例探數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

沈建軍

[摘要]數(shù)形結(jié)合，指的是依據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論二者的內(nèi)在聯(lián)系，不但分析它的代數(shù)含義，同時(shí)也要揭曉它的幾何意義。從而讓數(shù)量之間的關(guān)系和空間的形式二者和諧而巧妙的聯(lián)系起來(lái)，再利用這種結(jié)合方式，去找尋結(jié)題的思路，最后使得問(wèn)題解決，數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：一個(gè)是借助于數(shù)的精確性來(lái)說(shuō)明形的某些屬性，或者憑借形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；函數(shù)；應(yīng)用

高中函數(shù)概念、性質(zhì)的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大障礙，數(shù)形結(jié)合思想就是掃清這一障礙的核心方法之一，本文從以下6個(gè)方面作出相應(yīng)的探究。

一、利用數(shù)形結(jié)合解決抽象函數(shù)中涉及奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性的問(wèn)題

例題 設(shè)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=12對(duì)稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=。

分析 本題由于y=f（x）是抽象函數(shù)，故f（x）的函數(shù)值不好直接求解。若能聯(lián)想到奇函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出右圖數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形來(lái)解決，則簡(jiǎn)潔明了。則可知f（0）=0，又且y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=12對(duì)稱，所以f（1）=0，則奇函數(shù)可得：f（-1）=0，則又由對(duì)稱性知：f（2）=0同理：f（3）=f（4）=f（5）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0抽象函數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合常能使我們找到解決此類問(wèn)題的捷徑。

二、數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)最值、值域問(wèn)題

所謂數(shù)形結(jié)合求解最值，一般是將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過(guò)圖形的屬性及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，把代數(shù)的問(wèn)題等價(jià)性的用幾何的方法來(lái)求解，使之求解更簡(jiǎn)單、快捷。

例題 求函數(shù)f（x）=x2+1+（x-2）2+1的最小值。

分析 通過(guò)觀察已知函數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)這是兩個(gè)點(diǎn)間的距離之和，即可把原函數(shù)化為f（x）=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-1）2，原題即轉(zhuǎn)化成“已知點(diǎn)P（x，0），求它到兩定點(diǎn)A（0，1），B（2，1）的距離之和的最小值”，從而結(jié)合圖形，如圖，即可解決。原函數(shù)化為f（x）=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-1）2如圖：函數(shù)f（x）的最小值即為|AP|+|PB|的最小值。作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱即A′點(diǎn)，即AP+PB=A′P+PB。

易知，當(dāng)A′，P，B共線時(shí)，有最小值A(chǔ)′B=22即f（x）min=22

對(duì)于此題，原函數(shù)是二次根式，要求它的最值若直接用代數(shù)方法做比較麻煩，但在這兒我們根據(jù)解析式把代數(shù)問(wèn)題幾何化，由圖形來(lái)解決此類問(wèn)題，既容易理解，步驟又簡(jiǎn)單。

三、判斷兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)的常見(jiàn)題型，例如：給出函數(shù)，根據(jù)其定義域求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。這種題型之中的函數(shù)一般為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，解方程比較繁瑣甚至不能達(dá)到目的，所以我們常用數(shù)形結(jié)合來(lái)解這類問(wèn)題，把復(fù)合方程轉(zhuǎn)化成基本初等函數(shù)相等的形式，求函數(shù)的公共解、函數(shù)圖像的交點(diǎn)，正確地作出圖像，從而判斷出結(jié)果。

例題 求函數(shù)y=lgx-cosx 在（0，10]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

分析 這是一道典型的求函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的問(wèn)題。它是由兩個(gè)初等函數(shù)組成的復(fù)雜函數(shù)，利用求解方程lgx-cosx=0的根或畫(huà)函數(shù)y=lgx-cosx圖像，觀察它與x軸的交點(diǎn)的方法都不易實(shí)現(xiàn)。但若轉(zhuǎn)化成求解方程lgx=cosx的根、即求函數(shù)y=lgx與y=cosx的圖像的交點(diǎn)，則由復(fù)雜函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的問(wèn)題，求解起來(lái)簡(jiǎn)單易行。

函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的問(wèn)題都可以采用如上做法：用“數(shù)形結(jié)合”的方法，先畫(huà)出函數(shù)的圖像，由圖像可直觀得解。

四、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例題 已知函數(shù)f（x）=x2-2|x|+2（-5≤x≤5），求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并判斷在單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。

分析 有絕對(duì)值的式子一般要先去絕對(duì)值，得到f（x）=x2-2x+2x2+2x+2

這時(shí)要判斷f（x）的單調(diào)性，就需要任意取x1，x2，判斷f（x1）與f（x2）的大小，但這項(xiàng)工作顯然很復(fù)雜，所以要結(jié)合圖形來(lái)判斷，只要畫(huà)出f（x）在（-∞，+∞）上的圖形，便可判斷函數(shù)單調(diào)性。

解 化簡(jiǎn)f（x）=x2-2|x|+2（-5≤x≤5），

得 f（x）=（x-1）2+1，（0≤x≤5）（x+1）2+1，（-5≤x<0）

畫(huà)出函數(shù)圖像為圖； 從圖像可以看出極值點(diǎn)有-1，0，1，所以將圖形分為四部分，即得到了四個(gè)單調(diào)區(qū)間：

f（x）在區(qū)間[-5，-1]上是單調(diào)減函數(shù)，在[-1，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在 [0，1]上是單調(diào)減函數(shù)，在[1，5]上是單調(diào)增函數(shù)。

從這道題可以看出借助圖形解決問(wèn)題要比單純用代數(shù)知識(shí)解題容易、直觀得多。

五、比較兩數(shù)的大小

例題 試判斷0。32，log20。3，20。3三個(gè)數(shù)間的大小順序。

分析這三個(gè)數(shù)我們可以看成三個(gè)函數(shù)： y1=x2，y2=log2x，y3=2x在x=0。3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像，由上至下圖像分別為y3=2x，y1=x2y2=log2x，可以直觀地看出當(dāng)x=0。3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)P，M，N的位置，從而可得出結(jié)論：20。3>0。32>log20。3

六、求曲邊圖形面積

例題 曲線y=x2和曲線y=x圍成一個(gè)葉形圖，其面積是 （ ）。

A。1 B。1[]2 C。2[]2 D。1[]3

分析 兩條曲線圍成的面積用微積分求出，并且是上面的函數(shù)減去下面的函數(shù)的積分。

解 兩條曲線的交點(diǎn)為（1，1），陰影部分的面積為S=∫10（x-x2）dx

=2[]3x3[]2-1[]3x310=1[]3。

對(duì)于曲線所圍成的不規(guī)則的幾何圖形的面積，要用微積分解答，注意積分的上限和下限，有時(shí)要看圖形是否需要切分成多塊部分求出。

我們憑著“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的方式，讓這些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使抽象的問(wèn)題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩個(gè)方面去思考問(wèn)題，從而拓寬了解題思路，這是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。