一個(gè)具有相互作用非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程組的爆破解

李　萍，　舒　級,　張　佳，　廖　歐

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

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一個(gè)具有相互作用非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程組的爆破解

李萍，舒級*,張佳，廖歐

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

摘要：討論一類具有相互作用非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程組的爆破解.首先給出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的形式，并得到分?jǐn)?shù)階微分方程組局部解的存在性，其次由H?lder不等式估計(jì)方程組的解，得到其在有限時(shí)間內(nèi)的爆破解，并給出其解爆破時(shí)間上界的估計(jì).

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程； 爆破解； 上界； H?lder不等式

分?jǐn)?shù)階微分方程指的是含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)或者分?jǐn)?shù)階積分的方程.目前,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分在物理、生物、化學(xué)等多個(gè)學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用，如具有混沌動(dòng)力行為的動(dòng)力系統(tǒng)、擬混沌動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)雜物質(zhì)或者多孔介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)、具有記憶的隨機(jī)游走等[1].本文考慮下面非線性時(shí)間α階微分方程組

初始條件：u(0)=u0,v(0)=v0,其中,p>1、q>1、u0>0、v0>0均是常數(shù)，Dα、Dβ是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)算子，0<α<1,0<β<1,A(t)、B(t)是連續(xù)函數(shù).

研究上述具有相互作用非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程組的爆破解.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線性方程的研究內(nèi)容日趨豐富，尤其是在流體力學(xué)、非線性光學(xué)、經(jīng)典場論、量子力學(xué)等領(lǐng)域已有大量研究[2-4].近幾年來，分?jǐn)?shù)階偏微分方程在材料力學(xué)、生物學(xué)、等離子體物理學(xué)、金融學(xué)、化學(xué)等更多領(lǐng)域中被提出，并蓬勃地開展著研究，其中包括分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程、分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程以及分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程等[5-18].這些研究都有明確的物理背景，開辟了一個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域.早在17世紀(jì)末，一些數(shù)學(xué)家如L’Hpital、Leibniz、Euler等就開始思考如何定義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).19世紀(jì)70年代，Riemann、Liouville將Cauchy積分公式推廣，得到函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義[1].本文將通過H?lder不等式得到方程組(1)在有限時(shí)間內(nèi)的爆破解.首先給出分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本定義,然后再給出方程組(1)的局部解存在性，最后得出主要結(jié)果并加以證明.

1預(yù)備知識

下面首先給出分?jǐn)?shù)階微積分的基本定義，參見文獻(xiàn)[1,5].

定義 1.1設(shè)f在Jo=(0,∞)上分段連續(xù)，并且在J=(0,∞)的任意有限子區(qū)間上可積，對任意的t>0以及使得Reα>0的任意的復(fù)變量α,函數(shù)f的α階R-L分?jǐn)?shù)階積分定義為

(2)

其中規(guī)定D0f(x)=f(x).

α階的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子性質(zhì):若α,β≤0,則有

(3)

定義 1.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)算子Dα定義如下

(4)

其中,m-1<α0.

(5)

其中m-1<α≤m,m∈N,x>0.

接下來給出方程組(1)的局部解存在性，證明方法參見文獻(xiàn)[5].

假設(shè)存在常數(shù)M>0，使得|A(t)|≤M,|B(t)|≤M,0≤t≤T,并且滿足Lipschitz條件：

考慮積分方程組

定理 1.1[5]設(shè)x(t),y(t)，t∈[0,T]是積分方程組(6)的連續(xù)解，令

(7)

那么(u,v)就是滿足初始條件u(0)=u0,v(0)=v0的方程組(1)的解.

2方程組的爆破解

在本節(jié)將給出方程組(1)在有限時(shí)間內(nèi)的爆破解和爆破時(shí)間的一個(gè)上界.

定理 2.1如果u0>0,v0>0,p>1,q>1,A(t)>0,B(t)>0是連續(xù)函數(shù)，并且滿足Lipschitz條件：

則方程組(1)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破，并給出了其解爆破時(shí)間上界的一個(gè)估計(jì).

證明(反證法)假設(shè)(u,v)是方程組(1)的全局解.設(shè)

(8)

滿足

(9)

(10)

其中

因?yàn)镽iemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)算子在[0,T]上積分滿足公式(參見文獻(xiàn)[1])

(11)

則在方程組(1)兩側(cè)同時(shí)乘以φ(t),再在區(qū)間[0,T]上對t積分有

(12)

可以得到

(13)

同理

(14)

因?yàn)锳(t)>0,B(t)>0是連續(xù)函數(shù)，則存在常數(shù)L>0使得A(t)≤L,B(t)≤L,t∈[0,T],由H?lder不等式可得

(15)

同理可得

令

(17)

于是得到

(18)

同理可得

(19)

(20)

代入(18)式中得

(21)

其中

(22)

代入(20)式可得

(23)

(24)

所以

(25)

其中

當(dāng)T→∞時(shí)，在(25)式中可得到v0≤0,這與已知v0>0矛盾，故假設(shè)不成立，方程組(1)存在有限時(shí)間的爆破解.

