P范分布的實(shí)數(shù)階與對(duì)數(shù)矩估計(jì)法

潘　雄，羅　靜，汪　耀

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074

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P范分布的實(shí)數(shù)階與對(duì)數(shù)矩估計(jì)法

潘雄，羅靜，汪耀

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos.41374017；40974002；11471105); The China Postdoctoral Science Foundation (No.2005038362)

摘要：從參數(shù)估計(jì)的精度和算法的復(fù)雜度出發(fā)，對(duì)P范分布參數(shù)的估計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)。根據(jù)誤差分布的實(shí)際情況，引入實(shí)數(shù)階和對(duì)數(shù)矩估計(jì)方法，建立了P范分布的參數(shù)估計(jì)的實(shí)數(shù)階矩估計(jì)方法。首先，利用實(shí)數(shù)階矩估計(jì)法，導(dǎo)出了形狀參數(shù)p與實(shí)數(shù)階階數(shù)r的關(guān)系式，對(duì)形狀參數(shù)的選取給出了相應(yīng)的建議；其次，改進(jìn)矩估計(jì)理論，利用對(duì)數(shù)矩估計(jì)方法導(dǎo)出了形狀參數(shù)、期望及中誤差的非線性估計(jì)公式，消除了函數(shù)截?cái)嗾`差對(duì)參數(shù)估計(jì)值計(jì)算的影響，并利用迭代算法給出了相應(yīng)參數(shù)的解算方法和計(jì)算流程；最后，用一個(gè)模擬算例和兩個(gè)實(shí)測(cè)算例分析了實(shí)數(shù)矩、對(duì)數(shù)矩和極大似然估計(jì)3種估計(jì)方法的穩(wěn)定性和精度。結(jié)果說(shuō)明，本文提出的矩估計(jì)方法在穩(wěn)定性、精度和收斂速度等方面均優(yōu)于極大似然估計(jì)方法，推廣了現(xiàn)有的誤差理論。

關(guān)鍵詞：P范分布；矩估計(jì)法；參數(shù)估計(jì)

隨著空間測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，對(duì)衛(wèi)星軌道精度的要求越來(lái)越高，現(xiàn)有的精密定軌軟件程序在解算參數(shù)時(shí)，都是假設(shè)計(jì)算誤差服從正態(tài)分布，采用最小二乘估計(jì)進(jìn)行解算。文獻(xiàn)[1]指出，在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，由于觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在粗差、模型不準(zhǔn)確以及計(jì)算方法不同等，使得觀測(cè)誤差并不服從正態(tài)分布。文獻(xiàn)[2]從觀測(cè)誤差的實(shí)際分布出發(fā)，利用LP估計(jì)來(lái)確定衛(wèi)星的精密軌道，通過(guò)計(jì)算，認(rèn)為L(zhǎng)P估計(jì)的p值應(yīng)該在[1，2]之間；文獻(xiàn)[3]指出，對(duì)GPS觀測(cè)值誤差處理時(shí)，當(dāng)p=1.4左右時(shí)精度最高，效率最好。

在實(shí)際工作中，對(duì)于一組給定的觀測(cè)誤差，往往并不知道這個(gè)p取什么值最合適，這就需要利用觀測(cè)數(shù)據(jù)提供的信息，正確確定p值，進(jìn)行相應(yīng)的估計(jì)。此前，許多學(xué)者采用極大似然估計(jì)法對(duì)P范分布的多種形式，如從對(duì)稱到非對(duì)稱、一元到多元等情況進(jìn)行了研究，得到了一些有用的結(jié)果[4-9]。當(dāng)觀測(cè)樣本足夠大且分布的形式已知時(shí)，極大似然估計(jì)是最優(yōu)估計(jì)，其漸近分布為正態(tài)分布。文獻(xiàn)[10]將半?yún)?shù)回歸模型成功地應(yīng)用到極大似然平差法的參數(shù)估計(jì)理論中，但形狀參數(shù)p值的獲取是半?yún)?shù)P范極大似然回歸的應(yīng)用前提。然而，P范分布的形狀參數(shù)值未知，極大似然估計(jì)方程是非線性方程，需要迭代計(jì)算，迭代計(jì)算需要較大的數(shù)據(jù)量及合適的初值才能保證估計(jì)精度，此時(shí)自適應(yīng)LP估計(jì)等價(jià)于相應(yīng)的最或然估計(jì)[11]，而形狀參數(shù)的不正確估計(jì)又會(huì)使得LP估計(jì)的效率變低[12]。理論證明，當(dāng)p=1時(shí)，LS估計(jì)將比L1估計(jì)損失效率50%；當(dāng)p=2時(shí)，L1估計(jì)又將比LS估計(jì)損失效率27%，因此，選擇合適的p非常重要[12]。文獻(xiàn)[2,13—15]以SLR數(shù)據(jù)處理為例說(shuō)明了自適應(yīng)LP估計(jì)在應(yīng)用中的穩(wěn)健性優(yōu)勢(shì)，若能獲得更可靠的p值，其優(yōu)勢(shì)將更為顯著。

