分數(shù)階微分方程邊值問題的Picard’s迭代方法

孫宇鋒，曾廣釗

(韶關學院數(shù)學與統(tǒng)計學院, 中國 韶關　512005)

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分數(shù)階微分方程邊值問題的Picard’s迭代方法

孫宇鋒*，曾廣釗

(韶關學院數(shù)學與統(tǒng)計學院, 中國 韶關512005)

摘要從分數(shù)階微分方程邊值問題的近似解出發(fā)，應用Picard’s迭代方法證明了其存在唯一解；研究了非線性函數(shù)f(t;x(t),x′(t))由一個函數(shù)序列{fm(t;x(t),x′(t))}近似代替時，邊值問題解的Picard’s迭代序列滿足的形式及其存在唯一解的充要條件；討論了這類邊值問題不考慮近似解以及非線性函數(shù)Lipschitz類的因素時，其解的一般性存在條件；最后通過兩個數(shù)值算例驗證了這類邊值問題解的存在性以及解與其迭代序列的誤差估計.

關鍵詞分數(shù)階微分方程；迭代方法；近似解；誤差估計

本文在文獻[1～7]的基礎上，討論基于Caputo’s分數(shù)導數(shù)的一類分數(shù)階微分方程的邊值問題, 并通過其近似解的Picard’s迭代序列，得到相應的解的存在性和唯一性定理.

考慮如下分數(shù)階微分方程的邊值問題

(1)

1預備知識

這一節(jié)給出Caputo’s分數(shù)導數(shù)和Riemann-Liouville分數(shù)積分的定義(見文獻[8])以及幾個概念和引理.

定義1設 h(t)∈C1([0,1],R+)，則下面積分

稱為h(t)的Riemann-Liouville分數(shù)積分, 這里Γ(α)是Γ-函數(shù)，α∈R+.

定義2設h(t)∈C1([0,1],R+)，則h(t)的α階Caputo’s分數(shù)導數(shù)由下式定義：

這里n=[α]+1，α∈R+.

定義3一個函數(shù)x(t)稱為(1)的解. 如果 ①x(t)∈C1([0,1],R+)， ②x(t)滿足(1)的條件，③ 方程 (1) 對于t∈[0,1] 成立.

引理1[4]若x(t)∈Rα，則x(t) 是(1)的解的充要條件是

引理2[4]對于格林(Green’s)函數(shù)G(t,s)，下列不等式成立

定義4一個函數(shù)z(t) 稱為邊值問題(1)的近似解, 如果存在ε>0使得

并且，下面條件成立z(0)+z′(0)=0,z(1)+z′(1)=0.

由引理1可知, 近似解z(t)可以被表示成

(2)

容易驗證，對于x(t)∈Rα, 如下定義范數(shù)‖x‖，則Rα是 Banach空間.

引理3[9]令B是一個Banach空間，S(x0,r)={x∈B:‖x-x0‖0. 令T將S(x0,r) 映射到B, 并且

① 對于所有的x,y∈S(x0,r),‖Tx-Ty‖≤ρ‖x-y‖，這里 0<ρ<1，

②r0=(1-ρ)-1‖Tx0-x0‖≤r.則有：

(1)T在S(x0,r)里有唯一不動點x*.

(2) 序列{xm}：其中xm+1=Txm,m=0,1,2,… 收斂到x*，而‖x*-xm‖≤ρmr0.

2主要結果

定理1假設邊值問題(1)存在一個近似解z(t)，并且

(H3) ε(1-θ)-1C2,0≤N.

則有結論：

① 在S(z,N)={x(t)∈Rα:‖x-z‖0}中存在邊值問題(1)的唯一解x*(t).

② 序列{xm(t)}收斂到x*(t).這里{xm(t)}稱為近似解z(t)的Picard’s迭代序列，滿足

(3)

x0(t)=z(t)，且有如下誤差估計：‖x*-xm‖≤θmN0,N0=(1-θ)-1‖x1-x0‖.

(4)

G(t,s)是邊值問題(1)的格林(Green’s)函數(shù)，有xm+1(t)=Txm(t),m=0,1,2,….則 T:Rα→Rα是全連續(xù)映射(見文獻[4]).

z(t)∈S(z,N)，由Rα上的范數(shù)定義, 知(z(t),z′(t))∈D.

如果 x(t),y(t)∈S(z,N) 應用引理1和引理2, 有：

更進一步, 有:

即‖Tx-Ty‖≤θ‖x-y‖.