下面對爆破時(shí)間進(jìn)行估計(jì)，將(21)式代入(25)式中有

(26)

其中

(27)

同理對u0進(jìn)行估計(jì)

(28)

(29)

由于

(30)

所以

(31)

當(dāng)T→∞時(shí)，在(31)式中可得到u0≤0,這與已知u0>0矛盾，故假設(shè)不成立,方程組(8)有有限時(shí)間的爆破解.

下面對爆破時(shí)間進(jìn)行估計(jì)，將(18)和(20)式代入(31)式中有

u0≤

(32)

其中

因此，得到爆破解的時(shí)間上界為

參考文獻(xiàn)

[1] 郭柏靈,蒲學(xué)科,黃鳳輝. 分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M]. 北京:科學(xué)出版社,2011.

[2] 舒級,成和平. 一類帶外部磁場的非線性Schr?dinger方程解的爆破和整體存在[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006，29(5)：512-515.

[3] 鮑杰，舒級. 高階廣義2D Ginzburg-landau 方程的隨機(jī)吸引子[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，37(3)：298-306.

[4] 曾群香，黃欣，舒級，等. Wick-型混合隨機(jī)Kdv方程的精確解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015,38(1)：27-33.

[5] 代群，李輝來. 對一個(gè)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程組的爆破解的研究[J]. 中國科學(xué):數(shù)學(xué),2012,42(12)：1205-1212.

[6] HE J H． Some applications of nonlinear fractional differential equations and their approximations[J]． Bull Sci Technol，1999，15(2):86-90．

[7] HE J H． Approximate analytical solution for seepage flow with fractional derivative in porous media[J]． Comput Methods Appl Mech Eng,1998,167(1/2):57-68．

[8] CARPINTERI A, MAINARDI F． Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics[M]． Berlin:Springer-Verlag，1997．

[9] ZHANG W． Fractional calculus approach to dynamic problems of viscoelastic materials [J]． JSME Inter J，1999，42C(4):825-837.

[10] GENZER J． Further results on the modelling of complex fractals in finance，scaling observation and optimal portfolio selection[J]． Systems Analysis Modelling Simulation，2001，42(10):1483-1499．

[11] HU Y Z, OKSENDAL B． Fractional white noise calculus and applications to finance[J]． Infinite Dim Anal Quantum Probab Related Topics,2003,6(1):1-32．

[12] JUMARIE G． New stochasti fractional models for malthusian growth，the poissonian birth process and optimal management of populations[J]． Math Comput Mod,2006,44(3/4):231-254．

[13] GORENFLO R, MAINARDI F． Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order [C]//Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics．Vienna:Springer-Verlag，1997:223-276．

[14] PODLUBNY I． Fractional Differential Equation[M]． New York:Academic Press,1999．

[15] PODLUBNY I． Geometric and physical interpretation of fractional integratiation and fractional differential[J]． Fract Calculus Appl Anal，2002，5:367-386．

[16] LANGLANDS T A M, HENRY B I, WEARNE S L． Fractional cable equation models for anomalous electrodiffusion in nerve cells: infinite domain solutions[J]． J Math Biol，2009，59(6):761-808．

[17] JUMARIE G． Laplace’s transform of fractional order via the Mittag-Leffler function and modified Riemann-Liouville derivative[J]． Appl Math Lett，2009，22(11):1659-1664．

[18] KILBAS A A, SRIVASTAVA H M, TRUJILLO J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]．Amsterdam:Elsevier,2006.

2010 MSC：35B44; 35R11; 34A08; 34K37

(編輯陶志寧)

Blowing-up Solutions for a Nonlinear System of Fractional Differential Equations with Interaction Nonlinearity

LI Ping,SHU Ji,ZHANG Jia,LIAO Ou

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：In this paper, we discuss the blow-up solutions of a nonlinear system of fractional differential equations. Firstly we give the form of fractional derivatives and get the local existence of solutions to the system of the integral equations. Secondly we obtain the blow-up solutions to the fractional differential equations in a finite time by using H?lder’s inequality， and the upper bound of blowing-up time．

Key words：fractional differential equation; blowing-up solution; upper bound; H?lder inequality

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.003

中圖分類號：O177.92

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0015-05

*通信作者簡介：舒級(1977—),男,副教授,主要從事隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)、偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11371267)和四川省教育廳重點(diǎn)科研基金(14ZA0031)

收稿日期:2014-07-01