淺談MATLAB在常微分方程課堂教中的應(yīng)用

崔仁浩　王金鳳

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)中的一門(mén)重要的核心基礎(chǔ)課程，是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生在大學(xué)一年級(jí)完成最基礎(chǔ)的三門(mén)專(zhuān)業(yè)課（數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何）后開(kāi)始學(xué)習(xí)的課程。在大學(xué)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中， 常微分方程是少數(shù)幾個(gè)可以充分展示數(shù)學(xué)研究本質(zhì)的課程之一，在課堂教學(xué)中我們所采用的是王玉文教授主編的教材《常微分方程簡(jiǎn)明教程》，本書(shū)已于2010年在國(guó)家級(jí)出版社“科學(xué)出版社”出版，并由于其數(shù)學(xué)研究方法的較強(qiáng)滲透性而入選了“大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書(shū)”。在傳統(tǒng)的常微分方程課程中， 主要尋找一些特殊的技巧和方法，去發(fā)現(xiàn)這些方程的通解或初值問(wèn)題的特解， 然而可以找到解析方法進(jìn)行求解的微分方程是很少的， 因此在現(xiàn)代微分方程研究及應(yīng)用中， 尋求具體微分方程的解析解的特殊技巧已經(jīng)不再是主流課題， 而應(yīng)用中提出的各種具有實(shí)際背景模型的微分方程又往往是非線(xiàn)性方程， 尋找這些方程的解析解， 絕大部分是不可能的，其有效的方法是利用定性分析方法與數(shù)值方法來(lái)考慮這些非線(xiàn)性方程的解的問(wèn)題。國(guó)際著名數(shù)學(xué)家、Wolf數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者V.I. Arnold在其編著的經(jīng)典教材《常微分方程》中尤其注重體現(xiàn)關(guān)于常微分方程幾何理論的深刻思想，從穩(wěn)定性這一動(dòng)力系統(tǒng)理論所要研究的核心問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)具體的例子引入穩(wěn)定性、周期性等基本概念，對(duì)于平面動(dòng)力系統(tǒng)做了詳細(xì)的探討。在我們的課程教學(xué)過(guò)程中也力爭(zhēng)為學(xué)生展示數(shù)學(xué)直覺(jué)與數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)余常微分方程幾何理論的思想，由于幾何理論這一思想方法具有高度的抽象性和概括性， 尤其是介紹利用定性分析方法考慮微分方程時(shí)，抽象的概念和定理使得初學(xué)者難以直觀地理解定性分析方法的實(shí)質(zhì)，這時(shí)如果用MATLAB軟件繪制出幾何圖形就能將抽象的概念與結(jié)論直觀形象地體現(xiàn)出來(lái)， 這毫無(wú)疑問(wèn)將非常有助于學(xué)生對(duì)幾何理論思想方法的理解， 同時(shí)將極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與興趣。

MATLAB是由美國(guó)Mathworks公司在上個(gè)世紀(jì)八十年代推出的數(shù)學(xué)軟件，它將矩陣分析、數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化以及程序設(shè)計(jì)等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)簡(jiǎn)單易用的交互式工作環(huán)境中，從而可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的分析與計(jì)算、算法研究、模擬繪圖、應(yīng)用程序設(shè)計(jì)以及非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等功能，MATLAB在當(dāng)今各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程教學(xué)過(guò)程中，MATLAB也成為數(shù)學(xué)分析、線(xiàn)性代數(shù)、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、優(yōu)化控制等課程的基本教學(xué)工具，有著廣泛的應(yīng)用前景。常微分方程這門(mén)課具有高度的抽象性和概括性， 利用MATLAB輔助教學(xué)能將課程中一些抽象的概念和定理通過(guò)圖表、圖象、甚至結(jié)合動(dòng)畫(huà)轉(zhuǎn)化成直觀、具體的表現(xiàn)形式。MATLAB中包括大量的繪圖程序， 直接調(diào)用這些程序可以方便地實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性常微分方程的解在相平面上定性分析圖形的繪制，形象生動(dòng)地展示方程解的各種動(dòng)力學(xué)行為。應(yīng)用MATLAB進(jìn)行常微分方程的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，有利于學(xué)生對(duì)斜率場(chǎng)、解的圖像、相空間、向量場(chǎng)及軌線(xiàn)等重要概念的理解，能夠使學(xué)生對(duì)微分方程的幾何理論有更直觀深刻的認(rèn)識(shí)。更加方便的是，盡管MATLAB具有強(qiáng)大的圖形輸出功能，但是該軟件的操作極為簡(jiǎn)潔方便，使用者可以在不熟悉MATLAB其它功能的情況下， 通過(guò)幾條簡(jiǎn)單的命令就可以利用MATLAB中的Dfield程序和PPlane程序繪制出非線(xiàn)性方程（組）在相空間中解的幾何圖形。本文通過(guò)在課堂教學(xué)過(guò)程中使用MATLAB 輔助教學(xué)的兩個(gè)典型案例來(lái)加以說(shuō)明。

