有關(guān)高中數(shù)學(xué)數(shù)列專題的分析

安家瑞

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一直是我們高中學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)槲覀儾粌H需要復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，所以這是一個(gè)很重要的學(xué)習(xí)階段，在這一個(gè)階段中知識(shí)扎實(shí)，基礎(chǔ)穩(wěn)固的高中生在進(jìn)入大學(xué)之后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)也會(huì)很輕松。高中數(shù)學(xué)作為一個(gè)承上啟下的過渡階段，包含了很多的專題模塊，數(shù)列、函數(shù)、幾何方程等等，所以這不僅成為了老師教學(xué)過程中的一個(gè)難點(diǎn)，也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中需要克服的難題。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)；數(shù)列；專題

中圖分類號(hào)：G634文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）03-0051-01

何為數(shù)列，數(shù)列就是按照一定的次序來排列的一串?dāng)?shù)字，其本質(zhì)是一種特殊的函數(shù)，也有著定義域和值域。但是數(shù)列在定義域和值域方面與函數(shù)有著一定的差異，因此在特定的情況下，數(shù)列可以被看作為一個(gè)定義域是正整數(shù)集N*的函數(shù)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中比較重要的基礎(chǔ)知識(shí)技能，在高考的試題中占據(jù)著比較高的百分比。數(shù)列也是函數(shù)概念的延伸和繼續(xù)，其客觀規(guī)律可以通過特定的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)，所以數(shù)列也被稱為特殊的函數(shù)，是處理數(shù)學(xué)問題時(shí)不可缺少的一種數(shù)學(xué)模型。我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)可以借助一定的數(shù)學(xué)模型來將繁雜的問題系統(tǒng)化和簡(jiǎn)單化，在一定的程度上降低問題的難度。

一、高中數(shù)學(xué)中數(shù)列專題的概述

數(shù)列在高考考題中考查的內(nèi)容是有固定范圍的，一般來說會(huì)分為三個(gè)方面：第一、用等差數(shù)列或者是等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通用公式和求和公式來對(duì)數(shù)列求解；第二、等比數(shù)列或者是等差數(shù)列問題的判斷與證明；第三、數(shù)列和其它數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合的綜合解答題，比如數(shù)列和不等式的、數(shù)列和函數(shù)的，這是高考試題中最常見的一種題型。

高中數(shù)學(xué)“數(shù)列”專題是以數(shù)列問題為核心教學(xué)內(nèi)容的綜合，主要包括的是數(shù)列的概念和表達(dá)方法、等差數(shù)列問題的處理辦法、等比數(shù)列問題的處理辦法等內(nèi)容。數(shù)列有著很廣泛的應(yīng)用，不僅可以提高我們的邏輯思維能力和抽象思維能力，改善我們的歸納總結(jié)能力，而且可以讓我們將所學(xué)到的數(shù)列知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系在一起，從根本上改善我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐狀況，從而為學(xué)習(xí)效率的提升打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)列還可以使我們進(jìn)一步的了解函數(shù)的連續(xù)性和離散型，提升我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展有著重要的作用。老師在教授“數(shù)列”專題的內(nèi)容時(shí)，需要幫助高中生更好的把握解題方法，使其對(duì)學(xué)到的知識(shí)全面的進(jìn)行應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合。

二、數(shù)列專題的重點(diǎn)歸納

1、數(shù)列定義中“數(shù)的有序性”是其中的靈魂，但是要注意分辨數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集元素的異同。因此在研究數(shù)列的解題方法時(shí)要注意函數(shù)方法的普遍性和數(shù)列方法的特殊性。

2、數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系表達(dá)式為：an=S1，n=1

Sn-Sn-1，n≥2

3、求通項(xiàng)常用方法

①作新數(shù)列法作等差數(shù)列與等比數(shù)列

②累差疊加法最基本形式是：

an=（an-an-1 ）+ （an-1+an-2） +…+ （a2-a1） + a1

anan-1=anan-1·an-1an-2…a2a1·a1

③ 歸納、猜想法

④ 遞推數(shù)列：an=an-1+f（n）anan-1=f（n）an=can-1+d

4、數(shù)列前n項(xiàng)和常用求法

①重要公式：1+2+…+n=12n（n+1），12+22+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