合理的p值可以體現(xiàn)觀測(cè)誤差最符合的分布，由于p為小數(shù)，常用的矩估計(jì)法為整數(shù)階估計(jì)，本文引入實(shí)數(shù)階和對(duì)數(shù)矩估計(jì)方法，導(dǎo)出了相應(yīng)估計(jì)方法的P范分布的參數(shù)解算的基礎(chǔ)方程，另外，簡(jiǎn)化了基礎(chǔ)方程，消除了普西函數(shù)和伽瑪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算誤差對(duì)參數(shù)計(jì)算的影響，使得參數(shù)計(jì)算的復(fù)雜度降低。

1實(shí)數(shù)階矩估計(jì)法

(1)

mr=E(|X-u|r)=

(2)

(3)

式(3)包含形狀參數(shù)p、中誤差σ0和階數(shù)r，為了減少參數(shù)之間的影響，可以構(gòu)造如式(4)所示的函數(shù)，消除中誤差σ0對(duì)p的影響

(4)

式中，總體均值u和r階絕對(duì)中心矩可以通過(guò)如下樣本估計(jì)值計(jì)算

(5)

k=2,r,r+2

(6)

將式(5)、式(6)代入式(4)，化簡(jiǎn)得到形狀參數(shù)的估計(jì)式為

(7)

由式(7)得到形狀參數(shù)p的估計(jì)值后，在式(3)中令r=p，得

(8)

2對(duì)數(shù)矩估計(jì)法

對(duì)式(3)求導(dǎo)數(shù)得

E(|X-u|rln|X-u|)=E(|X-u|r)

(9)

式中，ψ(·)為普西函數(shù)。

對(duì)式(9)化簡(jiǎn)得

(10)

在式(9)中，令r=0 可得觀測(cè)值的一階對(duì)數(shù)絕對(duì)矩為

(11)

用樣本矩代替總體矩，綜合式(10)、式(11)，化簡(jiǎn)得參數(shù)p的估計(jì)表達(dá)式為

(12)

為了消除ψ(·)計(jì)算誤差及階數(shù)對(duì)參數(shù)計(jì)算的影響，在式(12)中，取r=p，由ψ(·)的性質(zhì)得

(13)

由式(8)得到參數(shù)u的估計(jì)表達(dá)式為

(14)

3參數(shù)的解算

(15)

(16)

將f1(u+Δu,p+Δp)=0，f2(u+Δu,p+Δp)=0在μ、p處展開成泰勒級(jí)數(shù)，略去二次以上各項(xiàng)，則有

(17)

(18)

聯(lián)立求解式(15)—式(18)，將μ+Δμ、p+Δp作為新的近似值，即可進(jìn)行下一次迭代計(jì)算。其中，式(15)、式(16)分別對(duì)μ、p的偏導(dǎo)數(shù)為

夜深人靜的時(shí)候，我躺在自己的出租屋里對(duì)著天花板發(fā)呆。以為自己戀愛(ài)了一回，到頭來(lái)還是一場(chǎng)誤會(huì)。南方的愛(ài)情就像南方的天，陰晴無(wú)常。

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

4算例分析

4.1階數(shù)對(duì)精度的影響

從圖中可以看出，階數(shù)r的取值越接近形狀參數(shù)實(shí)際值，參數(shù)估計(jì)值越接近其真實(shí)值，其相對(duì)偏差也越小。因此，可以認(rèn)為當(dāng)階數(shù)r近似取p值時(shí)，實(shí)數(shù)階矩估計(jì)法的估計(jì)精度最高。不妨以拉普拉斯分布為例，其樣本個(gè)數(shù)、階數(shù)及形狀參數(shù)