并且從求出的解析解可以看出：除常數(shù)平衡解x（t）=N以外的任意解，不管初值如何選取，當(dāng)t→∞時(shí)，x（t） →N。下面考慮不求出方程的解析解，使用定性分析的方法來(lái)判斷解的漸進(jìn)性質(zhì)，在這里為了方便學(xué)生的理解，我們可以通過(guò)使用MATLAB中的Dfield程序描繪一下解的長(zhǎng)時(shí)間行為。下面我們進(jìn)行以下的操作：在Dfield程序中選取k=2，N=3，程序作出圖1，從圖1中可以看出，在第一象限內(nèi)，當(dāng)初始值是在x=3上方時(shí)，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)曲線(xiàn)最終都趨向于直線(xiàn)x=3；當(dāng)初始值是在x=3之下時(shí)，曲線(xiàn)最終也都趨向于直線(xiàn)x=3。這個(gè)模型在實(shí)際意義上的表示的是：不管人口的最開(kāi)始的數(shù)量是多少，最終人口的數(shù)量一定會(huì)趨于最大承載量N。

的平衡解，平衡解的穩(wěn)定性以及解的漸進(jìn)行為。其中x（t）表示物種數(shù)量的密度函數(shù)（依賴(lài)自變量時(shí)間t），k>0表示物種增長(zhǎng)率與物種總數(shù)之間的比例常數(shù)，N>0表示資源與環(huán)境的最大承載量，0同樣的，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們可以借助于使用MATLAB中的Dfield程序描繪一下解的長(zhǎng)時(shí)間漸進(jìn)行為。下面我們進(jìn)行以下的操作：在Dfield程序中選取k=2，N=5，M=3，程序作出圖2，從圖2中可以看出，在第一象限內(nèi)，當(dāng)初始值是在x=3下方時(shí)，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)曲線(xiàn)最終都趨向于直線(xiàn)x=0；當(dāng)初始值是在x=3和之間時(shí)，曲線(xiàn)最終都趨向于直線(xiàn)x=5；當(dāng)初始值是在x=5上方時(shí)，曲線(xiàn)最終也都趨向于直線(xiàn)x=5。這個(gè)模型在實(shí)際意義上的表示的是：如果物種最開(kāi)始的數(shù)量是低于Allee效應(yīng)的門(mén)檻值M時(shí)，最終物種的數(shù)量一定會(huì)趨于0，也即此時(shí)物種的初始數(shù)量太少使得物種的發(fā)展最終會(huì)滅絕；如果物種最開(kāi)始的數(shù)量是高于Allee效應(yīng)的門(mén)檻值M時(shí)（無(wú)論高于還是低于環(huán)境的最大承載量N，最終物種的數(shù)量一定會(huì)趨于最大承載量N。

通過(guò)以上實(shí)例分析以及結(jié)合我們近幾年的教學(xué)實(shí)踐， 我們深切地感受到：Matlab是一款功能強(qiáng)大的應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件，將Matlab軟件引入常微分方程課程的教學(xué)，可方便學(xué)生更深入地理解課程內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)， 提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，使常微分方程課程的教學(xué)出現(xiàn)了生動(dòng)活潑的局面。

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