數(shù)學概念教學“三步走”

呂云海 黃光玉

【摘 要】《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中強調(diào)對基本數(shù)學概念和思想的理解與掌握。高中階段的數(shù)學概念教學可以從前后知識的聯(lián)系出發(fā)引入概念，引導學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成過程，在運用中逐步理解概念的本質(zhì)。

【關鍵詞】概念教學；數(shù)學概念；“函數(shù)的奇偶性”

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）23-0038-02

【作者簡介】1.呂云海，南京師范大學（南京，210024）教師教育學院碩士研究生；2.黃光玉，南京市金陵中學（南京，210005）教師，一級教師。

“數(shù)學是玩概念的”，這是廣大數(shù)學教師都耳熟能詳?shù)囊痪湓?。這也體現(xiàn)了數(shù)學中概念教學的重要性。數(shù)學概念的形成過程，說到底是歸納、概括、抽象的過程。那么，數(shù)學概念該怎么教呢？筆者認為，教學中應當讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，了解知識的來龍去脈，強化對數(shù)學思想的應用，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。接下來，筆者以“函數(shù)的奇偶性”的教學為例，談談對高中數(shù)學概念教學的思考。

一、概念引入時注重前后知識的聯(lián)系

皮亞杰的認知發(fā)展理論告訴我們，學習是新舊知識順應和同化的過程，新知識是舊知識的自然生長。初中階段，學生的認知水平以形象思維為主，他們看到的知識往往是割裂的。高中階段，學生的抽象思維和邏輯能力有所提高，他們能認識到前后知識之間是有聯(lián)系的，在學習新知識的同時也能對舊知識起到復習鞏固的作用。例如，在研究邊長為1的正方形對角線長度時，發(fā)現(xiàn)找不到已有的數(shù)與之對應，于是在整數(shù)和分數(shù)的基礎上我們引入了無理數(shù)的概念。這樣將新舊知識串起來，學生便能對數(shù)域的分類有更系統(tǒng)的認識。因此，在概念教學中可以利用合適的問題情境，溝通前后知識之間的這種內(nèi)在聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、遷移逐步揭開數(shù)學概念的本質(zhì)，讓學生從整體性、系統(tǒng)性上感受引入新概念的必要性。

以“函數(shù)的奇偶性”概念教學為例。首先，在地位上，它是本章在學習了函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性之后，對函數(shù)性質(zhì)的進一步研究。其次，在內(nèi)容上，從數(shù)的角度看，f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），它揭示的是自變量互為相反數(shù)時函數(shù)值之間的特殊關系（相等或互為相反數(shù)）；從形的角度看，它描述的是函數(shù)圖象的一種對稱性（軸對稱或中心對稱）。這就在“函數(shù)性質(zhì)”和“對稱性”之間構(gòu)建了一座對接的橋梁，給新概念的引入提供了思路。

在引入概念前，先帶領學生回顧本章已經(jīng)學習過的內(nèi)容：定義域、值域、單調(diào)性。“那么，函數(shù)還有其他性質(zhì)嗎？”這樣便引入一種新的性質(zhì)。這樣的設計，使本章節(jié)的知識脈絡一目了然。在引入概念時，先展示一組生活中的圖片：蝴蝶、麥當勞標志、太極圖等，讓學生總結(jié)這些圖的共同特征。有了初中對稱性的基礎，學生不難說出它們都是對稱圖形。再通過追問，帶領他們回顧軸對稱和中心對稱的特征?！澳敲矗藭r該如何搭建起‘對稱性與‘奇偶性之間的橋梁呢？”從兩者的屬性上看，這其實是在“形”和“數(shù)”之間尋找某種聯(lián)系，而關于數(shù)形結(jié)合的思想，學生是有一定認知基礎的?；谶@樣的考慮，筆者設計了這樣的問題：“對稱性，直觀上看它是一種幾何性質(zhì)，然而‘形無數(shù)時難入微，能否從代數(shù)的角度去研究這種特征，用符號語言去刻畫這種對稱性？”至此，利用前后知識的聯(lián)系創(chuàng)建了問題情境，接下來便是引導學生經(jīng)歷概念形成的過程。

二、概念形成時滲透數(shù)學思想

日本數(shù)學教育家米山國藏說過，學生在學校學的數(shù)學知識會很快忘記，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學的精神，數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地在發(fā)生作用，使他們終身受益。新概念的建立過程中蘊含著豐富的數(shù)學思想，因此，筆者將數(shù)學思想作為學生形成新概念的切入點。