13+23+…+n3=（1+2+…+n）2=14n2（n+1）2

② 等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn

③ 裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f（n+1）-f（n），然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng)：

1n（n+1）=1n-1n+1，n·n！=（n+1）！-n！，1sin2α=ctgα-ctg2α，Cnn-1=Cnr+1-Crn，1（n+1）！=1n！-1（n+1）！等

④ 錯(cuò)項(xiàng)相消法和并項(xiàng)求和法

三、例題解析

1、 有關(guān)數(shù)列的概念性例題

數(shù)列的概念性題是歷年高考試題中不可缺少的一種題型，不僅因?yàn)檫@是基礎(chǔ)題，也因?yàn)檫@是解決其他數(shù)列題型的基礎(chǔ)，包括數(shù)列中的等比數(shù)列、等差數(shù)列和兩種數(shù)列的求和等方面，所以這是我們一定要復(fù)習(xí)的數(shù)列題目。

例：已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a4=5，a3=4，求a9等于多少。

解析：從題目中可以看出，這是一個(gè)數(shù)列基礎(chǔ)定義的題型，這道題目中主要考查我們對(duì)等差數(shù)列的概念是否已經(jīng)掌握牢固，解題思路也很簡(jiǎn)單，直接套用等差數(shù)列的概念公式an=a1+（n-1）d即可，通過題目中給出的已知條件a4=5，a3=4可以得出關(guān)于a1和d的二元一次方程組，繼而得出a9的答案。這是一種最簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)的數(shù)列題型，單獨(dú)出題的可能性在高考中不是很大，但是卻會(huì)融入到其他的題型中，尤其是在一些綜合題里面，對(duì)我們的解題效率的提升有著非常重要的作用。

2、 有關(guān)數(shù)列的證明題

數(shù)列的證明是高考中除卻綜合題型最重要的一種題目了，它主要考查了我們對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系的掌握情況，考查了我們對(duì)數(shù)列概念的掌握和應(yīng)用情況，還考查了數(shù)列和不等式結(jié)合求和的知識(shí)，主要是為鍛煉我們的分析轉(zhuǎn)化能力和推理論證能力。

例：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，證明{an+12}是等比數(shù)列。

解析：從題目中可以看出這是一道知道特定的條件求數(shù)列公式的題目，主要運(yùn)用的是等比數(shù)列的概念求解，有題目的條件“數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1”可以得知an+1+12=3（an+12），也得以得出a1+12=112，所以（an+12）是一個(gè)首項(xiàng)為112，公比數(shù)為3的等比數(shù)列。

這種題型主要就是考查我們對(duì)數(shù)列定義的靈活運(yùn)用靈力和邏輯推理能力，只要基本知識(shí)牢固，思維轉(zhuǎn)換能力活躍，做此種類型的題目并不困難。

除了上述的兩種數(shù)列題型之外，還有一種數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的題型。前面也有說，數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù)，有效地將數(shù)列和函數(shù)相結(jié)合可以提高我們對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和解題能力，但是這種題型往往是很難解答的，所以是高中數(shù)學(xué)考試中的一大難點(diǎn)。在這一種類型題目求解的時(shí)候，我們需要把所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，并且靈活運(yùn)用到解題思路之中，使我們的解題能力得到了一定的提升。

結(jié)語：

當(dāng)然不管是哪種題型，都是需要我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)列專題的學(xué)習(xí)時(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)的專項(xiàng)練習(xí)時(shí)，我們要充分的發(fā)揮自身的能動(dòng)性，學(xué)會(huì)自主分析題目。而且我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中要不斷提高知識(shí)水平、解題能力，學(xué)會(huì)發(fā)散思維，把知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

（作者單位：聊城市第三中學(xué)）

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