例談?wù)f題的實踐與思考

趙雁泉

摘 要： 從“說課”到“說教學(xué)片斷”再到“說題”，教研活動中的“說”的范圍在逐步縮小，卻更有實效?！罢f題”能夠充分展示教學(xué)問題及解決問題的過程，還能夠通過一題多a，一題多變，一題多用揭示數(shù)學(xué)思維的過程，提高學(xué)生解決問題的能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂輕負高質(zhì)的效果。教師說題活動能夠促進參與者深入研究題目功能及教學(xué)策略，更能踐行有效課堂教學(xué)，深入教學(xué)的研究和反思，促進教師的專業(yè)成長。

關(guān)鍵詞： 說題 變式 解決問題 數(shù)學(xué)思維 創(chuàng)新能力

一、說題的背景

觀察當(dāng)前的課堂發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)教師仍以“基本知識，基本技能”教學(xué)為主，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)體現(xiàn)不夠。老師們經(jīng)常埋怨把以前做過、講過的題目，再拿給學(xué)生做，學(xué)生又不會了。我認為這主要是因為教師在第一次講解這些題目時，對題目功能的挖掘不夠。就題論題，做一題，換一題，使學(xué)生的思維跟著跳躍?；蛘呤墙處熢谥v解時，只告訴學(xué)生怎么做，而沒有呈現(xiàn)為什么這么做的思維過程，導(dǎo)致學(xué)生不能真正深入理解知識、方法，缺乏舉一反三，融會貫通。所以，教師研究題目，研究解題教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率是一項重要工作。在遇到新問題時，如何幫助學(xué)生找到條件和結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系和橋梁，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，成了我常常思考的問題。筆者今年有幸參加了杭州市說題比賽、展示活動，我深刻體會到說題能夠促進教師深入挖掘題目功能，研究解題教學(xué)策略，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量。教師為了說題會進行深層次備課，突出問題解決的過程，特別是揭示思維展示的過程，歸納問題的典型特性，教學(xué)目標從原來的“雙基”到“四基”，體現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識。因此，說題活動是教師改變當(dāng)前課堂狀況的有效策略之一。

二、說題的定義

在說題之前，先進行解題，解題后，把題目的功能，如何審題、分析、解答、變式、拓展和回顧的思維過程按一定的規(guī)律和順序加以敘述，這就是說題。說題時間一般控制在10分鐘左右，不超過15分鐘。說題分為“教師說題”、“教師和學(xué)生互動說題”和“學(xué)生說題”等。本文主要和大家交流教師說題。在我看來，教師說題更是一種教學(xué)教研活動，是促進教師專業(yè)發(fā)展的有效途徑。教師說題是類似于說課的一種教育教研展示和討論活動，是說課的延續(xù)和創(chuàng)新，但是比說課更有針對性，是一種更深層次備課后的展示。

三、說題的作用

說題能促進教師精選題目，并充分研究和挖掘題目功能，完善教學(xué)方法，精簡講練，這在一定程度上能夠避免題海戰(zhàn)術(shù)，實現(xiàn)教與學(xué)的輕負高質(zhì)。

（一）說題促進教師更深層次的備課，有利于提升教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)。

說題之前，教師要進行一系列的準備工作，如：仔細查閱相關(guān)資料，認真學(xué)習(xí)相關(guān)的理論，深刻研究學(xué)科知識結(jié)構(gòu)與分類，了解關(guān)于問題的來源，研究問題考查的目的，考查的知識、思想方法、解題經(jīng)驗等。這對于教師把握整個教材體系和課標及對學(xué)生的了解的要求更高，思維能力要求更強。說題要求教師理論與實踐的結(jié)合，說題能使教師不僅注重結(jié)果，更注重過程教學(xué)，同時也注重開放式教學(xué)。所以說題能有效提高教師的專業(yè)能力、教學(xué)能力和教研能力，有利于提升教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)。

（二）說題改變課堂教學(xué)方式，有助于提高學(xué)生解決問題的能力。

說題改變了教師的教學(xué)方式，也就改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生會在教師的潛移默化下，學(xué)會用分析法和綜合法分析問題；學(xué)會用多種方式解決一個問題，并舉一反三；學(xué)會從中知道這道題所包含的理論層面的知識，解決一類問題，一題多用。這樣既能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生解決問題的能力，又能夠培養(yǎng)學(xué)生敢于探索和創(chuàng)新的精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）說題是提高教研活動效率的有效途徑之一。