教材中在處理本節(jié)內(nèi)容時，先列舉實際生活中的對稱現(xiàn)象，接著從兩個具體函數(shù)的圖象出發(fā)，觀察到兩個圖象分別是軸對稱和中心對稱的，然后通過特殊點，歸納出當自變量取相反數(shù)時，其對應的函數(shù)值之間的關系。這樣的設計固然合理，但筆者認為這樣的過程學生參與度不高，積極性沒有被調(diào)動起來，學習能力也沒有得到鍛煉。秉著“促進學生發(fā)展”的原則，筆者設計了如下的教學思路。

在概念形成時，先以軸對稱圖形為例研究“偶函數(shù)”。筆者提出要從數(shù)的角度去研究對稱性，學生對此可能會有疑惑，他們知道這里蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想，但還是不會具體操作，這時可以發(fā)揮教師語言的引導作用：什么數(shù)學模型可以將“數(shù)”和“形”的研究結(jié)合起來？利用數(shù)形結(jié)合研究的重要工具是什么？當然是函數(shù)模型和坐標系。有了坐標系，圖形就成了函數(shù)圖象，圖象的對稱就可以轉(zhuǎn)化成點的對稱，而點的對稱經(jīng)過符號化，就可以轉(zhuǎn)化成坐標之間的關系：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，即f（-x）=f（x）。具備如此數(shù)量關系的函數(shù)，我們便定義為“偶函數(shù)”。

經(jīng)歷了軸對稱圖形的研究，我們獲得了“偶函數(shù)”的概念，那么，中心對稱的背后又隱藏著什么結(jié)論呢？學生通過類比，不難得到f（-x）=-f（x），于是“奇函數(shù)”的概念也自然形成。至此，反復經(jīng)歷“選圖—抽象—建系—設點—符號化—歸納—總結(jié)”的探究過程，數(shù)形之間建立了聯(lián)系，知識得到有效遷移，抽象、模型、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、符號化、類比等一系列數(shù)學思想得到滲透，學生的學習能力也得到充分的提高。

當然，學生在形成概念的過程中，得到的結(jié)論往往是比較粗糙、膚淺、不規(guī)范的，為了進一步凝練和升華這些知識，形成科學的概念，教師的引導和啟發(fā)作用至關重要。此外，概念的形成必須建立在學生已有的基礎上，教師要對學生的認知水平有較為準確的判斷，提問要便于學生思考，否則問題要不就過于簡單，無法調(diào)動積極性，要不就過于困難，會打擊學生自信心。教師要對知識的背景、形成過程有細致的理解，做好課前預設，利用課堂生成，以獲得良好的效果。

三、概念發(fā)展中提供反思質(zhì)疑的機會

如果說概念形成的過程是概念教學的核心，那么處理好“概念發(fā)展”這一環(huán)節(jié)對教學而言便是畫龍點睛之筆。這個過程非常考驗教師的素質(zhì)和水平，許多教師在教學中往往會忽略這一點，完全利用例題去鞏固知識，使得學生對概念的認識僅僅停留在表面，沒有對概念進行深一步思考的意識。莎士比亞說過，一千個人眼中就有一千個哈姆雷特。同一概念在不同學生的眼里自然會有不一樣的理解。課堂是生成的活動，新課程改革重視教學中學生的主體地位，教師應當為學生提供反思和質(zhì)疑的機會，學生的質(zhì)疑不管對錯，對教學而言都是生成性資源，它們的存在有些不是偶然的，是有利用價值的，解決得好能讓學生對新概念有更清晰的認識。

在鞏固“函數(shù)的奇偶性”概念時，學生就提出了這樣的問題：函數(shù)的奇偶性既然表現(xiàn)出的是圖象的對稱性，為何不稱這種性質(zhì)叫“函數(shù)的對稱性”？這個問題看似是無關緊要的題外話，其實背后有許多值得思考的地方。筆者便追問學生：在學習二次函數(shù)時，我們也研究了圖象的對稱性，它關于直線x=-■對稱，那能否說二次函數(shù)也具有奇偶性呢？學生經(jīng)過短暫的思考后領悟到，奇偶性揭示的是圖象關于y軸或原點的特殊對稱，一般的圖象對稱并不能稱為具有奇偶性。于是，學生在經(jīng)歷問題的提出與解決后，對奇偶性的概念有了更深刻的認識。

綜上所述，數(shù)學概念教學中，要全面落實學生的主體性地位，重視數(shù)學概念的二重性。既要關注概念形成的過程，以學生現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗為依托，開展學習活動，滲透數(shù)學思想；也要從整體上把握概念的本質(zhì)，在過程中不斷尋求概念間的內(nèi)在聯(lián)系。■

【參考文獻】

[1]教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2006.

[3]陶維林.“函數(shù)的奇偶性”該怎么教[J].中小學數(shù)學：高中版，2013（11）.