2016年IMO不等式題的巧思妙證

南昌大學(xué)附屬中學(xué)　(330047)　周　輝

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2016年IMO不等式題的巧思妙證

南昌大學(xué)附屬中學(xué)(330047)周輝

本文中，筆者對新近出爐的一些國際數(shù)學(xué)奧林匹克中的不等式題潛心研究，精心證明,悉心撰寫 , 以饗讀者.

例1(2016年摩爾多瓦數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c是滿足a2+b2+c2+ab+bc+ca=6的正數(shù)，求a+b+c的最大值.

例3(2016年土耳其數(shù)學(xué)奧林匹克)已知x,y,z是正數(shù)，求證： x4y+y4z+z4x+xyz(x3+y3+z3)≥(x+y+z)(3xyz-1).

證明：由x3+2y3≥3xy2,y3+2z3≥3yz2,z3+2x3≥3zx2，得x3+y3+z3≥xy2+yz2+zx2，x4y+y4z+z4x+xyz(x3+y3+z3)≥x4y+y4z+z4x+xyz(xy2+yz2+zx2)=x(x3y+y2z3+1)+y(y3z+z2x3+1)+z(z3x+x2y3+1)-(x+y+z)≥3x2yz+3y2zx+3z2xy-(x+y+z)=(x+y+z)(3xyz-1).

例6 (2016年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克)已知x,y,z≥0，(x+y-1)2+(y+z-1)2+(z+x-1)2=27，求x4+y4+z4的最大值和最小值.