聽一節(jié)課需要40～45分鐘，而說題只需10分鐘左右，所以說題時間短，切口小，但涉及的方面多。一次教研活動可以有多人進行說題展示，所以說題活動是一種有效的教研形式。教師“說”數(shù)學(xué)問題的解決方法和策略，實質(zhì)是展示自身的理論功底，數(shù)學(xué)知識的掌握程度，以及數(shù)學(xué)方法的理解能力和數(shù)學(xué)教學(xué)的前瞻性。通過課堂的具體實踐，又使教師自身的教育理論得以提煉，也給旁人提供參考，使集體的智慧得以充分發(fā)揮。說題者要努力尋求現(xiàn)代教育理論的指導(dǎo)，評價者也要努力尋求說題教師的特色與成功經(jīng)驗的理論依據(jù)，說評雙方圍繞著共同的課題達成共識，達到取長補短、優(yōu)勢互補的效果，說題者得到反饋，進而改進、提高和完善自己的教學(xué)方案；聽者從中得到比較、鑒別和借鑒，得到案例示范和理論滋養(yǎng)兩方面的收益，營造了良好的教研氛圍。

四、說題的實踐

下面以筆者參加杭州市說題展示活動為例，闡述說題的過程。

（一）說題引入。

《數(shù)學(xué)課程標準解讀》明確指出初中數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念，形成幾何直觀能力，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有很大的作用。下面看一個幾何問題。

（二）題目呈現(xiàn)。

如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點Q，連接DF。

（1）若E是CD的中點，求證：Q為CF的中點；

（2）連接AQ，設(shè)S=S，S=S，S=S，在（1）的條件下，判斷S+S=S是否成立？并說明理由.

（三）題目賞析。

1。題目來源：本題改編自2015年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試題的第23題。

2。題目功能：本題注重考查的知識有正方形的性質(zhì)，全等和相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理。本題需要學(xué)生具備的基本能力是直觀理解能力、觀察分析能力、邏輯思維能力和問題轉(zhuǎn)化能力。本題所用的基本思想方法是數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想。本題使學(xué)生獲得的基本活動經(jīng)驗是學(xué)會用分析、綜合法找到條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)聯(lián)，善于從復(fù)雜圖形中分解出常用圖形。

3。學(xué)情分析：學(xué)生往往能熟練掌握全等的判定和性質(zhì)，也能發(fā)現(xiàn)相似三角形，但是，多次相似的轉(zhuǎn)化難度較大，不能很好地與勾股定理結(jié)合，轉(zhuǎn)化綜合分析能力欠缺。

（四）解法分析。

解法分析不僅要講清楚如何解題，更要展現(xiàn)為什么要這樣解題的思維過程，同時也要用多種途徑解決問題。

1。第一小題的解法：

（1）解法一：用平行線分線段成比例定理

思維分析過程有兩種：

①執(zhí)果索因：

②由因?qū)Ч?/p>

（2）解法二：用相似三角形的判定和性質(zhì)

將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明QC：CE=1：2，由題目的條件可知DE：DA=1：2，所以只要證QC：CE=DE：DA，那么就需要證明△QCE∽△EDA。

2。第二小題的解法：

（1）解法一：相似三角形面積比等于對應(yīng)邊之比的平方，結(jié)合勾股定理。

思維過程是：面積問題相似三角形面積比

S+S=S？坩+=1？坩+=1？坩△CQE～△QEA～△EDA

（2）解法二：代數(shù)法。

設(shè)CQ=QF=a，那么CE=DE=2a，AD=4a，我們可以求得S=a，S=4a，S=5a，從而得到S+S=S。這里，用代數(shù)方法非常簡潔明了。

（3）解法三：面積的割大和補小。題目結(jié)論S+S=S中有“+”號，一般想到面積的割大補小。

①面積的割大：將△ADE沿著AE所在的直線對折，證明點D與點I重合，然后證明△QCE≌△QIE，從而得到S+S=S。

②面積的割?。簩ⅰ鱍CE繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)180度，易證點A、D、Q′共線?！鱍CE的面積轉(zhuǎn)化到△Q′DE，然后證明△Q′AE≌△QAE，從而得到S+S=S。

一題多解是對同一問題尋求不同的解決方法，多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維。但是教師不能盲目追求解法多樣性，而是應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從解題思路差異性、解題過程簡潔性、解題思維優(yōu)越性三方面進行比較，選出最優(yōu)化的方法，力求簡單、直接。