在勞拉看來，相比于保時捷911 GT2 RS偏軟的底盤，她更喜歡邁凱倫的硬朗，雖然這并不會影響圈速的排名。對于經驗尚淺的駕駛者來說，駕駛邁凱倫跑出的圈速通常優(yōu)于保時捷，但對于職業(yè)車手來說則恰恰相反。換言之，保時捷911 GT2 RS擁有更高的極限，但前提是駕駛者對其特性的了然于心。

再次應用引理1 和引理2,得到|(Tz)(k)(t)-z(k)(t)|≤εC2,k,0≤k≤1，

即 ‖Tz-z‖≤εC2,0，由條件(H3), 有 (1-θ)-1‖Tz-z‖≤N.

這樣，滿足引理3 的條件.因此，定理1 中的結論①～② 成立.

定理1通過求解近似解的Picard’s迭代序列(3)得到了邊值問題(1)的唯一解.然而，在實際應用中，函數(shù)f(t;x(t),x′(t))可以由一個函數(shù)序列{fm(t;x(t),x′(t))}近似得到.此時的Picard’s迭代序列{ym(t)}滿足如下形式：

(5)

y0(t)=z(t).

(H4) 對于fm(t;x(t),x′(t))，如果 ?y(t)∈S(z,N)，存在Δ≥0，使得下面不等式成立：

則稱函數(shù)序列{fm(t;x(t),x′(t))}絕對近似到f(t;x(t),x′(t)).因此，有如下結論.

定理2假設邊值問題(1)存在一個近似解z(t)，并且

(H5) 滿足定理1 中的條件(H1)～(H2)，以及(H4)，

(H6) N1=(ε+Δ)(1-θ)-1C2,0≤N.

則有結論：

Ⅰ. 定理1中的結論①～② 成立.

Ⅱ. 由(5)得到的Picard’s序列{ym(t)}?S(z,N1)={y(t)∈Rα:‖y-z‖0}.

Ⅲ. 序列{ym(t)}收斂到邊值問題(1)的唯一解x*(t)，當且僅當

此外

‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1(θ‖ym+1-ym‖+ΔC2,0).

(6)

證Δ≥0，則ε(1-θ)-1C2,0≤N1≤N，所以，結論Ⅰ成立.

為了證明結論Ⅱ，注意到，z(t)∈S(z,N1)，如果y(t)∈S(z,N1)，只須證明Ty(t)∈S(z,N1)即可.此處算子T如下定義：

(7)

為此，從(2)和(7)式，有：

即

即， ‖Ty-z‖≤(1-θ)N1+θ‖y-z‖≤(1-θ)N1+θN1=N1，所以，Ty(t)∈S(z,N1).

由式(5)和(7)知，結論Ⅱ成立.

下面證明結論Ⅲ.由xm+1(t)和ym+1(t)的定義知：

類似于定理1的證明，有：

(8)

現(xiàn)在對xm(t)-ym(t)進行相似的討論，反復應用式(8)，并且注意x0(t)=y0(t)=z(t)得

(9)

對式(9)應用三角不等式，得到：

最后，證明式(6).為此，注意到：

與以前的證明類似，有：

‖x*-ym+1‖≤θ‖x*-ym‖+ΔC2.0≤θ‖x*-ym+1‖+θ‖ym+1-ym‖+ΔC2.0.

因此， ‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1{θ‖ym+1-ym‖+ΔC2.0}.

(H7) 對于fm(t;x(t),x′(t))，如果 ?y(t)∈S(z,N)，存在 0≤ω≤1，使得下面不等式成立：

定理3假設邊值問題(1)存在一個近似解z(t)，并且

(H8) 滿足定理1 中的條件(H1)，以及(H7)，

(H9) ?=(1+ω)θ<1，

(H10)N2={ε+ω(1-ω)-1Ω}(1-?)-1C2,0≤N.

則有結論：

(Ⅰ) 定理1中的結論①～② 成立.

(Ⅱ) 由式(5)得到的Picard’s序列{ym(t)}?S(z,N2)={y(t)∈Rα:‖y-z‖0}.

(Ⅲ) 序列{ym(t)}收斂到邊值問題(1)的唯一解x*(t)，當且僅當

此外

(10)

證類似于定理2的證明，此處省略.

注記如果{fm(t;x(t),x′(t))}是Lipschitz類序列且一致收斂于{f(t;x(t),x′(t))}，則定理2，定理3中的結論顯然成立.并且式(6)由下式替代：

‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1(θm‖y1-y0‖+ΔC2,0),

式(10)由下式替代：

‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1{θm‖y1-y0‖+ω(1-ω)-1C2,0Ω}.

