例談初中數(shù)學(xué)幾何綜合問題的解題方法

鄭波

摘 要： 初中數(shù)學(xué)中的幾何問題不僅是平時教學(xué)中的重點，而且是中考中必考的知識點，在中考中它往往以壓軸題出現(xiàn)，因此，在平時的教學(xué)中我們要關(guān)注這類題.本文從作者的教學(xué)實踐出發(fā)，結(jié)合具體的中考實例談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)幾何綜合問題的解題方法，其中主要包括從特殊到一般的解題方法和根據(jù)題干建立聯(lián)系的方法.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 幾何綜合題 解題方法 類型

幾何綜合題常常和運動問題結(jié)合起來，在題設(shè)圖形中存在一個或多個動點，甚至是一個圖形，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識，如平移、旋轉(zhuǎn)、對稱和運動過程中的面積變化關(guān)系等解決問題.在加入運動問題的同時，幾何綜合問題又可以大致分為兩類，一類是幾何綜合題，一類是代數(shù)和幾何型綜合題.這兩類題目不僅有各自的特點，還有一些共同點，下面筆者一一分析、闡述.

類型一：幾何綜合題

1.概念分析

幾何型綜合題是指以幾何知識為主或以幾何變換為主的一類綜合題，涉及知識主要包括幾何的定義、公理、定理及幾何變換等內(nèi)容.

2.解題策略

解決幾何型綜合題的關(guān)鍵是把代數(shù)知識與幾何圖形的性質(zhì)及計算與證明有機融合起來，進行分析、推理，從而達到解決問題的目的.概括來講就是采用從特殊到一般的解題方法.

3.例題展示

（2015·湖州）已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），點E與點D同時出發(fā)，由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點.

（1）初步嘗試

如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等.求證：HF=AH+CF.

小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：

思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論成立；

思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結(jié)論成立.

請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程.

（2）類比探究

（3）延伸拓展

4.例題分析

類型二：代數(shù)和幾何型綜合題

1.概念分析

代數(shù)和幾何型綜合題是指以代數(shù)知識與幾何知識綜合運用為主，包括坐標系中的圖形變換等的一類綜合題，涉及知識以函數(shù)與圓、方程，函數(shù)與三角形、四邊形等相關(guān)知識為主.

2.解題策略

幾何圖形形象直觀，解題過程的可操作性強，因此解決這類題目時可以采用數(shù)形結(jié)合的思想.概括來講就是根據(jù)題干建立適當聯(lián)系.

3.例題展示

（2015·衡陽）如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O，A不重合），連接CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM=CP，過點M作MN∥OA，交BO于點N，連接ND，BM，設(shè)OP=t.

（1）求點M的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變？并說明理由；

（3）當t為何值時，四邊形BNDM的面積最??？

結(jié)語

縱觀以上分析，我們發(fā)現(xiàn)要想掌握好幾何綜合性問題，不僅要將課本基本知識熟記于心，還要掌握一定的思想方法，比如：分類討論思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想等，在掌握這些內(nèi)容后，還要把握“運動”的要義，不管是點的運動、線的運動、面的運動，都要熟悉，只有這樣才能在考試中取得好成績.

參考文獻：

[1]王義兵.淺談初中數(shù)學(xué)中函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，24.

[2]李長軍，徐毅.解析幾何學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾個問題[J].數(shù)學(xué)通報，2005，08.

[3]張宏政.代數(shù)與幾何綜合問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（初中版，中考版），2009，06.