新課標(biāo)全國卷立體幾何考題分析及2016備考建議

安徽省蕪湖市沈巷中學(xué)　　胡　浩　　(郵編：201801)安徽師范大學(xué)附中　　　　馬　林　　(郵編：241000)

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新課標(biāo)全國卷立體幾何考題分析及2016備考建議

安徽省蕪湖市沈巷中學(xué)胡浩(郵編：201801)安徽師范大學(xué)附中馬林(郵編：241000)

摘要從2016年開始，安徽等省份將采用全國卷進(jìn)行高考.全國高考卷與分省高考卷有什么異同？如何適應(yīng)全國卷高考？如何開展2016年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)？本文從立體幾何模塊展開具體論述，并提出2016年立體幾何的備考建議.

關(guān)鍵詞全國卷；立體幾何；試題分析；備考建議

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí).課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)教材螺旋式地安排了兩部分內(nèi)容：《數(shù)學(xué)2》(必修)；《數(shù)學(xué)》(選修2-1).“空間幾何體”、“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”、“空間直角坐標(biāo)系”和“空間向量與立體幾何”作為高考必考內(nèi)容，在歷年的試卷中已成保留“節(jié)目”.筆者以2013-2015年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷(理科)為例，分析立體幾何試題的命題特點(diǎn)與規(guī)律，并提出幾點(diǎn)備考對(duì)策，供各位同仁高三復(fù)習(xí)參考.

1新課標(biāo)全國卷立體幾何試題歸納

縱觀2013—2015年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷，從年份、卷號(hào)、題號(hào)、分值、問題的載體、考查的知識(shí)點(diǎn)與方法等幾個(gè)方面，制成下面的表格，從中可以透視近三年立體幾何的命題視角和考查方向.

年份卷號(hào)題號(hào)分值問題的載體知識(shí)點(diǎn)與方法2013I卷6、8、1822球、組合體的三視圖、三棱柱球、組合體的體積計(jì)算,兩平面垂直的性質(zhì),線面角的找法及計(jì)算.考查計(jì)算能力、空間想象能力和推理論證能力.II卷4、7、1822線與面的位置關(guān)系、三視圖、三棱柱線面的位置關(guān)系,三視圖,線面平行的判定,二面角的求解.考查推理論證能力、空間想象能力、轉(zhuǎn)化的思想方法.2014I卷12、1917三棱錐的三視圖、三棱柱三視圖還原成幾何體,線面垂直的判定與性質(zhì),二面角的求解,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.考查空間想象能力、推理論證和計(jì)算能力.II卷6、11、1822組合體的三視圖、直三棱柱、側(cè)棱與底垂直的四棱錐幾何體的體積公式,求異面直線所成角,線面平行的判定,二面角的向量求法.考查運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)處理能力和推理論證能力.2015I卷6、11、1822組合體的三視圖、圓錐、組合體圓錐的體積,圓柱和球的表面積,兩平面垂直的判定,兩條異面直線所成角.考查還原幾何體、運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化的思想方法.II卷6、9、1922組合體的三視圖、球、長方體計(jì)算幾何體體積,線面間的位置關(guān)系,直線與平面所成角.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化的思想方法.

2新課標(biāo)全國卷立體幾何試題分析

從2013—2015年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷匯總表可以看出，立體幾何注重能力考查，題型題序相對(duì)穩(wěn)定.一般命制兩個(gè)選擇題，一個(gè)解答題，合計(jì)22分.選擇題一易一難，難易相間；解答題一般在18或19題的位置，屬容易題或中檔題，難度不大.下面從命題立意、考查重點(diǎn)等技術(shù)層面分析近三年立體幾何高考題.

2.1創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用

高考中考查應(yīng)用題已成為常態(tài).創(chuàng)設(shè)一個(gè)實(shí)際情境，考查學(xué)生閱讀審題和數(shù)學(xué)建模的能力，呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)來源于實(shí)際”的課程理念.這類題題號(hào)靠前，承載的幾何體較簡單，難度適中偏易，學(xué)生容易得分.

