高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的“度”與“悟”

吳健

摘要：解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生分析、思維、計(jì)算能力的主要途徑。講與練是解題教學(xué)的兩個(gè)有效手段，懂與會(huì)是教學(xué)目標(biāo)的兩個(gè)層次，盡管“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”是人盡皆知的至理名言，但如何把握講與練之“度”？怎樣達(dá)成懂與會(huì)之“悟”？這兩個(gè)問(wèn)題卻著實(shí)難住了不少師生，且看本文作者有何見(jiàn)解。

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；講與練；懂與會(huì)；一題多解；解題反思

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）05-075-2

如果說(shuō)“問(wèn)題”是數(shù)學(xué)的心臟，那么“解題”就是數(shù)學(xué)的靈魂。解題教學(xué)自然是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的內(nèi)容之一。教之道在于度，學(xué)之道在于悟。章建躍先生在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中指出“有效教學(xué)的精髓應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)悟性”，然而在平時(shí)的教學(xué)中，如何把握教之“度”，從而促進(jìn)學(xué)之“悟”已然成為許多老師糾結(jié)的一項(xiàng)課題，本文就這一問(wèn)題談?wù)剛€(gè)人的一絲看法。

一、講與練之“度”

講與練是解題教學(xué)的雙翼。毫無(wú)疑問(wèn)，解題教學(xué)中教師需要做“慢鏡頭”式的示范和講解，學(xué)生則需要在思維的參與下順暢聽(tīng)懂，在及時(shí)的練習(xí)中加以模仿，在不斷的模仿中逐漸理解，在理解的基礎(chǔ)上熟練運(yùn)用，在運(yùn)用的過(guò)程中領(lǐng)悟本質(zhì)。這就是我們常說(shuō)的“精講多練”的內(nèi)涵。至于具體到一堂課，究竟講多長(zhǎng)時(shí)間、練多長(zhǎng)時(shí)間，不好一概而論。一般而言，學(xué)生基礎(chǔ)差、能力弱的，課堂上可能就要多講一點(diǎn)，反之則可以少講一點(diǎn)。同樣的道理，困難的問(wèn)題課堂上要多講一點(diǎn)，容易的問(wèn)題課堂上就少講一點(diǎn)；知識(shí)方法形成階段多講一點(diǎn)，鞏固階段就少講一點(diǎn)。講的最低要求是學(xué)生能夠“聽(tīng)懂”，衡量是否“聽(tīng)懂”的標(biāo)準(zhǔn)是會(huì)不會(huì)“模仿”，這也是“練”的前提條件。

講的關(guān)鍵在于解剖、暴露解法形成的思維過(guò)程，而不只是充當(dāng)一個(gè)“熟練的演繹者”呈現(xiàn)完整的解題過(guò)程。

波利亞在“怎樣解題表”中給出了一個(gè)宏觀解題程序：弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、檢查答案。具體地，我們可以把解題過(guò)程分解為以下的一串問(wèn)題：

①它是一個(gè)什么范疇的問(wèn)題？要解決什么問(wèn)題？即“目標(biāo)”是什么？

②現(xiàn)有哪些材料（條件）？有沒(méi)有“潛在”的、“隱含”的條件？從題目的敘述中獲取“符號(hào)信息”，從題目的圖形中獲取“形象信息”等。

③有哪些工具？條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)系？從已經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)概念、定理、公式、基本模式和解題經(jīng)驗(yàn)中提取。

④還缺少（需要）什么？能否以現(xiàn)有的條件，在工具的助推下滿足這個(gè)需求？

⑤在相關(guān)工具的作用下，從條件到結(jié)論，是否形成了一個(gè)和諧、縝密的邏輯結(jié)構(gòu)？

⑥結(jié)論是否完備、純粹？

上述過(guò)程的順利實(shí)施既需要充分的知識(shí)儲(chǔ)備、基本的經(jīng)驗(yàn)積累，也需要豐富的聯(lián)想、機(jī)智的策略。

例1 已知過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的動(dòng)直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于N，求AM·AN的值。

講解：

Q1：這是一個(gè)什么問(wèn)題？——解析幾何中的“直線和圓”的位置關(guān)系。

Q2：解析幾何的本質(zhì)是什么？——借助坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題。

Q3：“直線和圓”的位置關(guān)系中最關(guān)鍵的量是什么？——圓心到直線的距離。

Q4：本題要解決什么問(wèn)題？——起點(diǎn)相同、方向相反的兩個(gè)向量的數(shù)量積。

Q5：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有哪些辦法？——a·b=|a|·|b|·cos（符號(hào)運(yùn)算）；若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2（坐標(biāo)運(yùn)算）；結(jié)合圖形對(duì)向量a，b做適當(dāng)?shù)摹安鸱帧焙笤傩羞\(yùn)算（圖形運(yùn)算）。

