關(guān)于凸g-期望的表示的一些結(jié)果

紀(jì)榮林，江　龍，石學(xué)軍

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國 徐州　221116)

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關(guān)于凸g-期望的表示的一些結(jié)果

紀(jì)榮林，江龍*，石學(xué)軍

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國 徐州221116)

摘要在倒向隨機微分方程生成元滿足基本假設(shè)的前提下，通過次線性g-期望所控制的一族概率測度，得到了受控于該次線性g-期望的凸g-期望的一個新的表示.進(jìn)一步地，對任意給定的凸g-期望，證明了控制該凸g-期望的極小次線性g-期望的存在性.

關(guān)鍵詞倒向隨機微分方程；凸g-期望；表示；極小元

考慮如下形式的一維倒向隨機微分方程(簡記為BSDE)：

(1)

由Pardoux-Peng[1]知只要函數(shù)g關(guān)于變量y和z是Lipschitz的，ξ和g(·，0，0)是平方可積的，則BSDE(1)有唯一一對平方可積的適應(yīng)解.g被稱之為BSDE(1)的生成元，ξ被稱之為BSDE(1)的終端條件.將BSDE(1)的唯一一對平方可積的適應(yīng)解記為(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T].如果g還滿足g(t,y,0)≡0,用εg[ξ]表示Y0(g,T,ξ),并稱εg[ξ]為ξ的g-期望.

g-期望的概念可以看成是著名的Girsanov變換的非線性推廣.自從g-期望的概念提出以來，研究者已經(jīng)得到了g-期望的很多性質(zhì)及應(yīng)用，如Peng[2]給出了關(guān)于g-期望的一系列基本性質(zhì)，Chen-Epstein[3]則利用g-期望研究了遞歸效用.對于凸g-期望而言，Rosazza[4]首次考慮了凸g-期望與凸風(fēng)險度量之間的關(guān)系，并從凸風(fēng)險度量的角度初步地給出了凸g-期望的表示；Jiang[5]則建立了凸g-期望(g-期望誘導(dǎo)的凸風(fēng)險度量)與生成元g之間的一一對應(yīng)關(guān)系.

由g-期望的時間相容性知，凸g-期望誘導(dǎo)的風(fēng)險度量是一類特殊的凸風(fēng)險度量，且由Fenchel-Legendre變換知，凸g-期望的表示與其最小懲罰函數(shù)的表示是一一對應(yīng)的.進(jìn)一步地，結(jié)合g-期望的相關(guān)理論知，g-期望算子與生成元函數(shù)g之間存在某種一一對應(yīng)的關(guān)系.因此，一個自然的問題是：在g-期望的框架下，如何從生成元的角度，給出凸g-期望一個更精確的表示？

受Rosazza[4]及Jiang[5]工作啟發(fā)，本文獲得了關(guān)于凸g-期望的表示一些結(jié)果，如下：設(shè)εg0為次線性g-期望，則對任意的受控于εg0的凸g-期望εg,即εg0≥εg,存在由εg0控制的(Ω,FT)上的一族概率測度，使得凸g-期望εg的最小懲罰函數(shù)在此概率測度族上有定義，從而得到了該凸g-期望的一個新的表示.進(jìn)一步地，對任意給定的凸g-期望，證明了控制該凸g-期望的極小次線性g-期望的存在性.本文組織如下：第二節(jié)給出一些準(zhǔn)備知識和必要的引理，第三節(jié)給出主要結(jié)果及證明.

1預(yù)備知識

設(shè)T是一個給定的正實數(shù),(Bt)t≥0是概率空間(Ω,F,P)上的d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，(Ft)t≥0是由該布朗運動生成的完備的σ域流.對每一個正整數(shù)n,記|·|為Rn中的Euclid范數(shù)；對任意的z1,z2∈Rd,記z1·z2為向量z1與z2的內(nèi)積；記L2(Ft)為Ft-可測且平方可積的隨機變量全體.

對于BSDE(1)，其生成元g是一個定義在[0，T]×Ω×R×Rd上的實值函數(shù)，對任意給定的(y,z)∈R×Rd,(g(t,y,z))0≤t≤T是一個Ft-循序可測過程且滿足如下基本假設(shè)條件(A1)和(A2)：

(A1) (Lipschitz條件)存在常數(shù)K≥0使得dP×dt-a.s.,對任意的(y1,z1),(y2,z2)∈R×Rd,

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|≤K(|y1-y2|+|z1-z2|).