的關(guān)系如表1所示。

圖1　p=1時(shí)，不同r對(duì)應(yīng)估計(jì)量p的相對(duì)偏差曲線Fig.1　The relative deviation curve of estimation p with different r when p=1

圖2　p=2時(shí)，不同r對(duì)應(yīng)估計(jì)量p的相對(duì)偏差曲線Fig.2　The relative deviation curve of estimation p with different r when p=2

由表1可以看出，當(dāng)子樣較少時(shí)，無(wú)論階數(shù)r取何值，計(jì)算得到的參數(shù)估值均偏離真實(shí)值，階數(shù)與形狀參數(shù)的差值越大，精度越低。隨著參與平差的子樣數(shù)逐步增多，對(duì)應(yīng)各階數(shù)計(jì)算得到的參數(shù)估值逐漸趨近于真實(shí)值。

4.2模擬算例對(duì)比分析

表1　p=1時(shí)，形狀參數(shù)與階數(shù)和樣本數(shù)的關(guān)系

表2　p=1時(shí)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)比

表3　p=2時(shí)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果對(duì)比

從表2、表3可以看出，當(dāng)子樣較少時(shí)，對(duì)數(shù)矩估計(jì)法與極大似然平差法估計(jì)結(jié)果均與實(shí)際值相差較大，隨著觀測(cè)子樣的增加，兩種方法所得到的參數(shù)估計(jì)值呈現(xiàn)出越來(lái)越接近真實(shí)值的趨勢(shì)。當(dāng)子樣數(shù)較小，在估計(jì)3個(gè)參數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)矩估計(jì)法在收斂速度、穩(wěn)定性和精度上明顯優(yōu)于極大似然估計(jì)法。

4.3實(shí)際算例1

圖3　p=2時(shí)，估計(jì)量p的相對(duì)偏差曲線Fig.3　The relative deviation curve of estimation p when p=2

圖4　p=2時(shí)，估計(jì)量σ的相對(duì)偏差曲線Fig.4　The relative deviation curve of estimation when p=2

n對(duì)數(shù)矩估計(jì)法極大似然估計(jì)法^p^u^σ迭代次數(shù)^p^u^σ迭代次數(shù)102.3234-0.03470.1244135.4122-0.04730.1377109201.9157-0.02130.075630.9999-0.02120.083182301.2138-0.01450.081340.9998-0.01460.084441401.73020.00980.097241.4567-0.01340.0977114501.50860.01990.098972.12410.01050.098346601.54640.00470.089351.88450.00590.088562701.5642-0.00750.099941.3412-0.00770.100943801.6296-0.00090.109651.80350.00050.109175901.6138-0.00270.1079121.8754-0.00120.1073721001.5943-0.00260.104581.7403-0.00290.109010

通過(guò)表4可以得出結(jié)論，當(dāng)樣本服從p=1.6的P范分布時(shí)，采用對(duì)數(shù)矩估計(jì)法估計(jì)形狀參數(shù)p值的估計(jì)精度要高于極大似然估計(jì)法，而對(duì)均值u和方差σ的估計(jì)效果相當(dāng)，同時(shí)對(duì)數(shù)矩估計(jì)法的迭代次數(shù)要遠(yuǎn)小于極大似然估計(jì)法，對(duì)數(shù)矩估計(jì)法的收斂速度較快，表明對(duì)數(shù)矩估計(jì)法能快速定位形狀參數(shù)p。

4.4實(shí)際算例2

由文獻(xiàn)[3]可知，經(jīng)消除GPS觀測(cè)值中的粗差，完成電離層折射誤差、對(duì)流層折射誤差等多項(xiàng)改正后，GPS輸出的最終觀測(cè)值誤差，經(jīng)檢驗(yàn)得知，該母體服從p=1.4的P范分布。

