變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

王志華

摘要：數(shù)學(xué)是極具邏輯性的學(xué)科，邏輯性思維是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，教師要注重在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用“一題多變”、“一題多用”、“多題歸一”的方法，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)題目的“核心”，從題目中“提煉”反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：變式訓(xùn)練 高中數(shù)學(xué) 解題教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生平時(shí)作業(yè)、練習(xí)中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，教師運(yùn)用何種訓(xùn)練方式幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤至關(guān)重要。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用變式訓(xùn)練，針對(duì)不同錯(cuò)誤采用不同的訓(xùn)練方法，能夠使學(xué)生觸類旁通，在減輕訓(xùn)練壓力的情況下有效地提高教學(xué)質(zhì)量。

下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談點(diǎn)體會(huì)。

一、變式訓(xùn)練的含義

數(shù)學(xué)解題按照類型主要可以分為解探究題、解變式題、解標(biāo)準(zhǔn)題三大類。如果將數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)題看作是數(shù)學(xué)知識(shí)中最基礎(chǔ)的表現(xiàn)形式，變式題就是介于標(biāo)準(zhǔn)題和探究題之間的數(shù)學(xué)題目，是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)向探究活動(dòng)逐漸過渡的數(shù)學(xué)題目。變式訓(xùn)練的核心就是將數(shù)學(xué)公式、定理等進(jìn)行改變，合理構(gòu)造的一系列變式，展示數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生及發(fā)展的過程，突破原有數(shù)學(xué)解題思維的障礙，形成新的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練模式。

二、變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

1。一題多變，提高學(xué)生的思維深度

一題多變，指的是以一道數(shù)學(xué)母題演變出許多道子題目。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知程度將一道經(jīng)典易錯(cuò)的數(shù)學(xué)題目改變其條件或結(jié)論，演變成具有不同解題思路和方法的數(shù)學(xué)題，鍛煉學(xué)生從不同的角度理解題目，通過對(duì)改變的數(shù)學(xué)題目的聯(lián)系，提高學(xué)生的思維深度。因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要打破學(xué)生傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)模式和學(xué)習(xí)思維，不能單純地為解題而解題，而是要在同類型題目中找到本質(zhì)規(guī)律，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

例1 已知圓O的方程為：x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程。

變式1：已知M（x0 ，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部（異于圓心O），則直線x0x+y0y=r2與圓O的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是多少？

變式2：已知M（x0 ，y0）在圓O：x2+y2=r2的外部，你能否探索出直線x0x+y0y=r2的幾何意義？

變式3：已知M（x0 ，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部（異于圓心O），求證：過M點(diǎn)的弦（除直徑外）的兩個(gè)端點(diǎn)在圓上兩切線的交點(diǎn)軌跡為直線x0x+y0y=r2。（本題難度深入，適用于課堂或課下探究性問題）

該例題旨在通過研究直線與圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決求過已知圓上一點(diǎn)的切線問題。教師巧妙設(shè)計(jì)題組，通過變式，根據(jù)學(xué)生的接受情況，總結(jié)出不同題目的相同規(guī)律，提高學(xué)生的解題技巧，深化學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解。

2。一題多解，擴(kuò)展學(xué)生的思考范圍

變式訓(xùn)練的另一種方法就是一題多解。一題多解能夠充分激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在解題中注重各項(xiàng)條件的聯(lián)系和運(yùn)用，避免因思維受限而造成解題過程中拘泥于某一種方法上，造成解題思路狹窄。一題多解的變式訓(xùn)練方法，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，改變?cè)袛?shù)學(xué)解題的思維定式，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活定和發(fā)散性。

例2 如果sin2x+cosx+a=0有實(shí)根，試分析a的取值范圍。

解法1：將已知式子變形為：a=cos2x-cosx-1，設(shè)a為x的函數(shù)，根據(jù)題干可知：cosx∈[-1，1]，a=（cosx-12）2-54，當(dāng)cosx=12時(shí)有最小值，此時(shí)a=-54；當(dāng)cosx=-1時(shí)有最大值，此時(shí)a=94-54=1，因此函數(shù)值域?yàn)閍∈[-54，1]。反之，當(dāng)a在[-54，1]之間取值時(shí)，cosx一定在[-1，1]之間取值，與x有實(shí)數(shù)解相對(duì)應(yīng)。