(A3) dP×dt-a.s.,對任意的y∈R,g(t,y,0)≡0.

為方便讀者起見，引入如下定義.

定義1[2]設(shè)生成元g滿足(A1)和(A3)，對任意的隨機變量ξ∈L2(FT),定義

εg[ξ]:=Y0(g,T,ξ),

則稱εg[ξ]為ξ的g-期望.

定義2設(shè)生成元g滿足(A1)和(A3)，Q為(Ω,FT)上的概率測度，若EQ[X]≤εg[X],?X∈L2(FT),則稱Q為εg控制的概率測度.

定義3設(shè)(S,≤)為一偏序集，稱F0為S的一個極小元，若F0滿足：

(i)F0∈S;

(ii) 對任意的F∈S,如果F≤F0,則有F=F0.

下面引入本文的一些重要引理.

引理1([5]定理3.2)設(shè)生成元g滿足(A1)和(A3)，則以下陳述等價：

(i)εg是凸期望，即對任意的X，Y∈L2(FT),α∈[0,1],有

εg[αX+(1-α)Y]≤αεg[X]+(1-α)εg[Y].

(ii)g獨立于y且關(guān)于z是凸的，即對任意的z1,z2∈Rd,α∈[0,1],有

g(t,αz1+(1-α)z2)≤αg(t,z1)+(1-α)g(t,z2),dP×dt-a.s..

引理2([5]定理3.3,定理3.4)設(shè)生成元g滿足(A1)和(A3)，則以下陳述等價：

(i)εg是次線性期望，即對任意的X，Y∈L2(FT),λ≥0,有

εg[X+Y]≤εg[X]+εg[Y],εg[λX]=λεg[X].

(ii)g獨立于y且關(guān)于z是次線性的，即對任意的z1,z2∈Rd,λ≥0,有

g(t,z1+z2)≤g(t,z1)+g(t,z2),g(t,λz1)=λg(t,z1),dP×dt-a.s..

引理3([6]定理2.1)設(shè)生成元g滿足(A1)和(A3)且獨立于y,定義可測空間(Ω,FT)上的概率測度集：

Q(g):={Q:EQ[ξ]≤εg[ξ],?ξ∈L2(FT)},

其中，Θg:={(θt)t∈[0,T]:θ是Rd-值循序可測過程且dP×dt-a.s.,?z∈Rd,θt·z≤g(t,z)}.則有

P(g)=Q(g).

2主要結(jié)果

設(shè)εg為凸g-期望，則由Rosazza[4]知，εg表示如下：

其中，

最小懲罰函數(shù)αmin(·)的表示如下：

下述定理則在Rosazza[4]關(guān)于凸g-期望的表示基礎(chǔ)上，結(jié)合Jiang[5]凸g-期望與生成元g之間的一一對應(yīng)關(guān)系,通過次線性g-期望所控制的一族概率測度，刻畫了凸g-期望的最小懲罰函數(shù)αmin(Q)的定義域，進(jìn)而給出了該凸g-期望一個新的表示，如下：

定理1設(shè)εg0為次線性g-期望，則對任意的受控于εg0的凸g-期望εg,即εg0≥εg,有

且對任意的概率測度Q∈R(g)Q(g0),有

αmin(Q)=+∞.

證首先，受控于εg0的凸g-期望存在且Q(g0)非空.事實上，由引理1和引理2知，εg0是凸g-期望，且顯然受控于εg0,故存在受控于εg0的凸g-期望.下證Q(g0)非空.由凸g-期望的表示知

從而知存在(Ω,FT)上的概率測度Q，使得對任意的X∈L2(FT)有EQ[X]≤εg0[X],即得Q(g0)非空.

(2)

且

(3)

由(2)知，

故

從而由(3)可得

最后，證明對受控于εg0的凸g-期望εg,若概率測度Q0∈R(g)Q(g0),則

αmin(Q0)=+∞.

事實上，由Q0?Q(g0)知，存在X0∈L2(FT),使得

EQ0[X0]>εg0[X0].

從而

故由上確界的定義知，αmin(Q0)=+∞.