例1(2013年I卷題6)有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()

例2(2015年I卷題6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺 ，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

試題分析立體幾何應(yīng)用問題近三年均在第6題中考查不是偶然的巧合，反映出命題者的立意：考查數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，但又不想增加試題的難度，保持該型題難度的相對(duì)穩(wěn)定中等略偏下，要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.另外，2015年I卷考題6(例1)滲透了數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史，這是全國高考數(shù)學(xué)命題的新動(dòng)向，值得我們關(guān)注！

2.2堅(jiān)持通性通法，考查主干知識(shí)

所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法.全國高考數(shù)學(xué)命題的基本原則是淡化特殊技巧，注重通性通法，強(qiáng)調(diào)對(duì)具有普遍意義的方法和相關(guān)知識(shí)的考查.通性通法不僅能全面透視出立體幾何的本質(zhì)與內(nèi)涵，而且對(duì)全國考生來講背景也是公平的.立體幾何中的核心概念、主干知識(shí)、常規(guī)思想方法是?？疾⒘η髣?chuàng)新.

例3(2014年II卷題11)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°,M、N分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()

例4(2014年II卷題18)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).

(1)證明：PB∥平面AEC；

例5(2015年I卷題18)如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°,E、F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

試題分析用幾何法或向量法求空間角：異面直線所成角、線面角、二面角，證明線面平行或垂直、面面平行或垂直，求幾何體的體積等都是全國高考立體幾何的“?？汀保}者的意圖在于用主干知識(shí)挑大梁，但在知識(shí)點(diǎn)的分布上力求均衡即：線面平行或垂直只考其一，空間角只考其一，且都是“一拖二”型，一題證明推理，一題計(jì)算求空間角或體積.

2.3揭示邏輯關(guān)系，考查推理能力

數(shù)學(xué)能力的核心是邏輯思維能力，突出考查的是理性思維，而思想的過程是靠邏輯推理來完成的，因而推理論證能力是高考考查的著力點(diǎn).說一個(gè)命題為假，只需要舉出一個(gè)反例；判斷一個(gè)命題為真命題，必須給出證明過程，這是進(jìn)行邏輯推理的基本范式.在推理過程中，要求理由充分、層次清楚、書寫規(guī)范.清晰而規(guī)范的解題思路來自對(duì)立體幾何相關(guān)定義、定理、公理的準(zhǔn)確理解和靈活應(yīng)用.

例6(2013年II卷題4)已知m、n為異面直線，m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()

A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β

C.α與β相交，且交線垂直于l

D.α與β相交，且交線平行于l

例7(2013年I卷題18)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600.

(1)證明AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

例8(2015年II卷題19)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E、F分別在A1B1、D1C1上，A1E=D1F=4.過點(diǎn)E、F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；

(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.

試題分析全國高考對(duì)推理能力的考查是客觀題和主觀題雙管齊下，考查的對(duì)象是立體幾何中的主干知識(shí)——空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.必須要指出的是2015年II卷題19，要求畫出兩個(gè)相交平面的交線，此類題在消失多年后又“卷土重來”，絕非只是命題者的一時(shí)興起，它與人民教育出版社章建躍博士“作圖是立體幾何學(xué)習(xí)的第一大事”的理念遙相呼應(yīng)，這個(gè)變化也值得關(guān)注！

2.4重視動(dòng)態(tài)問題，考查探究能力

運(yùn)動(dòng)、變化是幾何的重要特征之一，在運(yùn)動(dòng)、變化中探究幾何性質(zhì)，在變化中尋求規(guī)律，在變中探究不變，在動(dòng)中探索不動(dòng)，是對(duì)學(xué)生高層次思維能力的考查.這類問題常在解答題中出現(xiàn)，但也有年份在客觀題中出現(xiàn).

例9(2015年II卷題6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()

例10(2015年II卷題9)已知A、B為球O的球面上的兩點(diǎn)，∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()

A.36πB.64πC.144πD.256π

試題分析解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)問題”，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生探究圖形運(yùn)動(dòng)過程中的“不變量”，抓住它，問題就能得到解決.在例10中，動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的不變量是點(diǎn)C到球心O的距離即球半徑，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC體積最大，據(jù)此得到球半徑的大小，問題獲得解決.讓學(xué)生的思維在關(guān)鍵處閃光，能力在要害處增長，弱點(diǎn)在隱蔽處暴露，意志在細(xì)微處磨礪，這是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的根本任務(wù).

通過以上的分析，我們可以得出：全國高考數(shù)學(xué)卷立體幾何考查的立意、方向、重點(diǎn)等與安徽卷大體相同，但題號(hào)、題型較安徽卷更加穩(wěn)定，題數(shù)比安徽卷多一小題，解答題的形式都是“一拖二”，分值增加到22分.更加注重能力的考查，更加關(guān)注動(dòng)態(tài)背景下點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的考查.數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史，幾何畫圖水平進(jìn)入考查的視野等都是全國高考數(shù)學(xué)卷立體幾何命題的新形式、新變化，必須引起我們的高度關(guān)注.