本文算例所用數(shù)據(jù)來(lái)自加拿大Algonquin Park的ALGO測(cè)站點(diǎn)，利用TPS NET-G3A接收機(jī)，采集獲得2013年4月28日全天的觀測(cè)數(shù)據(jù)。在獲得的32顆衛(wèi)星數(shù)據(jù)中，選取某顆衛(wèi)星偽距的PPP雙頻無(wú)電離層組合觀測(cè)值殘差進(jìn)行分析。取200個(gè)誤差值作為原始數(shù)據(jù)，分別利用對(duì)數(shù)矩估計(jì)法與極大似然估計(jì)法對(duì)參數(shù)u、p和σ進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果如表5所示。

表5不同方法計(jì)算得到的參數(shù)估值對(duì)比

Tab.5Comparison of parameters estimation via different methods

參數(shù)^p^u^σ迭代次數(shù)真實(shí)值1.4000000.00000——對(duì)數(shù)矩估計(jì)法1.381095-0.0504260.4452287極大似然估計(jì)法1.323699-0.0507350.44624613

從表5可以看出，針對(duì)本組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)形狀參數(shù)p為1.4時(shí)，兩種估計(jì)方法的效果均較好，其中對(duì)數(shù)矩估計(jì)法的精度稍高于極大似然估計(jì)法，且其迭代次數(shù)明顯少于極大似然估計(jì)，因此采用對(duì)數(shù)矩估計(jì)法能夠更快速精確地估計(jì)出誤差的實(shí)際分布參數(shù)，再次表明對(duì)數(shù)矩估計(jì)法優(yōu)于極大似然估計(jì)法。

5結(jié)論

本文研究了P范分布的實(shí)數(shù)階矩估計(jì)方法，利用模擬算例討論了階數(shù)r與參數(shù)估計(jì)精度的關(guān)系，推導(dǎo)出形狀參數(shù)、期望和中誤差的估計(jì)公式，引入對(duì)數(shù)矩估計(jì)方法，消除了伽瑪函數(shù)、普西函數(shù)的截?cái)嗾`差對(duì)參數(shù)估計(jì)值計(jì)算造成的影響，給出了相應(yīng)參數(shù)的求解方法和計(jì)算過(guò)程，用模擬算例和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文理論的正確性，得到了以下結(jié)論：

(1) P范分布能夠精確地確定觀測(cè)數(shù)據(jù)的最符合分布，本文給出了任意實(shí)數(shù)階矩估計(jì)公式。利用實(shí)數(shù)階矩估計(jì)法得到的參數(shù)估計(jì)值精度與階數(shù)的關(guān)系較大。當(dāng)階數(shù)r的取值越接近p，由實(shí)數(shù)階矩估計(jì)法計(jì)算得到的參數(shù)估計(jì)量相對(duì)偏差越小，其估計(jì)精度越高。然而在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中，r的選取方式比較復(fù)雜，合理的階數(shù)的選取方法值得進(jìn)一步研究。

(2) 對(duì)數(shù)階矩估計(jì)方法降低了算法的復(fù)雜度，計(jì)算簡(jiǎn)單。從模擬和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)數(shù)估計(jì)方法在參數(shù)估計(jì)的精度、穩(wěn)定性和收斂速度以及算法的復(fù)雜度等方面優(yōu)于極大似然估計(jì)方法。對(duì)于模擬數(shù)據(jù)，實(shí)數(shù)階和對(duì)數(shù)矩估計(jì)法略優(yōu)于極大似然估計(jì)法，對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)矩估計(jì)法優(yōu)勢(shì)較明顯，是一個(gè)較好的參數(shù)估計(jì)方案。

(3) 觀測(cè)數(shù)據(jù)的分布受外界因素和樣本數(shù)量的影響，采用P范分布能夠較好地估計(jì)參數(shù)，接近誤差的真實(shí)分布。觀測(cè)樣本數(shù)越大，計(jì)算得到的分布越接近它的真實(shí)分布，估計(jì)精度也越高。

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(責(zé)任編輯：張艷玲)