由定理1及最小懲罰函數(shù)的表示，可得如下推論：

推論1([6]定理2.2)設(shè)εg0為次線性g-期望，則

接下來，考慮控制給定凸g-期望的極小次線性g-期望的存在性，如下：

定理2設(shè)εg0為凸g-期望，令

S(εg0):{εg:εg是次線性g-期望且εg[X]≥εg0[X],?X∈L2(FT)}.

則S(εg0)至少存在一個極小元.

證首先，證明如下集合

至少存在一個極小元.令gK:=K|z|,z∈Rd,K為Lipschitz常數(shù).顯然，gK∈S(g0).設(shè)S為S(g0)的一個非空全序子集，即對任意的g1,g2∈S,則必有g(shù)1(t,z)≥g2(t,z)或g1(t,z)≤g2(t,z),dP×dt-a.s.,?z∈Rd.令

下證gS∈S(g0).

顯然，對任意的z∈Rd,(gS(t,z))t∈[0,T]是Ft-循序可測的過程，且

-K|z|≤gS(t,z)≤K|z|,dP×dt-a.s.,?z∈Rd.

(4)

易驗證，

gS(t,0)≡0.

(5)

gS(t,z)≥g0(t,z),dP×dt-a.s.,?z∈Rd.

(6)

gS(t,λz)=λgS(t,z),dP×dt-a.s.,?z∈Rd,λ≥0.

(7)

接下來，我們證明dP×dt-a.s.,對任意的z1,z2∈Rd有

gS(t,z1+z2)≤gS(t,z1)+gS(t,z2).

(8)

事實上，對任意的g1,g2∈S,若dP×dt-a.s.,對任意的z∈Rd,有g(shù)1(t,z)≤g2(t,z),則

gS(t,z1+z2)≤g1(t,z1+z2)≤g1(t,z1)+g1(t,z2)≤g1(t,z1)+g2(t,z2).

類似地，若dP×dt-a.s.,對任意的z∈Rd,有g(shù)1(t,z)≥g2(t,z),則

gS(t,z1+z2)≤g2(t,z1+z2)≤g2(t,z1)+g2(t,z2)≤g1(t,z1)+g2(t,z2).

由g1,g2的任意性，可得

gS(t,z1+z2)≤gS(t,z1)+gS(t,z2),dP×dt-a.s.,?z1,z2∈Rd.

組合(5)～(8)知，欲證gS∈S(g0),只需驗證gS滿足Lipschitz條件即可.事實上，由(4)及(8)，可得

gS(t,z1)-gS(t,z2)≤gS(t,z1-z2)≤K|z1-z2|,dP×dt-a.s.,?z1,z2∈Rd.

類似地，我們有

gS(t,z2)-gS(t,z1)≤gS(t,z2-z1)≤K|z2-z1|=K|z1-z2|,dP×dt-a.s.,?z1,z2∈Rd.

故gS滿足Lipschitz條件，進(jìn)而有g(shù)S∈S(g0).由Zorn引理知，S(g0)至少存在一個極小元.

故

若存在S(εg0)中的次線性g-期望εg,使得

則由引理2知，生成元g是獨立于y,關(guān)于z次線性，且自然滿足條件(A3).結(jié)合逆比較定理知,

g(t,z)≥g0(t,z),dP×dt-a.s.,?z∈Rd.

故

g∈S(g0).

故

由定理1及定理2，立即可得如下推論:

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(編輯HWJ)

Some Results on the Representation of Convexg-Expectations

JIRong-lin,JIANGLong*,SHIXue-jun

(School of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

AbstractUnder the basic assumptions on generators that for any convex g-expectation dominated by some sublinear g-expectation, there exists a set of probability measures controlled by the sublinear g-expectation, a new representation of these convex g-expectations has been obtained in this work. Furthermore, for any given convex g-expectation, we show the existence of the minimal sublinear g-expectations dominating the convex g-expectation from above.

Key wordsbackward stochastic differential equation; convex g-expectation; representation; minimal member

中圖分類號O211.63

文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

文章編號1000-2537(2016)02-0072-05

*通訊作者,E-mail：jianglong365@hotmail.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11371362);2014年江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目(KYZZ_0373)

收稿日期：2015-07-22

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.02.012