如果不考慮近似解以及Lipschitz類的因素，可以得到邊值問題(1)解的一般存在性結果.

(H11)f(t;x(t),x′(t))是[0,1]上的連續(xù)函數(shù).

(H12) 存在一個正數(shù)M>0, 使得

則在[0,1]上，邊值問題(1)至少存在一個解.

證應用Schauder’s不動點定理來證明由式(4)定義的算子T在[0,1]上有一個不動點.

首先,設{xn}是一個序列,并且在C1([0,1],R+)上xn→x.則?t∈[0,1]有：

因為f是連續(xù)函數(shù)并且由引理2，有：

即 ‖T(xn)-T(x)‖→0,當n→∞時.因此，T是一個連續(xù)算子.

其次，任給η*>0，令Bη*={x∈C1([0,1],R+):‖x‖≤η*}，易知Bη*是有界凸閉集.?x∈Bη*， 證明存在一個正數(shù)l使得‖T(x)‖≤l.

事實上，?t∈[0,1]，由引理2，(4)式和條件(H12) 有：

下面證明,T是C1([0,1],R+)上全連續(xù)算子.

令t1,t2∈[0,1],t1

則當t1→t2時，上面不等式的右邊趨于零.由Arzela’-Ascoli定理得知T是全連續(xù)的算子.

因此算子T在[0,1]上滿足Schauder’s不動點定理，即邊值問題(1)至少存在一個解.

在定理4中，如果將條件(H12)減弱的話，還可以得到更一般的存在性結果(見文獻[1]).

(H13) 存在一個泛函φf∈L1([0,1],R+)和一個連續(xù)非減函數(shù)φ:[0,∞)→(0,∞)，使得

(H14) 存在一個正數(shù)K>0,使得

則在[0,1]上，邊值問題(1)至少存在一個解.

證對于由(4)式定義的算子T，考慮?λ∈[0,1],0≤t≤1，令x(t)滿足：x(t)=λ(Tx)(t)，則由式(H13)和式(H14)，有：

φ(‖x‖)[Iαφf(t)+(1-t)(Iαφf(1)+Iα-1φf(1))]≤

φ(‖x‖)(‖Iαφf‖L1+Iαφf(1)+Iα-1φf(1)).

3數(shù)值例子

例1考慮如下邊值問題

(11)

則f(t;x(t),x′(t))是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，并且|f(t;x(t),x′(t))|≤2，由定理4知邊值問題(11)在[0,1]上至少存在一個解.

例2考慮如下邊值問題

(12)

Picard’s迭代序列前10項數(shù)值解x1(t),x2(t),x3(t),…,x10(t)和唯一解x*(t)如下表所示.

表1　數(shù)值解和唯一解

致謝感謝安徽大學鄭祖庥教授、中科院俞元洪研究員的教誨和指導!

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(編輯HWJ)

Picard’s Iterative Method for the Boundary Value Problem of a Class of the Fractional Order Differential Equation

SUNYu-feng*,ZENGGuang-zhao

(College of Mathematics and Statistics, Shaoguan University, Shaoguan 512005, China)

AbstractIn this article the existence and uniqueness of the solution for the boundary value problem of a class of fractional differential equations is proved by the Picard’s iterative method starting form the approximate solution of boundary value problems of these equations. We also proved the existence and uniqueners of the solution and provided the sufficient conditions for the boundary value problem by the Picard’s iterative methods when the nonlinear function f(t;x(t),x′(t)) is approximated instead of by a sequence of functions {fm(t;x(t),x′(t))}. The general condition for the existence of its solution is discussed without considering factors like the approximate solution of such boundary value problems and nonlinear function Lipschitz-class. Finally， the existence of the solution of such boundary value problems and the estimation of error between the accurate solution and the solution of iterative sequence are verified by two numerical examples.

Key wordsfractional differential equations; iterative method; approximate solution; estimation of error

中圖分類號O175.8，O241.81

文獻標識碼A

文章編號1000-2537(2016)02-0082-08

*通訊作者,E-mail：surry2001@sina.com

基金項目：廣東省自然科學基金資助項目(S2012010010069)；中山大學廣東省計算科學重點實驗室開放基金資助項目(201206015)；韶關市科技計劃基金資助項目(2011CX/K20)

收稿日期：2015-07-02

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.02.014