2016中國(guó)智慧城市與測(cè)繪地理信息發(fā)展高層論壇舉辦

[本刊訊]3月16日，由中國(guó)測(cè)繪地理信息學(xué)會(huì)、江蘇省測(cè)繪地理信息局、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)和鹽城市人民政府聯(lián)合主辦，《測(cè)繪學(xué)報(bào)》編委會(huì)、江蘇省測(cè)繪地理信息學(xué)會(huì)、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院、鹽城市科技局、江蘇星月測(cè)繪科技股份有限公司承辦的2016中國(guó)智慧城市與測(cè)繪地理信息發(fā)展高層論壇在鹽城舉辦。國(guó)家測(cè)繪地理信息局副局長(zhǎng)、中國(guó)測(cè)繪地理信息學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)李維森出席開幕式并講話，江蘇省測(cè)繪地理信息局局長(zhǎng)施建石、鹽城市人民政府副市長(zhǎng)張京麒出席開幕式并致辭，李德仁、王家耀、張祖勛、楊元喜、郭仁忠等兩院院士出席論壇。

李維森副局長(zhǎng)，李德仁、王家耀、楊元喜、郭仁忠院士，長(zhǎng)江學(xué)者吳立新教授分別作了題為《測(cè)繪地理信息與智慧城市》《展望大數(shù)據(jù)時(shí)代的地球空間信息學(xué)》《“互聯(lián)網(wǎng)+時(shí)空大數(shù)據(jù)”與智慧城市》《綜合PNT系統(tǒng)》《智慧城市：大數(shù)據(jù)時(shí)代的城市治理》《智慧大豐與資源環(huán)境動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)》的主題報(bào)告。論壇還設(shè)立了主題為“智慧城市與測(cè)繪地理信息發(fā)展”的高端對(duì)話環(huán)節(jié)，李德仁、張祖勛、楊元喜、郭仁忠、史照良、孫群、劉耀林、李滿春、吳立新等9位學(xué)者圍繞測(cè)繪地理信息在智慧城市建設(shè)中的作用、測(cè)繪地理信息行業(yè)如何借助“互聯(lián)網(wǎng)+時(shí)空大數(shù)據(jù)”實(shí)現(xiàn)跨界融合跨越發(fā)展、測(cè)繪地理信息行業(yè)如何更好地服務(wù)智慧城市建設(shè)等議題進(jìn)行了高端對(duì)話，并與參會(huì)人員進(jìn)行互動(dòng)。

會(huì)上，還舉行了星月測(cè)繪商城上線暨星月眾創(chuàng)空間啟動(dòng)儀式。來(lái)自政府部門、高校、科研機(jī)構(gòu)、企業(yè)界和媒體代表300余人參加了此次論壇。

(本刊編輯部)

Real Order and Logarithmic Moment Estimation Method of P-norm Distribution

PAN Xiong，LUO Jing，WANG Yao

Faculty of Information Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China

Abstract：The estimation methods of P-norm distribution is improved in this paper from the perspective of the parameters estimation precision and algorithm complexity. The real order and logarithmic moment estimation is introduced and the real order moment estimation method of P-norm distribution is established based on the actual error distribution. First of all, the relation between the shape parameter p and the real order value r is derived by using the real order moment estimation, and corresponding suggestions are provided for shape parameter’s selection. Then, the nonlinear estimation formula of shape parameter, expectations and mean square error is derived via logarithmic moment estimation, function truncation error on the calculation of parameter estimation is eliminated and the solving method of corresponding parameters and calculation process is given, leading an improvement of the theory. Finally, some examples are performed for analyzing the stability and precision of such three methods including real order moment, logarithmic moment and maximum likelihood estimation. The result shows that the stability, precision and convergence speed of the method in this paper are better than maximum likelihood estimation, which generalized the existing errors theory.

Key words：P-norm distribution; moment estimation; parameter estimation

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(41374017；40974002；11471105)；國(guó)家博士后基金(2005038362)

中圖分類號(hào)：P207

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2016)03-0302-08

作者簡(jiǎn)介：第一 潘雄(1973—)，男，博士后，教授，研究方向?yàn)闇y(cè)量數(shù)據(jù)處理的理論及應(yīng)用。E-mail： pxjlh@163.com

收稿日期：2015-03-30

引文格式：潘雄，羅靜，汪耀.P范分布的實(shí)數(shù)階與對(duì)數(shù)矩估計(jì)法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(3)：302-309. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150166.

PAN Xiong, LUO Jing, WANG Yao.Real Order and Logarithmic Moment Estimation Method of P-norm Distribution[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(3):302-309. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150166.

修回日期： 2015-11-04

First author： PAN Xiong(1973—),male, postdoctoral, professor, majors in the research on the theory and application of surveying data processing.