Q6：本題宜選擇哪個(gè)辦法？——注意到在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)已知，只要求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用坐標(biāo)運(yùn)算求AM·AN。

Q7：本題還有哪些條件？M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)是否可求？怎么求？——注意到N點(diǎn)是直線l，m的交點(diǎn)，而直線m的方程已知，只需有直線l的方程，即可通過(guò)解方程組求得N點(diǎn)坐標(biāo)，又直線l過(guò)點(diǎn)A，故可以設(shè)直線l的斜率（關(guān)注斜率不存在的情況）。M點(diǎn)是直線l被橢圓截得的弦的中點(diǎn)，在有直線l方程的條件下，可以通過(guò)解方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

Q8：是否可以順利實(shí)施？——

講解題，追求的是方法形成的過(guò)程順理成章、自然流暢，學(xué)生感同身受、躍躍欲試；而不是顯示老師的功力神奇，總有巧妙的方法橫空出世，讓學(xué)生心悅誠(chéng)服、頂禮膜拜，然后再進(jìn)行牽強(qiáng)附會(huì)的解釋、一招一式的歸類。講解題，就是引導(dǎo)學(xué)生奔著目標(biāo)有序前進(jìn)。

二、懂與會(huì)之“悟”

“上課聽(tīng)起來(lái)全懂，自己做的時(shí)候不會(huì)”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在的現(xiàn)象，困擾著很多學(xué)生和家長(zhǎng)，甚至也困擾著部分教師。這其中可能有老師講的原因，即所謂講的不得法、不到位，但更重要的原因是“懂”和“會(huì)”根本就是學(xué)習(xí)過(guò)程中的兩個(gè)相距遙遠(yuǎn)的階段，一個(gè)是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，一個(gè)是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，其間隔著幾乎全部的學(xué)習(xí)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程就是“悟”。所謂“悟”一定不是老師講了幾道例題之后跟學(xué)生說(shuō)“你們?nèi)ノ虬伞边@么簡(jiǎn)單。“悟”是在聽(tīng)懂的基礎(chǔ)之上，在練習(xí)中模仿、模仿中理解，理解后運(yùn)用、運(yùn)用中反思，這么一系列思維活動(dòng)所產(chǎn)生的結(jié)果。學(xué)生的悟需要有對(duì)象、有素材，這就是老師的講；學(xué)生的悟需要有載體、有行動(dòng)，這就是練習(xí)中的模仿、嘗試、思考；學(xué)生的悟需要有過(guò)程、有空間，這就是練習(xí)中的理解、運(yùn)用、反思。教師講的太少，學(xué)生悟的素材就單薄，悟的結(jié)果就難免片面、膚淺；教師講的太多，學(xué)生悟的空間就被擠壓，難免導(dǎo)致思維固化、流于模仿。

解題反思是悟的核心過(guò)程，是學(xué)生對(duì)知識(shí)方法吸收內(nèi)化的一個(gè)環(huán)節(jié)，是學(xué)習(xí)活動(dòng)的一個(gè)高級(jí)階段。什么時(shí)候反思？反思什么？怎么反思？我想可以從以下幾個(gè)方面指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思。

①對(duì)解題結(jié)果的反思。解題結(jié)果是否回答了題目的設(shè)問(wèn)？解題結(jié)果是否和實(shí)際問(wèn)題相吻合？推導(dǎo)的過(guò)程中是否改變了變量的范圍？邏輯上有沒(méi)有漏洞？討論的范圍是否完備？有沒(méi)有遺漏什么條件、限制？等等。對(duì)解題結(jié)果的反思能使學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)也是解決“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全”這個(gè)老大難問(wèn)題的有效辦法。

②對(duì)解題過(guò)程的反思。題目涉及到的知識(shí)點(diǎn)有哪些？它們是怎么聯(lián)系起來(lái)的？解答的切入點(diǎn)在哪？關(guān)鍵點(diǎn)在哪？警戒點(diǎn)（易錯(cuò)的地方）在哪？還能用什么方法解（一題多解）？有哪些題也是這樣做的（多題一解）；條件可以變變嗎？設(shè)問(wèn)可以改改嗎？我們不必要求學(xué)生對(duì)每一道題都做如此這般的大動(dòng)作，但也絕不能每一道題都做完就丟。

