大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的解析封閉解

李博峰，黃善琪

同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

?

大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的解析封閉解

李博峰，黃善琪

同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China(Nos. 41374031;41574023); Open Research Fund of the State Key Laboratory of Geo-information Engineering(No. SKLGIE2013-M-2-2)；China Special Fund for Surveying, Mapping and Geo-information Research in the Public Interest(No. HY14122136)

摘要：傳統(tǒng)大地測(cè)量應(yīng)用中的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換往往涉及小角度旋轉(zhuǎn)，可只考慮旋轉(zhuǎn)角的一階量采用線性化方法求解?，F(xiàn)代空間測(cè)量技術(shù)成果應(yīng)用的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換涉及大角度旋轉(zhuǎn)，通過(guò)將旋轉(zhuǎn)矩陣所有元素作為未知數(shù)并利用旋轉(zhuǎn)矩陣正交條件采用附約束條件平差法迭代求解。本文以空間三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換為例，采用多元模型的矩陣形式將多點(diǎn)坐標(biāo)組成矩陣處理，并利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交條件導(dǎo)出了大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的解析分步解。同時(shí)引入兩套公共點(diǎn)坐標(biāo)誤差對(duì)傳統(tǒng)三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型擴(kuò)展，導(dǎo)出了同時(shí)顧及兩套公共點(diǎn)坐標(biāo)誤差的大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的解析解。試驗(yàn)表明：給出的大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換解析解能在實(shí)現(xiàn)與傳統(tǒng)迭代解等效轉(zhuǎn)換結(jié)果的同時(shí)，有效避免復(fù)雜耗時(shí)的迭代計(jì)算，提高計(jì)算效果。

關(guān)鍵詞：三維基準(zhǔn)變換；大旋轉(zhuǎn)角；布爾沙模型；EIV模型

采用基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換理論將傳感器測(cè)量基準(zhǔn)下的成果轉(zhuǎn)換至應(yīng)用基準(zhǔn)下的成果才能滿足實(shí)際應(yīng)用的需求[1-2]，基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的核心是利用公共點(diǎn)的兩套坐標(biāo)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)非公共點(diǎn)的成果轉(zhuǎn)換[3]。根據(jù)測(cè)量傳感器與實(shí)際應(yīng)用基準(zhǔn)的維度、尺度和旋轉(zhuǎn)的差異，可采用不同的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型，例如相似變換和仿射變換，以及不同數(shù)量參數(shù)的轉(zhuǎn)換模型[1-2]。

傳統(tǒng)大地測(cè)量應(yīng)用中的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換往往涉及小角度旋轉(zhuǎn)，且只考慮公共點(diǎn)的一套坐標(biāo)誤差，忽略了構(gòu)成系數(shù)陣的另一套坐標(biāo)誤差，因此可只考慮旋轉(zhuǎn)角的一階量，忽略二階及以上小量得到簡(jiǎn)單的線性基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型[1-6]。當(dāng)觀測(cè)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，采用最小二乘求解最優(yōu)估值。針對(duì)該線性基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型，提出高崩潰率的轉(zhuǎn)換參數(shù)抗差解法[4]以及用于局部區(qū)域三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的病態(tài)方法[5]；考慮到實(shí)際應(yīng)用中平面與高程系統(tǒng)分離，提出了采用過(guò)渡坐標(biāo)系的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型[6]；為了補(bǔ)償?shù)孛孀冃蔚纫蛩厮鸬狞c(diǎn)位系統(tǒng)性變化，提出了附加信號(hào)參數(shù)的基準(zhǔn)變換模型并采用擬合推估法求解[6-8]，且當(dāng)信號(hào)與觀測(cè)值的權(quán)重不匹配時(shí)，還可采用方差分量估計(jì)確定合理的權(quán)比[9-10]。

現(xiàn)代空間觀測(cè)技術(shù)對(duì)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換提出新需求：首先，由于自由式多傳感器的引入(例如無(wú)人機(jī)、LiDAR等)，使得傳感器直接測(cè)量成果與實(shí)際應(yīng)用基準(zhǔn)之間難免存在大旋轉(zhuǎn)角度(可達(dá)數(shù)十秒甚至幾度)；其次，由于多傳感器海量觀測(cè)數(shù)據(jù)和對(duì)測(cè)量成果的實(shí)時(shí)應(yīng)用，需要更高計(jì)算效率的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換方法。針對(duì)該問(wèn)題，需要發(fā)展適用于大旋轉(zhuǎn)角的高計(jì)算效率基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型。對(duì)于大旋轉(zhuǎn)角的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換已有大量研究，文獻(xiàn)[2]提出將旋轉(zhuǎn)矩陣所有元素作為未知數(shù)(并非將旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù))并利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交條件，采用附約束條件平差法迭代求解，該方法已成功應(yīng)用于攝影測(cè)量等領(lǐng)域[11]；文獻(xiàn)[12]采用四元素理論導(dǎo)出了任意旋轉(zhuǎn)角度的三維基準(zhǔn)解析方法，但該方法只適用于等精度觀測(cè)模型。

以解決現(xiàn)代空間觀測(cè)技術(shù)對(duì)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的新需求為初衷，本文以空間三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換為例，研究大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的解析解，實(shí)現(xiàn)高計(jì)算效率基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換。

1大旋轉(zhuǎn)角三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的迭代法

y=t+κRx+εy

(1)

式中，x和y分別為第1套和第2套基準(zhǔn)下的三維坐標(biāo)向量，εy為y的誤差；t、κ和R分別為平移參數(shù)、尺度參數(shù)和旋轉(zhuǎn)矩陣。由繞3個(gè)坐標(biāo)軸以旋轉(zhuǎn)角ωx、ωy和ωz旋轉(zhuǎn)構(gòu)成