（五）變式拓展。

數(shù)學(xué)本身也是主體建構(gòu)的產(chǎn)物，她應(yīng)該是活的，動態(tài)的，開放的，表現(xiàn)多維度的。一個問題的多種變化，其中既包括解題過程中的各種鋪墊，又包括對原問題的各種引申，如：改變條件，改變結(jié)論，一般化等。既然知識學(xué)習(xí)是一個建構(gòu)的過程，那么就要突出學(xué)習(xí)者的主體作用，《數(shù)學(xué)課程標準解讀》要求我們關(guān)注學(xué)生的個體差異，讓不同層次的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。

1。針對學(xué)困生的變式拓展，重在基本圖形的探究。以下三個變式，為學(xué)生能從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，并能分析其中基本元素及其關(guān)系積累活動經(jīng)驗。

變式1?；緢D形：全等

已知：正方形ABCD中，DE=CF，求證：△ADE≌△DCF。

變式2。基本圖形：一線三直角

已知：Rt△ADE與Rt△ECQ，且AE⊥QE，求證：△ADE∽△ECQ。

變式3?；緢D形：一線三等角

已知：△ADE與△ECQ，且∠C=∠AEQ=∠D，求證：△ADE∽△ECQ。

針對學(xué)困生，我們要善于退，退到原始而不失重要性的地方，容易看清問題的本質(zhì)。

2。針對中等生的變式拓展：將正方形變?yōu)榱庑危渌麠l件不變。

變式4：如圖，E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊DC，CB上的點，且DE=CF，以AE為邊作菱形AEHG，HE與BC交于點Q，連接DF。

（1）若E是CD的中點，求證：Q為CF的中點；

（2）連接AQ，設(shè)S=S，S=S，S=S，在（1）的條件下，判斷S+S=S是否成立？并說明理由.

思路分析：將△QCE的面積轉(zhuǎn)化到△Q′DE，然后證明△Q′AE的面積與△QAE的面積相等，從而得到S+S=S。

針對中等生，我們還可以將特殊問題拓展到任意情況。

變式5。如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點Q，連接AQ，設(shè)S=S，S=S，S=S。

（1）當(dāng)CE=CD時，探究S，S，S的關(guān)系式，并說明理由。

（2）當(dāng)CE=CD時，探究S，S，S的關(guān)系式，并說明理由。

（3）當(dāng)CE=CD時，探究S，S，S的關(guān)系式，并說明理由。

思路分析：將中點變?yōu)槿确贮c，四等分點甚至N等分點，條件開放。E點位置改變，△QCE和△MDE不再全等，而是相似，面積的比值就是對應(yīng)邊的平方比。我們?nèi)匀豢梢杂脦缀未鷶?shù)相結(jié)合的方法找出面積的數(shù)量關(guān)系。從特殊推廣到一般，得到四等分點和N等分點的時候的面積數(shù)量關(guān)系。

（1）當(dāng)CE=CD時，延長QE交AD的延長線于點M，可證△CEQ∽△DEM，由相似三角形面積比是對應(yīng)邊之比的平方，得到：S=4S，我們還可以得到△AEM的面積是△AEQ面積的兩倍，因此我們得出結(jié)論：2S=S+4S。

運用從特殊到一般的思想，我們不難得到：

（2）當(dāng)CE=CD時，延長QE交AD的延長線于點M，同理：3S=S+9S。

（3）當(dāng)CE=CD時，延長QE交AD的延長線于點M，同理：（n-1）S=S+（n-1）S。

3。針對學(xué)優(yōu)生，我們可以將E點變?yōu)閯狱c，變式拓展為動態(tài)幾何的問題。

變式6。正方形ABCD的邊長為1，E為線段CD上的動點，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點Q。當(dāng)點E從C向D運動時，求線段CQ的長度的最大值。

思路分析：在點E從C向D運動過程中，我們發(fā)現(xiàn)△CQE∽△DEA一直存在，用函數(shù)與方程的思想就能解決問題。設(shè)CE=x，DE=1-x，CQ=y，利用△QCE∽△EDA列出對應(yīng)邊成比例的方程式，就能得到函數(shù)式：y=x-x=-（x-）+，最后用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出最大值。

變式7。如圖，E，F(xiàn)分別是邊長為a的正方形ABCD的邊DC，CB上的點，且DE=CF，AE與DF交于點P，連接BP。當(dāng)點E在直線CD上移動時，求BP的最小值。