“一題多解”對(duì)于促進(jìn)學(xué)生溝通知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的開(kāi)闊、靈敏、深刻、創(chuàng)新，即提升學(xué)生的思維品質(zhì)，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)于充分發(fā)揮一道題的教學(xué)功能等方面確有其價(jià)值。解題教學(xué)中雖不必刻意追求“一題多解”，但也不能以“問(wèn)題解決”為唯一目標(biāo)，而應(yīng)該讓自然生動(dòng)的各種解法競(jìng)相呈現(xiàn)。在上例中，Q8之后，可以繼續(xù)：

Q9：上述解答中，求M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程運(yùn)算量較大，特別是求M點(diǎn)的坐標(biāo)。能否回避M點(diǎn)的坐標(biāo)？——由Q5知道，用符號(hào)運(yùn)算和圖形運(yùn)算都有可能。

Q10：如果選擇符號(hào)運(yùn)算，注意到AM和AN方向相反，只需要求出它們的模即可求得數(shù)量積。求|AN|仍需要N點(diǎn)的坐標(biāo)，但求|AM|可以由“垂徑定理”結(jié)合“勾股定理”實(shí)現(xiàn)——因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn)，所以|CM|即為C到直線l的距離，|CM|=|k-3|k2+1，

有|AC|=10，所以|AM|=10-（k-3）2k2+1=|3k+1|k2+1；而|AN|=5k2+1|1+3k|，

所以AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。

Q11：如果選擇圖形運(yùn)算，那么需要考慮向量AM能否“拆分”成坐標(biāo)比較容易求的若干個(gè)向量的和（差）呢？——注意到CM⊥AM，不難想到將AM“拆分”成AC+CM（垂直關(guān)系是在研究向量數(shù)量積時(shí)，進(jìn)行拆分的一個(gè)“節(jié)點(diǎn)”）。

其實(shí)例還有一條“幽僻”的路，甚至可以回避N點(diǎn)的坐標(biāo)：連結(jié)CA并延長(zhǎng)交直線m于B（見(jiàn)下圖），則有|AB|=510，直線CA的方程：3x-y-3=0，可見(jiàn)CA⊥m，所以三角形AMC和三角形ABN相似，得：|AM|∶|AB|=|AC|∶|AN|，|AM|·|AN|=|AB|·|AC|=5，

所以，AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。這個(gè)方法看似簡(jiǎn)潔明快、無(wú)限風(fēng)光，但是，它來(lái)的實(shí)在太突兀、太玄妙（怎么想到連結(jié)CA、怎么想到CA⊥m、怎么想到……），沒(méi)有模仿的可能、沒(méi)有舉一反三的可能、沒(méi)有任何啟發(fā)意義，這一類奇思妙想的解法，我一直認(rèn)為僅供欣賞，所謂平平淡淡才是真。此外，這個(gè)方法的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)是相似三角形，已經(jīng)完全背離了解析幾何的本質(zhì)，失去了作為一道解析幾何題的價(jià)值?！岸嘟狻边€是“一解”，不是選題和講題的關(guān)鍵，選題要看題目是能否體現(xiàn)概念的本質(zhì)，體現(xiàn)重要的思想方法；講題要讓思維充分暴露、學(xué)生全程參與、過(guò)程自然流暢、解法水到渠成。

③對(duì)解題規(guī)律的反思。某一章節(jié)的問(wèn)題、某一類型的問(wèn)題，其求解方法往往有其規(guī)律性。

解題反思需要空間，課堂要舍得“留白”為課堂反思提供空間，課后不布置過(guò)多的作業(yè)為課后反思提供空間。

“老師領(lǐng)進(jìn)門(mén)，修行在個(gè)人”。“領(lǐng)”與“修”密不可分，“領(lǐng)”的得法，方能“修”成正果。教學(xué)的法與度，涵蓋了教學(xué)藝術(shù)的全部，非本文所能盡述；即便是數(shù)學(xué)解題的教學(xué)，也涉及知識(shí)的廣度、題目的難度、課堂的密度、設(shè)計(jì)的坡度等，很難窮盡；只希望能引領(lǐng)學(xué)生活躍在他們現(xiàn)有能力的最近發(fā)展區(qū)，實(shí)現(xiàn)他們潛力的最大發(fā)揮。學(xué)生的悟性并非與生俱來(lái)，需要在教學(xué)中讓他們有鮮明生動(dòng)的感受，引導(dǎo)他們?nèi)ビ|及數(shù)學(xué)中某些本質(zhì)的東西，以臻通透之悟，發(fā)揮無(wú)限創(chuàng)造。