)用時，可以舉二戰(zhàn)期間的一個例子：1943年以前，美英運輸船隊在大西洋上常常受到德國潛艇的襲擊，損失慘重。有何法子減少損失呢？一位美國海軍將領(lǐng)請教了幾位數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家運用概率論分析后認(rèn)為，艦隊與敵潛艇相遇，從數(shù)學(xué)角度來看，是一個隨機(jī)的問題。船只被擊沉的概率，與船隊數(shù)目成正比，與船隊規(guī)模成反比。美國海軍對過去的艦隊編隊和編次規(guī)則作了重大調(diào)整，命令船隊在指定海域集合，再集體通過危險海域。結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：美英艦隊遭遇德國潛艇并被擊沉的概率大幅減少，由原來25%下降到1%，大大減少了損失，保證了物資的及時供應(yīng)。針對這類問題，學(xué)員通過獨立思考，學(xué)生之間相互交流討論，培養(yǎng)學(xué)員靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解答實際問題，提高了學(xué)員應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

1.3提高學(xué)員觀察思維能力和自主學(xué)習(xí)能力

通過對案例的獨立思考和分析，激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)的內(nèi)在動機(jī)，調(diào)動學(xué)員學(xué)習(xí)的主動性和積極性，此時教員不再是純粹的知識傳輸者，而是學(xué)員學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)員感知知識、認(rèn)知知識。本課程內(nèi)容既具有數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，又具有隨機(jī)性。因此，正確處理嚴(yán)謹(jǐn)性與生動直覺之間的關(guān)系，讓學(xué)員既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某橄笏季S能力， 對能對隨機(jī)性產(chǎn)生敏感，具有概率統(tǒng)計的直覺，是教員在教學(xué)過程中應(yīng)該處理好的重要問題。這不僅有助于培養(yǎng)學(xué)員的觀察思維能力，而且能提高自主學(xué)習(xí)的能力。

比如在介紹概率中的公理化定義時，學(xué)生可能覺得這個定義很怪、難以理解，教師就在課堂上還原概率論發(fā)展的歷史背景：貝特朗悖論推翻了之前概率所有的定義，包括統(tǒng)計定義、古典定義和幾何定義等等，原有的概率論理論大廈岌岌可危。1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義，即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率。柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡單，但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈，有了這個背景，學(xué)員對概率的公理化定義就容易理解了。

1.4提高學(xué)員表達(dá)能力和團(tuán)隊協(xié)作能力

傳統(tǒng)教學(xué)法主要是以教員在課堂上傳授知識為主進(jìn)行的，此時學(xué)員完全處于被動狀態(tài)，如果傳授的知識量大，學(xué)員就可能會“消化不良”，時間久了，會出現(xiàn)惡性循環(huán)，教學(xué)效果、學(xué)習(xí)效果都不理想。在整個教學(xué)活動中，學(xué)員個體是被灌輸者，完全談不上自我表達(dá)和團(tuán)隊協(xié)作。

案例教學(xué)法以培養(yǎng)學(xué)員解決問題的綜合能力為目標(biāo)。采用案例教學(xué)法，體現(xiàn)了“學(xué)員為主，教員為輔”，教員整個教學(xué)過程中起引導(dǎo)作用，給出案例，學(xué)員可以通過獨立思考，踴躍發(fā)言，也可以分小組（一般四至六人為佳）團(tuán)結(jié)協(xié)作共同作戰(zhàn)，然后選派代表發(fā)言，其余組員輔助補充。這種方式讓學(xué)員能夠自由地與不同性格的人交流、協(xié)作，提高團(tuán)隊協(xié)作能力。

2《概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程》案例教學(xué)舉例

數(shù)學(xué)是一種工具，用這一工具發(fā)現(xiàn)實際現(xiàn)象背后的規(guī)律，并解釋和說明實際現(xiàn)象，從而最終解決實際問題。用實例的講解知識是培養(yǎng)學(xué)員運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一種重要方法。概率論是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，在概率論教學(xué)過程中加強(qiáng)案例講解是非常必要的。這一方面可以增強(qiáng)學(xué)員應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識；另一方面可以增加學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效果。

在講授《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的時候，教師會把案例融入相應(yīng)的知識點中進(jìn)行講解。比如，在講解小概率事件時，可以引入“過馬路需小心”這個應(yīng)用實例。對于每個人來講，每次過馬路出現(xiàn)事故的概率，即 p 值是很小的，但每個人在一生中過馬路的次數(shù)，即n是很大的。每次過馬路都可以被看作一個隨機(jī)試驗，在一生中過馬路的情形可以被看作一個 n 重貝努里概型，那么一生中出現(xiàn)事故的期望值為 np。為了減少出現(xiàn)事故，可以采用兩種方法。一種是減少過馬路的次數(shù)，另一種是減小過馬路出現(xiàn)事故的概率。顯然，減少過馬路的次數(shù)似乎不太現(xiàn)實，所以我們必須增加自己的安全意識，從而減少過馬路出現(xiàn)事故的概率。