巧用平面幾何知識解解析幾何的問題

林慧斌

摘 要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中分值所占的比重較大。在解題的過程中計(jì)算量大，對運(yùn)算求解能力要求高。本文探索了如何應(yīng)用平面幾何的有關(guān)定理和性質(zhì)解決解析幾何中的軌跡問題和最值問題，減少解題的過程中計(jì)算量。

關(guān)鍵詞：平面幾何；解析幾何；圓錐曲線；軌跡；最值

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考中分值所占的比重較大。它的基本思想是利用代數(shù)的方法研究幾何問題的基本特點(diǎn)和性質(zhì)，因此，在解題的過程中計(jì)算量大，對運(yùn)算求解能力要求高。很多學(xué)生在做題時只想著用高中所學(xué)的解析幾何知識去解，忽略應(yīng)用平面幾何的知識。雖然解題時思路清楚，方向明確，但是浪費(fèi)時間，不得不半途而廢。事實(shí)上，如果學(xué)生能轉(zhuǎn)換角度，巧妙運(yùn)用平面幾何知識，把題目中平面幾何的本質(zhì)挖掘出來，即可化繁為簡。下面結(jié)合本人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和一些例題總結(jié)出幾種利用平面幾何知識巧解解析幾何問題的方法。平面幾何知識在解析幾何中應(yīng)用，最主要有兩塊內(nèi)容：軌跡問題和最值問題。

一、軌跡問題的應(yīng)用

求軌跡問題在解析幾何中處于十分重要的地位。求軌跡方程的實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等基本知識點(diǎn)的掌握還充分考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，還涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、平幾等綜合知識，因此它是高考考查的重要方向之一。

求軌跡方程的方法有：直接法、待定系數(shù)法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等?？v觀多年來的高考試題，學(xué)生如果能夠巧妙運(yùn)用平面幾何的知識，把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程。

這題涉及到橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)，應(yīng)用三角形中位線的性質(zhì)使問題簡化了大量的運(yùn)算。

二、最值問題的應(yīng)用

最值問題屬于解析幾何的綜合問題，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互融合，解析幾何中常見求最值常見的解法有兩種：幾何法、代數(shù)法。

若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形結(jié)合幾何性質(zhì)來解決。通過下面的問題，我們一起來看如何利用平面幾何的知識解決問題。

例3：已知點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P中y軸上的身影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則當(dāng)時|PA|+|PM|的最小值為。

在研究拋物線的性質(zhì)時，要注意定義的轉(zhuǎn)化并結(jié)合圖形分析，特別是平面幾何的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，本題利用平面幾何知識，即三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

從近年的高考試題中，我們注意到解析幾何所研究的問題以平面幾何的性質(zhì)為背景，并且現(xiàn)在高考特別提出“多考想，少考算”，所以學(xué)生在解題過程中為避免代數(shù)方法帶來的繁雜、冗長的計(jì)算，應(yīng)仔細(xì)分析題設(shè)中圖形特征和數(shù)量關(guān)系，充分運(yùn)用平面幾何的有關(guān)知識，將幾何問題化歸為代數(shù)問題，這是解解析幾何問題的一種基本技巧。

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（作者單位：福建省龍海市龍海一中）