解法2：令cosx=t，原方程化為：1-t2+t+a=0，則得到函數(shù)f（t）=-（t2-t+14）+54+a，則方程有[-1，1]中的實(shí)數(shù)解表明二次函數(shù)f（t）的圖象拋物線在[-1，1]中與t軸有交點(diǎn)。將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，運(yùn)用圖形解題，當(dāng)拋物線與t軸在[-1，1]區(qū)間內(nèi)有一交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（-1）f（1）≤0時(shí)，也就是（1-a）（-1-a）≤0，以此得出-1≤a≤1；當(dāng)拋物線與t軸在[-1，1]區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)交點(diǎn)，且a∈[-1，1]U[-54，1]=[-54，-1]時(shí)，y=f（t）與t軸在[-1，1]內(nèi)存在交點(diǎn)，原方程存在實(shí)數(shù)解。

3。多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

多題歸一與一題多變、一題多解的訓(xùn)練模式是一致的，是數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練中的重要方法之一，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在變化的數(shù)學(xué)題目中探索出本質(zhì)規(guī)律，在以后的解題中能夠通過題干看出解題的關(guān)鍵。

縱觀高中數(shù)學(xué)試題，我們可以看出數(shù)學(xué)試題不論怎么變，考查的都是數(shù)學(xué)基本理論概念知識(shí)以及數(shù)學(xué)通法，只是在原有數(shù)學(xué)規(guī)律和常規(guī)解題模式上進(jìn)行變換。例如，可以利用直線方程帶入圓錐曲線方程的方法，設(shè)計(jì)成考查一元二次方程知識(shí)的數(shù)學(xué)試題，還能夠利用方程根與系數(shù)的關(guān)系再進(jìn)行改變成為新的數(shù)學(xué)試題，但是實(shí)質(zhì)上都是考查學(xué)生對(duì)解析幾何基本方法的掌握，這就是數(shù)學(xué)試題“多題歸一”的具體表現(xiàn)。

例3 求和：x+2x2+…+nxn，（x≠0）

例4 設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13。（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn。

解析：在這兩道試題的解題思路中，都運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”：若數(shù)列{Cn}滿足Cn=an·bn，其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列（公比≠1），則數(shù)列{Cn}（等比數(shù)列）的前n項(xiàng)和可以使用“錯(cuò)位相減法”求得。

利用“多題歸一”、“多題一解”，讓學(xué)生在熟悉等比數(shù)列求和公式的基礎(chǔ)上，拓展“錯(cuò)位相減法”這一解題方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中對(duì)已有的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié)，再利用變式題進(jìn)行進(jìn)一步的擴(kuò)展和深化，從而自然和諧地形成一定的解題思路和技巧。

高中數(shù)學(xué)試題中通法通性的表現(xiàn)形式多種多樣。例如，運(yùn)用配方、作圖、分類討論等方法在二次函數(shù)閉區(qū)間上求值，這就表示高中數(shù)學(xué)試題的解決需要運(yùn)用“多題歸一”的訓(xùn)練方法，對(duì)具有普遍規(guī)律的數(shù)學(xué)試題進(jìn)行歸納總結(jié)，在總結(jié)過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的基本思路與技巧。

總之，變式訓(xùn)練是以萬(wàn)變不離其宗為原則，在不同的數(shù)學(xué)題目中對(duì)數(shù)學(xué)公式、原理、定理、概念等從不同角度和深度進(jìn)行改變，使其內(nèi)容發(fā)生變化并得出不同的結(jié)論。變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有舉足輕重的作用，教師在變式訓(xùn)練教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律開展教學(xué)，切忌盲目地開展變式教學(xué)。

參考文獻(xiàn)

李健。 “一題多解”與“多題一解”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值研究與實(shí)踐[D]。蘇州大學(xué)，2012。