思路分析：當(dāng)E在直線CD上任意移動，保持DE=CF，那么運動過程中一直有△CDF≌△DAE，因此AE⊥DF恒成立。我們可以得到點P的運動軌跡是：在以AD為直徑的圓上運動（記線段AD的中點為圓心O）。所以，BP的最小值就是當(dāng)BPO共線的時候最短，BP的最小值為。這里用的是轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

（六）反思回顧。

數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)認識。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸，從特殊到一般，函數(shù)與方程等思想是數(shù)學(xué)課程的重要目的。

“圖形與證明”，對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的作用顯而易見。如何引導(dǎo)學(xué)生探索圖形的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)活動中不斷發(fā)展合情推理，并體會到證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握演繹推理的基本格式是初中“空間與圖形”學(xué)習(xí)的重點。學(xué)生通過靈活綜合應(yīng)用知識，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動經(jīng)驗，提高解決問題的能力。

五、說題的成效

杭州市及各區(qū)教師開展說題研究已經(jīng)進行了多年，市、區(qū)多次進行了說題比賽和研討。經(jīng)過這么多年的說題鍛煉，教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)得到了很快提升，學(xué)生分析問題、解決問題的能力也有了明顯提升。

（一）說題活動促進了教師迅速成長。

前陣子，筆者有幸擔(dān)任區(qū)中級評職模擬上課的評委，發(fā)現(xiàn)工作才六年的青年數(shù)學(xué)教師在分析例題環(huán)節(jié)比以前有了很大的進步。他們淋漓盡致地展示了例題解決的思維過程，而不是直接告訴學(xué)生如何解，而且他們對例題都及時進行了變式拓展，這讓在場的評委都很欣喜。近年來，說題活動通過層層選拔，次次觀摩，促進教師對教材、習(xí)題、試題、問題教學(xué)進行鉆研。只有教師對教材和練習(xí)了然于胸，注重問題解決思維過程，才能高屋建瓴，發(fā)展學(xué)生思維。說題有效促進了教師的專業(yè)化成長。

（二）說題活動提高了學(xué)生解決問題的能力。

平時上課，我班的學(xué)生在回答如何解決問題時，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣回答：

“我是從結(jié)論出發(fā)，一步一步倒推后找到這個思路的?！?/p>

“我是從這個已知條件入手，想到……”

“我是從另一個條件入手，找到了和他不同的解題方法……”

“老師，我發(fā)現(xiàn)這個題目可以把這個特殊條件：中點，去掉，換成一般條件：任意一點，結(jié)論仍然成立?！?/p>

……

也就是說，在教師的潛移默化下，學(xué)生學(xué)會了解決問題的思考方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不再是被動接受、記憶、模仿和練習(xí)。通過教師說題，學(xué)生也能學(xué)會說題，會用不同的途徑解決同一個問題，還會用同一個方法解決不同的問題。學(xué)生學(xué)習(xí)變得更主動積極，思維能力和創(chuàng)新意識得到了培養(yǎng)和發(fā)展。

六、說題的反思

（一）說題要避免模式化，應(yīng)該突出個性。

說題有一般的模式，但是也不應(yīng)太程式化，教師說題對題目的處理要有獨到之處，彰顯極富創(chuàng)意之處，只有這樣，才能給人耳目一新的感覺，煥發(fā)說題的活力。說題需要有“亮點”，不管哪種形式的說題，一定要力求重點突出，把體現(xiàn)本題個性特色的元素充分展示出來，這樣才能使聽者更好地了解說題的特點，才能發(fā)揮說題的特有功效。一個有特色的多媒體課件也可以讓說題更精彩。說題是說者和聽者的雙邊活動，無論在說題中采用哪種方法，都需要教師用豐富的情感激發(fā)聽者的興趣和熱情。

（二）說題的板書要簡練得當(dāng)。

說題因時間有限，所以說題者不需把說的所有內(nèi)容都板書在黑板上，只要把一些主要的解題環(huán)節(jié)板書在黑板上即可，使聽者能聽懂，但又不繁瑣。

（三）教師的解題能力有待提高。

中國古代文學(xué)家教育家劉勰說：“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器?！币懈哔|(zhì)量的、精彩的說題，教師自身有較強的解題能力是關(guān)鍵，否則是無米之炊。所以，教師平時要多解題，多研究題，當(dāng)然也要研究課標，研究中考的方向。

參考文獻：

[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準解讀[M]。北京師范大學(xué)出版社，2002。

[2]變式教學(xué)研究[J]。數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（01）。

[3]說課最需要什么[M]。南京大學(xué)出版社，2010。