雙對(duì)稱(chēng)圖像函數(shù)的周期及其應(yīng)用

廣西岑溪市城東三巷63號(hào)　(543200)　蘇進(jìn)文

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雙對(duì)稱(chēng)圖像函數(shù)的周期及其應(yīng)用

廣西岑溪市城東三巷63號(hào)(543200)蘇進(jìn)文

雙對(duì)稱(chēng)圖像是指函數(shù)的圖像既是軸對(duì)稱(chēng)圖形同時(shí)又是中心對(duì)稱(chēng)圖形或圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸或圖像有個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的函數(shù)圖像. 本文給出這類(lèi)函數(shù)的圖像對(duì)稱(chēng)與周期之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用.

事實(shí)上，容易證明下面兩個(gè)結(jié)論：

引理1函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)?f(a+x)=f(a-x)?f(a+x)是偶函數(shù).

引理2函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)?f(a+x)=-f(a-x)?f(a+x)是奇函數(shù).

定理1若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=4(a-b)是它的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱(chēng)，由引理1及引理2知，f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=-f(b-x).所以f[x+4(a-b)]=f[a+(3a-4b+x)]=f[a-(3a-4b+x)]=f(4b-2a-x)=f[b+(3b-2a-x)]=

-f[b-(3b-2a-x)]=-f(2a-2b+x).=-f[a+(a-2b+x)]=-f[a-(a-2b+x)]=-f(2b-x)=-f[b+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函數(shù)，且T=4(a-b)是它的一個(gè)周期.

定理2若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2(a-b)是它的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對(duì)稱(chēng)，由引理1知，f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x).所以f[x+2(a-b)]=f[a+(a-2b+x)]=f[a-(a-2b+x)]=f(2b-x)=f[b+(b-x)]=[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函數(shù)，且T=2(a-b)是它的一個(gè)周期.

定理3若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2(a-b)是它的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱(chēng)，由引理2知，f(a+x)=

-f(a-x)，f(b+x)=-f(b-x).所以f[x+2(a-b)]=f[a+(a-2b+x)]=-f[a-(a-2b+x)]=-f(2b-x)=-f[b+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函數(shù)，且T=2(a-b)是它的一個(gè)周期.

下面例舉上述定理的應(yīng)用.

例1偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+1)是奇函數(shù)，若f(1)=-2，則f(7)=().

A．-2 B．-1 C．1 D．2

解:由題意知，函數(shù)y=f(x)的圖像有一條對(duì)稱(chēng)軸x=0和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(1,0)，由定理1知，4是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期. 所以f(7)=f(-1+4×2)=f(-1)=f(1)=-2，故選A.

例2定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x)=f(-x)，f(1+x)=f(1-x)，當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=x3-cosπx，則f(2015)的值為().

A.-1B. 0C. 1D. 2

解:依題設(shè)條件，函數(shù)y=f(x)的圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸x=0和x=1. 由定理2知，2是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期. 則f(2015)=f(1+2×1007)=f(1)=1-cosπ=2，故選D.

例3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2x+1)是偶函數(shù)，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)=.

例4函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則().

A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)=f(x+2)D．f(x+3)是奇函數(shù)

解:由f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，由引理2知，函數(shù)y=f(x)的圖像有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(1,0)和(-1,0)；由定理3知，4是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期. 故f(x+3)=f(x-1+4)=f(x-1)是奇函數(shù)，選D.

例5奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+2)為偶函數(shù)，且f(1)=1，則f(8)+f(9)=.

解:由題意知，函數(shù)y=f(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(0,0)和一條對(duì)稱(chēng)軸x=2，且f(0)=0，由定理1知，8是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期. 又f(1)=1，所以f(8)+f(9)=f(0+8)+f(1+8×1)=f(0)+f(1)=1.