“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)分析

何偉富

眾所周知，圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，拋物線是圓錐曲線中應(yīng)用尤為廣泛的一種二次曲線，同時《標(biāo)準(zhǔn)》中要求“掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)”，其中拋物線定義是推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程及研究幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，是本節(jié)課其他知識產(chǎn)生的核心，所以應(yīng)讓學(xué)生充分討論理解其含義.推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時，建立坐標(biāo)系，將幾何問題代數(shù)化尤為重要，而且拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程因建系不同而有四種方程，初學(xué)者很容易混淆，因而恰當(dāng)?shù)慕ㄏ岛头智逅姆N方程都具有一定難度.為此，筆者就“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)主要環(huán)節(jié)進(jìn)行了分析與設(shè)計(jì)，概述如下：

1.關(guān)于“如何引入課題”

在我們的日常生活中，拋物線有著重要而廣泛的應(yīng)用，例如，探照燈就是利用拋物面的光學(xué)性質(zhì)制作而成，將點(diǎn)光源發(fā)出的光，折射成平行光，照射到足夠遠(yuǎn)的地方.教師在引入課題的時候可以利用多媒體向?qū)W生展示一些類似的例子，讓學(xué)生直觀地感受拋物線，同時對比二次函數(shù)及其圖像，向?qū)W生拋出“如何給出拋物線的定義”，從而引出新課.

2.關(guān)于“拋物線定義的教學(xué)”

在介紹拋物線的畫法時，教師應(yīng)盡量創(chuàng)造條件，讓學(xué)生親自動手畫出拋物線，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察動點(diǎn)的運(yùn)動過程，并用數(shù)學(xué)語言描述動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，用心體會數(shù)學(xué)語言的精確性.在畫拋物線的過程中，使學(xué)生明白拋物線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，引導(dǎo)學(xué)生概括出拋物線的定義.對拋物線的定義特別要強(qiáng)調(diào)的是定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過定點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線.如，到點(diǎn)F（1，0）和到直線l：x+y-1=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡為：x-y-1=0，該軌跡是過定點(diǎn)F（1，0）且垂直于直線l：x+y-1=0的一條直線.

同時，也可以恰當(dāng)使用信息技術(shù)幫助學(xué)生理解拋物線的概念，例如幾何畫板等，以便讓學(xué)生更直觀地看到動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.但有時教師由于課時等因素的限制，一般都會在課下就做好課件，課堂上直接演示.實(shí)際上用幾何畫板演示拋物線的形成過程時，建議教師讓學(xué)生親歷課件制作的過程，演示過程中注意動點(diǎn)的運(yùn)動速度的控制，引導(dǎo)學(xué)生邊觀察、邊思考，這樣的過程會有利于學(xué)生在動態(tài)變化中強(qiáng)化對幾何概念的認(rèn)識.

3.關(guān)于“拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)”

由于在教學(xué)中圓錐曲線方程的推導(dǎo)都需要建立坐標(biāo)系，故教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識地加強(qiáng)對“如何建系”的思考，例如拋物線方程的推導(dǎo)中為什么不將定點(diǎn)設(shè)在坐標(biāo)系的原點(diǎn)處？或是以定直線為y軸？這樣的思考無疑會有利于學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，進(jìn)而進(jìn)一步理解解析幾何的本質(zhì).特別要注意的是，學(xué)生可能會提出各種建系的方式，為了使拋物線方程最后的形式簡潔，教師應(yīng)與學(xué)生共同分析并做計(jì)算，從而找到較好的建系方式.與此同時還要強(qiáng)調(diào)動點(diǎn)所滿足的幾何條件，因?yàn)檫@是求曲線方程的關(guān)鍵.

還有在推導(dǎo)的過程中會遇到方程的化簡.在很多情況下，學(xué)生都會遇到類似的方程的化簡、利用多個等式于不等式的關(guān)系解決如變量的取值范圍等問題.由于學(xué)生在初中階段方程的學(xué)習(xí)僅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程組，以及可化為一元一次方程的分式方程，不等式的學(xué)習(xí)也僅限于一元一次不等式，高中階段學(xué)習(xí)了一元二次不等式，教師從學(xué)生這樣的經(jīng)歷不難看出，學(xué)生在學(xué)習(xí)本章時代數(shù)變形的學(xué)習(xí)經(jīng)歷是非常有限的，這就造成了一部分學(xué)生在具體的解題過程中缺乏信心、經(jīng)驗(yàn)不足.因而，建議教師結(jié)合學(xué)生遇到的具體困難，加強(qiáng)對學(xué)生的指導(dǎo)和示范，幫助學(xué)生積累代數(shù)變形的經(jīng)驗(yàn)，提高代數(shù)推演的能力.

另外，一條拋物線由于它在坐標(biāo)系內(nèi)的位置不同方程也不同，于是希望學(xué)生自己歸納出拋物線開口向左、向上、向下三種情形下的方程，并求出相應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo).建議畫出表格的第一、第二列，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)拋物線的對稱性將下表補(bǔ)充完整.

4.關(guān)于“知識鞏固”

考慮到拋物線的定義，幾何圖形，標(biāo)準(zhǔn)方程要求掌握，所以在設(shè)置例題的時候要有梯度，例如：求下列拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：

同時，為了強(qiáng)調(diào)圓錐曲線的應(yīng)用體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，可以選取實(shí)際應(yīng)用的例子，幫助學(xué)生樹立模型觀念，為運(yùn)用這些模型解決實(shí)際問題做了良好的鋪墊.

5.結(jié)束語

一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)立足于問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，將教學(xué)重心前移，適度延長知識的發(fā)生發(fā)展過程；應(yīng)保證學(xué)生思考的力度，在關(guān)鍵點(diǎn)上給學(xué)生提供發(fā)表見解的機(jī)會，促進(jìn)他們在解決矛盾沖突的過程中、建立知識之間內(nèi)在聯(lián)系的過程中領(lǐng)悟本質(zhì)；應(yīng)緊扣學(xué)情，遵循學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平和認(rèn)知規(guī)律，等等.只有這樣才可能打造精品課堂，實(shí)現(xiàn)精致教學(xué).