32016年高考立體幾何備考建議

從2016年開始，安徽省將用教育部考試中心命制的全國卷進(jìn)行高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試，所以剖析近三年全國高考立體幾何試題，有利于日常教學(xué)，更有利于復(fù)習(xí)備考.

3.1回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，抓綱務(wù)本求真

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)強(qiáng)調(diào)回歸課本是基于以下事實(shí)：

1.高考命題的原則：依據(jù)考綱，源于教材，高于教材.高考命題的依據(jù)是《考試大綱》，而《考試大綱》編寫的依據(jù)是《課程標(biāo)準(zhǔn)》，教材又是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的具體化和形象化.高考命題堅(jiān)持穩(wěn)定，而又注重在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上創(chuàng)新.那么，靠什么來維持穩(wěn)定呢？不是應(yīng)考熱點(diǎn)，也不是參考資料，而是課本！只有課本才是相對(duì)穩(wěn)定的，這種回歸課本的導(dǎo)向，不僅有利于命題的穩(wěn)定，而且有利于教學(xué)秩序的穩(wěn)定，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中事實(shí)上存在的資料泛濫、濫用資料現(xiàn)象也是有力的矯正.

2.安徽省特級(jí)教師、合肥市教研室王道宇老師在合肥市2016年高考研究報(bào)告《明確策略求實(shí)效，剛?cè)岵?jì)求發(fā)展》中指出：“全國高考數(shù)學(xué)試卷相當(dāng)數(shù)量的試題都源于課本的例、習(xí)題，或稍加改造，或做拼合，或稍做提高，使常規(guī)題型、常見思路、常用方法在試卷中占了主體地位.突出了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的考查.”又強(qiáng)調(diào)指出 “高考試題多數(shù)是課本習(xí)題的變式、改編，難度與課本試題的難度相當(dāng)，也有的試題高于課本的難度，思維量高于課本試題的思維量.”

3.筆者通過對(duì)2015年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷(理科)的研究，得出取材于課本的考題有：1、2、3、4、7、8、9、14、17 、18等.

對(duì)回歸教材的幾點(diǎn)建議：(1)引導(dǎo)落實(shí).教師思想重視，在例題講解時(shí)適當(dāng)引入課本例題或習(xí)題，或引導(dǎo)學(xué)生看課本；復(fù)習(xí)訓(xùn)練中得到的一些規(guī)律性的東西，要注意從課本中尋求這些經(jīng)驗(yàn)、方法和規(guī)律的依據(jù).(2)上課落實(shí).改變知識(shí)串講方法，以知識(shí)+問題形式，使知識(shí)問題化，教師引領(lǐng)，學(xué)生參與解決；解題教學(xué)中解題方式的表達(dá)，應(yīng)以課本為標(biāo)準(zhǔn).很多復(fù)習(xí)資料中關(guān)鍵步驟的省略、符號(hào)的濫用、語言的隨意性和圖解法的泛化等，都是不可取的，應(yīng)通過課本來規(guī)范.(3)訓(xùn)練落實(shí).在作業(yè)或單元測(cè)試中，設(shè)計(jì)部分課本例題或習(xí)題的變形或引申.如果遇到障礙，盡可能把問題回歸為課本中的例題和習(xí)題，應(yīng)有查閱課本的習(xí)慣，通過課本查明我們?cè)谥R(shí)上的缺陷.重視教材的二次開發(fā)，主要是對(duì)課本例題引申、拓展、舉一反三，重在遷移，探討如何使課本習(xí)題發(fā)出新枝.關(guān)注課本中可探究型素材，實(shí)現(xiàn)課本與高考的無縫對(duì)接.

