數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

李訓(xùn)超

摘 要：數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種十分重要的數(shù)學(xué)思想，它可以拓寬學(xué)生的解題思路，提高他們的解題能力。課堂教學(xué)中，我們要合理、靈活地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的魅力，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，發(fā)展智力與技能。本文主要介紹了數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）13-078-1

一、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用

初中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系就是數(shù)形結(jié)合。“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，它可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合在解題過(guò)程中應(yīng)用十分廣泛，如在解決集合問(wèn)題，求函數(shù)的值域和最值問(wèn)題，解方程和解不等式問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，解決集合問(wèn)題，解決平面幾何與解析幾何問(wèn)題中都有體現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀，易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)字教學(xué)中的部分應(yīng)用

1.在不等式方面的應(yīng)用

例如：（2013·山西中考）不等式組x+3≥5，2x-1<5的解集在數(shù)軸上表示為（ ）

教師在教學(xué)一元一次不等式（組）時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)不等式（組）解集的理解，教師要適時(shí)地把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，使學(xué)生形象地看到，不等式有無(wú)限多個(gè)解。在數(shù)軸上表示數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想方法的具體體現(xiàn)，而在數(shù)軸上表示數(shù)集，則比在數(shù)軸上表示數(shù)又前進(jìn)了一步。確定一元一次不等式的解集時(shí)，利用數(shù)軸更為有效。

2.在方程方面的應(yīng)用

處理方程問(wèn)題時(shí)，把方程的根的問(wèn)題看作函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題。

例如：一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx+b=0的解為x=-1。

本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象求出一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的關(guān)系求方程的解，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

3.在函數(shù)方面的應(yīng)用

利用圖形的直觀性來(lái)討論函數(shù)的值域（或最值），求解變量的取值范圍，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想考查和培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力，是函數(shù)教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

例：若一次函數(shù)y=-2x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2）。

（1）求b的值。

（2）在給定的直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象。

（3）觀察此圖象，直接寫出當(dāng)0本題考查函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)的意義，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)，說(shuō)明點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式；利用兩點(diǎn)確定一條直線作一次函數(shù)圖象簡(jiǎn)單方便。利用函數(shù)圖像解決問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的一種重要渠道。

4.在平面幾何方面的應(yīng)用

例1：如圖，已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為9，C為母線PB的中點(diǎn)，求從A點(diǎn)到C點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上的最短距離。

分析：最短距離的問(wèn)題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題。需先算出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑?？慈绾螛?gòu)成一個(gè)直角三角形，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算。

5.在解析幾何方面的應(yīng)用

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中。

例：求過(guò)點(diǎn)A（0，6）且與C：x2+y2+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓的方程。

本題是一道幾何問(wèn)題，其幾何量之間的關(guān)系運(yùn)用代數(shù)式及圓方程來(lái)表示，并根據(jù)圓的方程的理論進(jìn)行了由形到數(shù)的探究，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)，要充分研究與挖掘教材內(nèi)容，將數(shù)形結(jié)合思想滲透于具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中讓學(xué)生正確理解“數(shù)”與“形”的相對(duì)性，把它們有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。當(dāng)然，要掌握好數(shù)形結(jié)合的思想方法并能靈活運(yùn)用，就要熟悉數(shù)學(xué)問(wèn)題的圖形背景，熟悉有關(guān)數(shù)學(xué)式中各參數(shù)的幾何意義，培養(yǎng)結(jié)合圖形思考問(wèn)題的習(xí)慣，在學(xué)習(xí)中不斷探索，積累經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)課程。因此數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，自覺(jué)運(yùn)用它是提高數(shù)學(xué)能力的重要途徑。