“微元法”在含電容器電路中的應(yīng)用

李峰 石有山

高中物理中用到的“微元法”是從數(shù)學(xué)微積分中移植過來的方法，它是把研究對象分割成無限多個無限小的部分，或把物理過程分解成無限多個無限短的過程，抽取其中一個微小部分或極短過程加以研究的方法。運(yùn)用“微元法”求解電磁感應(yīng)與含電容器電路的綜合問題時，往往可以將變量轉(zhuǎn)化為常量，將非理想模型轉(zhuǎn)化為理想模型，使復(fù)雜問題變得簡單易解。

例1如圖1所示，水平放置的光滑平行導(dǎo)軌處于垂直于水平面向下（垂直于紙面向里）的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌左端接有電容為c的電容器，金屬棒ab垂直于導(dǎo)軌放置，其質(zhì)量為m，電阻為R（導(dǎo)軌電阻不計，且足夠長）?，F(xiàn)有恒力F作用在金屬棒上，若電容器的耐壓值為U，則：

（1）當(dāng)金屬棒的速度為v時，求電容器所帶的電荷量。

（2）若要求電容器不被燒壞，則金屬棒運(yùn)動的最長時間為多少？

解析：（1）當(dāng)金屬棒的速度為v時，金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv，電容器兩端的電壓U1=E，根據(jù)Q=CUl可得，電容器所帶的電荷量Q—CBLv。

（2）取極短時間△t，則金屬棒的速度變化量為Av，因此電容器所帶電荷量的變化量

點(diǎn)評：本題中金屬棒做單向的勻加速直線運(yùn)動，利用微元法求得金屬棒的加速度是解決問題的關(guān)鍵。

側(cè)2如圖2所示，水平面內(nèi)有兩根足夠長的平行導(dǎo)軌L1、L2，其間距d=O.5m，導(dǎo)軌左端接有電容c=2 000 uF的電容器。質(zhì)量m=20g的導(dǎo)體棒可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻不計。整個空間存在垂直于導(dǎo)軌所在平面向下（垂直于紙面向里）的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T。現(xiàn)用一沿導(dǎo)軌方向向右的恒力F1=O.44 N作用在導(dǎo)體棒上，使導(dǎo)體棒從靜止開始運(yùn)動，經(jīng)時間t后到達(dá)B處，速度變?yōu)関=5m/s。此時，突然將拉力方向變?yōu)檠貙?dǎo)軌方向向左，大小變?yōu)镕2，又經(jīng)時間2￡后導(dǎo)體棒返回到初始位置A處。在整個過程中電容器未被擊穿。求：

點(diǎn)評：外力反向時，導(dǎo)體棒的運(yùn)動狀態(tài)要發(fā)生變化，當(dāng)導(dǎo)體棒沿原方向做減速運(yùn)動時，電容器放電，當(dāng)導(dǎo)體棒沿反方向做加速運(yùn)動時，電容器充電，但電流方向不變，導(dǎo)體棒所受安培力方向不變，因此在外力反向的全過程中導(dǎo)體棒均做勻變速運(yùn)動。

如圖3所示，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面間的夾角為θ，間距為L。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為c。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，金屬棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)為u，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：