3.2講清道理，展現(xiàn)思維，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

筆者認(rèn)為：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與考試水平，必須回歸基礎(chǔ)知識(shí)與方法的本源，要把眼睛緊緊盯在問題背后隱性的道理上.無論是概念、定理的教學(xué)，還是解題教學(xué)和解題訓(xùn)練，都必須緊緊圍繞基礎(chǔ)、道理去展開，使得基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法真正成為學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的“加油站”.因此，在“三基”的復(fù)習(xí)中，既要回憶知識(shí)的發(fā)生過程，又要關(guān)注問題的抽象特征，使得學(xué)過的知識(shí)容易被激活，能夠被遷移.在數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的合理組織、運(yùn)用與基本思想方法的不斷深化來展開，而不僅僅只是題目類型、解題技巧的訓(xùn)練與歸納.我們要清醒地認(rèn)識(shí)到，盲目的解題訓(xùn)練非但無益，甚至有害，“一類題目一種解法”的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成“填鴨式”的解題習(xí)慣，造成他們的認(rèn)知惰性，即只是從形式上去思考問題，而不從本質(zhì)上去探究.例如，“線面平行”本質(zhì)的把握是線面平行復(fù)習(xí)的關(guān)鍵.所謂“線面平行”是指一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，如何刻畫這一特征？可以從線面關(guān)系或面面關(guān)系兩個(gè)方面來進(jìn)行，進(jìn)而得出判斷線面平行的兩種基本方法：線線平行?線面平行?面面平行.抓住了“線面平行”的本質(zhì)，線面平行就不需要用大量的重復(fù)練習(xí)來定型，復(fù)習(xí)就可以全面突破，既提高了考點(diǎn)的復(fù)習(xí)效率，又切實(shí)減輕了學(xué)生的復(fù)習(xí)負(fù)擔(dān).

3.3突出主干，扎實(shí)訓(xùn)練，注重通性通法

全國高考數(shù)學(xué)試卷堅(jiān)持能力立意，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，突出考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力，運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).淡化特殊技巧，注重通解通法，回避繁難偏怪的試題.

重視立體幾何中畫圖能力的訓(xùn)練，作圖是立體幾何學(xué)習(xí)的“第一大事”(章建躍語)；強(qiáng)調(diào)向量法的作用是立體幾何改革的基本方向(章建躍語)，“基本圖形”是立體幾何的樹根和樹干，有“自我生長功能”，因而要重視 “基本圖形”在立體幾何中的復(fù)習(xí)功能.加強(qiáng)兩種基本方法——幾何法和向量法的扎實(shí)訓(xùn)練，常規(guī)題型的分析思路以及解題方法要求學(xué)生要記憶在腦海中，消化在血液里.例如，求二面角的大小就是求其平面角的大小，用幾何法解題關(guān)鍵是找平面角，找角的方法有哪些，必須要通過典型的訓(xùn)練掌握找平面角的常用方法即通法；用向量法解題關(guān)鍵是求出兩個(gè)半平面的法向量，借助法向量的夾角來求其平面角的大小，那么如何求平面的法向量就是該類問題的通性通法，要扎實(shí)訓(xùn)練加以掌握.

教師在引導(dǎo)學(xué)生用通性通法解題的同時(shí)，也要注意特定方法、特殊技巧的運(yùn)用，尤其在選擇與填空類的試題中，避免“小題大作”，要“小題小做”、“小題巧做”.要建立“在客觀題中盡量用特殊法解決，在解答題中以特殊法探路”的意識(shí)，這樣可以快而準(zhǔn)地解決問題.當(dāng)然，在教學(xué)中我們必須以通性通法為基本原則，否則就又進(jìn)入另一個(gè)認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)了.

我們覺得2016年立體幾何的復(fù)習(xí)備考，在突出主干、扎實(shí)訓(xùn)練的同時(shí)，還要注意另外兩種題型的訓(xùn)練，(1)平面圖形的翻折問題：例如數(shù)學(xué)課本必修②第79頁B組題1，選修2-1第118頁題12；(2)旋轉(zhuǎn)體中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系：例如2013年安徽卷對(duì)旋轉(zhuǎn)體的考查，我們的印象是深刻的，很值得玩味，這兩種題型在訓(xùn)練時(shí)，要督促學(xué)生掌握解決問題的常用方法，不玩特法特技.

4結(jié)束語

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一個(gè)首要問題，就是要能夠?qū)Ω呖紡?fù)習(xí)的課程資源做出正確的判斷、恰當(dāng)?shù)娜∩岷秃侠淼倪\(yùn)用，要知識(shí)與能力并重，思想和方法同行.這樣的高考復(fù)習(xí)課堂才會(huì)煥發(fā)出生命的活力，才能保證復(fù)習(xí)效率的最大化，才能用高考復(fù)習(xí)的“不變”應(yīng)對(duì)全國高考試卷的“萬變”.正如安徽省教育廳程藝廳長指出的那樣“只要老師教的好，學(xué)生學(xué)得好，不管怎么出題都不怕”.

參考文獻(xiàn)

1章建躍.立體幾何教學(xué)中的幾個(gè)問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015(10)

2黃嚴(yán)生.近五年高考數(shù)學(xué)全國卷的命題特點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(12)

(收稿日期：2016-01-12)