Matlab在數(shù)學建模教學中的應(yīng)用

曲慶國　孟艷雙　王建英

摘要：本文闡述了數(shù)學建模這門學科的特點，探討了Matlab在教學中的應(yīng)用及數(shù)學建模教學中存在的問題。將MatIab用于數(shù)學建模教學，能夠大大提高學生學習數(shù)學建模的積極性，從而能夠提高數(shù)學建模教學的教學質(zhì)量和教學效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模；Matlab；插值

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）21-0262-02

一、引言

數(shù)學建模運用數(shù)學的思想方法、數(shù)學的語言去近似刻畫一個實際研究對象，構(gòu)建一座溝通現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的橋梁，并以計算機為工具，應(yīng)用現(xiàn)代計算技術(shù)，達到解決各種實際問題的目的。Matlab是一種應(yīng)用于科學計算領(lǐng)域的高級語言，其產(chǎn)生是與數(shù)學計算緊密聯(lián)系在一起的，主要功能包括數(shù)值計算、符號計算、繪圖、編程以及應(yīng)用工具箱。近年來，隨著實際問題的數(shù)據(jù)規(guī)模越來越大，Matlab在數(shù)學建模中占據(jù)越來越重要的地位。

本文對Matlab在數(shù)學建模課中的應(yīng)用進行討論分析，闡述了數(shù)學建模這門學科的特點及數(shù)學建模教學中存在的問題。在數(shù)學建模課中突出基本知識的實際應(yīng)用，需要針對不同問題的計算要求靈活使用Matlab編程。

二、數(shù)學建模的特點及教學中的問題

數(shù)學建模是一個實踐性很強的學科具有以下特點：

（一）涉及廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域

在涉及廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，如物理學、力學、工程學、生物學、醫(yī)學、經(jīng)濟學、軍事學、體育運動學等。完全不同的實際問題，在一定的簡化假設(shè)下，它們的模型是相同或近似的。這就要求學生培養(yǎng)廣泛的興趣，拓寬知識面，從而發(fā)展聯(lián)想力，通過對各種問題的分析、研究和比較，逐步達到觸類旁通的境界。

（二）需要靈活運用各種數(shù)學知識

在數(shù)學建模過程中，數(shù)學始終是一種工具。要根據(jù)實際問題的需要，靈活運用各種數(shù)學知識如微分方程、運籌學、概率統(tǒng)計、數(shù)值分析、圖論、層次分析、變分法等，去描述和解決實際問題。這就要求學生既要加深數(shù)學知識的學習，更要培養(yǎng)應(yīng)用已學到的數(shù)學方法及思想進行綜合應(yīng)用和分析，并進行合理地抽象和簡化的能力。

（三）技術(shù)手段的配合

需要各種技術(shù)手段的配合，如查閱文獻資料、使用計算機和各種數(shù)學軟件如Matlab、lingo等。

（四）建立一個數(shù)學模型與求解一道數(shù)學題目差別極大

求解數(shù)學題目往往有唯一正確的答案，但數(shù)學建模沒有唯一正確的答案。對同一個實際問題可能建立若干個不同的模型，模型無所謂對與錯，評價模型優(yōu)劣的標準是實踐。

（五）建立的數(shù)學模型與建模的目的有密切關(guān)系

對同一個實際對象，建模目的的不同導(dǎo)致建模的側(cè)重點和出發(fā)點不同。因此，對一個世界問題，數(shù)學建模沒有確定的模式，它與問題的性質(zhì)、建模的目的、建模者自身的數(shù)學素質(zhì)有關(guān)，甚至還與建模者的靈性有關(guān)，經(jīng)驗、想象力、洞察力、判斷及直覺、靈感在建模過程中起著與數(shù)學知識同樣重要的作用。

數(shù)學建模是一門科學，一門藝術(shù)，要成為一名出色的藝術(shù)家，需要大量的觀摩和前輩的指導(dǎo)，最重要的是要親身的實踐。同樣要掌握數(shù)學建模這門藝術(shù)，既要學習、分析、評價、改進前人做過的模型，更要親自動手做一些實際題目。

幾年的“數(shù)學建?！苯虒W實踐告訴我們，大學生參加數(shù)學建模活動，不但要求學生必須了解現(xiàn)代數(shù)學各門學科知識和各種數(shù)學方法，把所掌握的數(shù)學工具創(chuàng)造性地應(yīng)用于具體的實際問題，構(gòu)建其數(shù)學結(jié)構(gòu)，還要求學生熟悉Matlab、lingo等數(shù)學軟件，熟練地把現(xiàn)代計算機技術(shù)應(yīng)用于解決當前實際問題，最后還要具有把自己的實踐過程和結(jié)果敘述成文字的寫作能力。目前，數(shù)學建模教學中的主要問題是兩個“脫節(jié)”，一是實際問題與理論知識脫節(jié)，二是理論教學與數(shù)學軟件的應(yīng)用脫節(jié)。結(jié)合Matlab進行數(shù)學建模教學能夠有效地解決理論教學與應(yīng)用數(shù)學軟件的脫節(jié)。

三、結(jié)合Matlab進行數(shù)學建模教學

數(shù)學建模競賽能否取得好成績不僅取決于模型的精妙與合理，還取決于模型的求解。Matlab在模型的求解方面占有關(guān)鍵的地位[1]。因此，結(jié)合Matlab進行數(shù)學建模教學將起到事半功倍的效果。下面以講解插值方法為例，說明Matlab在數(shù)學建模教學中的重要性和必要性。

在插值方法教學中，首先需要講解插值法的定義，然后簡單講解拉格朗日插值、分段線性插值和樣條插值，最后重點講解Matlab插值工具箱及其應(yīng)用。在Matlab插值工具箱中，插值函數(shù)分為一維插值函數(shù)和二維插值函數(shù)兩類。Matlab中一維插值函數(shù)是interp1[2]，語法為：y=interp1（x0，y0，x，'method'）。其中：method指定插值的方法，默認為分段線性插值，其值可為nearest、linear、spline和cubic。所有的插值方法要求x0是單調(diào)的。

例1：（機床加工）待加工零件的外形根據(jù)工藝要求由一組數(shù)據(jù)（x，y）給出（在平面情況下），用程控銑床加工時每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步，這就需要從已知數(shù)據(jù)得到加工所要求的步長很小的（x，y）坐標。給出的（x，y）數(shù)據(jù)（程序中的x0，y0）位于機翼斷面的下輪廓線上，假設(shè)需要得到x坐標每改變0.1時的y坐標。試完成加工所需數(shù)據(jù)，畫出曲線。

解：編寫程序如下：

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]；y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]；x=0：0.1：15；y1=interp1（x0，y0，x，'nearest'）；y2=interp1（x0，y0，x，'linear'）；y3=interp1（x0，y0，x，'spline'）；plot（x0，y0，'*'，x，y1，'r'，x，y2，'b'，x，y3）；

通過運行結(jié)果可以看出，三次樣條插值的結(jié)果最好，建議選用三次樣條插值的結(jié)果。

Matlab中二維插值函數(shù)之一是interp2，語法為：z=interp2（x0，y0，z0，x，y，'method'）。其中：x0，y0分別為m維和n維向量，表示節(jié)點；z0為n×m矩陣，表示節(jié)點值；x，y為一維數(shù)組，表示插值點。

例2：（地貌圖形的繪制）下表所列為某次地貌測量所得的結(jié)果，對一方形區(qū)域（x，y方向均為從1-10），選測某些地點測量其相對于某水平面高度的數(shù)據(jù)，要求用這些數(shù)據(jù)（程序中的h）盡量準確地繪制出該地區(qū)的地形。

解：此題的關(guān)鍵是將未測量地點的高度用插值方法求出來。程序如下：

[x，y]=meshgrid（1：10）；

h=[0 0.02 -0.12 0 -2.09 0 -0.58 -0.08 0 0；0.02 0 0 -2.38 0 -4.96 0 0 0 -0.1；0 0.1 1 0 -3.04 0 -0.53 0 0.1 0；0 0 0 3.52 0 0 0 0 0 0；-0.43 -1.98 0 0 0 0.77 0 2.17 0 0；0 0 -2.29 0 0.69 0 2.59 0 0.3 0；-0.09 -0.31 0 0 0 4.27 0 0 0 -0.01；0 0 0 5.13 7.4 0 1.89 0 0.4 0；0.1 0 0.58 0 0 1.75 0 -0.11 0 0；0 -0.01 0 0 0.3 0 0 0 0 0.01]；[xi，yi]=meshgrid（1：0.15：10）；

hi=interp2（x，y，h，xi，yi，'spline'）；surf（xi，yi，hi）；

通過運行結(jié)果可以看出，利用樣條插值得到的數(shù)據(jù)繪制出了效果較好的地貌形態(tài)圖。

在數(shù)學建模的插值法教學中，重點不是講解插值法的理論，而是講解插值法的應(yīng)用，即如何應(yīng)用插值法解決實際問題。在這個教學過程中MATLAB占有重要的地位。因為MATLAB能夠利用其內(nèi)部插值函數(shù)及有限的數(shù)據(jù)產(chǎn)生所需的足夠的數(shù)據(jù)，并能夠繪制出相應(yīng)的圖形。關(guān)鍵是這一過程的實現(xiàn)MATLAB比其他軟件容易得多。[3]有了MATLAB的幫助，數(shù)學建模的教學不會像以前那樣將重點放在理論講解上，從而使得大學生有更大的興趣學習數(shù)學建模，并利用學到的知識探索解決實際問題。

四、結(jié)論

結(jié)合MATLAB進行數(shù)學建模教學，能夠大大提高學生學習數(shù)學建模的積極性，能夠有效地解決理論教學與應(yīng)用數(shù)學軟件的脫節(jié)，能夠大大提高教學質(zhì)量和教學效果。因此，結(jié)合MATLAB進行數(shù)學建模教學是重要的，也是必要的。

參考文獻：

[1]溫一新，王濤.數(shù)學實驗和數(shù)學建模教學中數(shù)學軟件應(yīng)用的實例分析[J].大學數(shù)學，2014，30（5）：26-30.

[2]Holly Moore.MATLAB實用教程（第二版）[M].高會生，劉童娜，李聰聰，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2010.1.

[3]司守奎，孫兆亮.數(shù)學建模算法與應(yīng)用（第二版）[M].北京：國防工業(yè)出版社，2015.4.