(2)

傳統(tǒng)測(cè)量三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換中，旋轉(zhuǎn)角為小角度(通常幾秒的旋轉(zhuǎn)角度)以至于旋轉(zhuǎn)矩陣可近似為

(3)

因此，可通過(guò)線性化迭代求解7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)[1-2]。然而，在近景攝影測(cè)量等工業(yè)測(cè)量應(yīng)用中，旋轉(zhuǎn)角并非總是小角度，經(jīng)常涉及大角度，因此采用傳統(tǒng)的小角度數(shù)學(xué)模型處理需要對(duì)R矩陣中的3個(gè)旋轉(zhuǎn)角求偏導(dǎo)數(shù)線性化，公式比較復(fù)雜。文獻(xiàn)[2]提出了直接將旋轉(zhuǎn)矩陣中的9個(gè)元素作為未知參數(shù)，并附加旋轉(zhuǎn)矩陣正交約束條件RRT=I3，即對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣9個(gè)未知參數(shù)附加6個(gè)約束方程

(4)

式中，r=[r1,r2,…,r9]T。將式(2)代入式(1)并顧及約束條件式(4)，對(duì)t、κ和r共13個(gè)參數(shù)附加6個(gè)約束條件，得到附約束條件的線性化觀測(cè)模型

(5)

聯(lián)合n個(gè)公共點(diǎn)的附約束條件大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換誤差方程為

(6)

簡(jiǎn)記為

(7)

式中，第1個(gè)方程為公共點(diǎn)構(gòu)成的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換誤差方程，第2個(gè)方程為約束方程。在實(shí)際坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算中通常采用等權(quán)模型，本文假設(shè)公共點(diǎn)相互獨(dú)立且點(diǎn)位等精度，故協(xié)方差矩陣為

Ql=In?Qy

(8)

式中，Qy為點(diǎn)位協(xié)方差陣；?表示Kronecker積算子，其運(yùn)算準(zhǔn)則參考文獻(xiàn)[13]。每次迭代得到轉(zhuǎn)換參數(shù)附約束條件的最小二乘估值為

(9)

(10)

2大旋轉(zhuǎn)角三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換解析封閉解

為了提高大旋轉(zhuǎn)角三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的計(jì)算效率，本節(jié)研究大旋轉(zhuǎn)角三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的解析封閉解，其關(guān)鍵是采用多元模型的矩陣形式將n個(gè)公共點(diǎn)構(gòu)成矩陣處理。先通過(guò)等價(jià)差分變換消除平移參數(shù)并利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交條件計(jì)算尺度參數(shù)，再利用最小二乘求解旋轉(zhuǎn)矩陣，最后計(jì)算平移參數(shù)。

將n個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)表示為矩陣形式X=[x1x2…xn]、Y=[y1y2…yn]，則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的矩陣形式為

(11)

(12)

式(11)兩端右乘差分矩陣D，消去平移參數(shù)得到等價(jià)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為

(13)

(14)

因?yàn)樾D(zhuǎn)矩陣滿足RTR=I3，則

(15)

理論上可采用方程兩端矩陣的任意元素計(jì)算尺度參數(shù)，因此采用所有元素計(jì)算尺度參數(shù)的均值作為尺度參數(shù)的估值，則尺度參數(shù)的解析公式為

(16)

令Ξ=κR，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣模型(13)對(duì)應(yīng)的向量形式為

(17)

式中，vec為矩陣向量化算子[13]。最小二乘解為[14]

(18)

根據(jù)Kronecker積和向量化算子的性質(zhì)[13]vec(ABC)=(CT?A)vec(B)，得

(19)

將尺度參數(shù)估值式(16)代入，則旋轉(zhuǎn)矩陣解析解為

(20)

又因?yàn)?DTD)-1是冪等陣，即(DTD)-1=(DTD)-2，則

(21)

(22)

驗(yàn)后單位權(quán)方差為

(23)

3基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換擴(kuò)展模型的解析封閉解

從以上推導(dǎo)可以看出，傳統(tǒng)的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型只考慮了公共點(diǎn)的一套坐標(biāo)，即Y的誤差，忽略了作為系數(shù)矩陣的公共點(diǎn)坐標(biāo)X的誤差。近年來(lái)，諸多學(xué)者深入研究了同時(shí)考慮公共點(diǎn)兩套坐標(biāo)誤差的基準(zhǔn)變換，提出了整體最小二乘方法[15-18]。若能充分考慮非公共點(diǎn)與公共點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系，可進(jìn)一步提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度[3,19]。本節(jié)推導(dǎo)同時(shí)顧及兩套坐標(biāo)誤差的大角度基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換擴(kuò)展模型的解析解。

對(duì)坐標(biāo)X也引入誤差EX，則顧及兩套坐標(biāo)誤差的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為

(24)

令綜合誤差項(xiàng)為EZ=κREX-EY，式(24)重整為

(25)

式中，綜合誤差的協(xié)方差陣為QZZ=In?(ΞQxΞT+Qy)=In?Qz。兩邊右乘差分矩陣D消去平移參數(shù)

(26)

DTD?(ΞQxΞT+Qy)=DTD?Qz

(27)

(28)

此外，還可采用擬合推估方法求解X和Y的各自誤差[3]

(29)

該誤差的求解可用于分析兩套坐標(biāo)各自的誤差特性，例如兩套坐標(biāo)的方差分量估計(jì)[10]和粗差探測(cè)[20]等。

4算例與分析

采用WGS-84參考橢球參數(shù)，在區(qū)域40°N—41°N、100°E—101°E模擬坐標(biāo)轉(zhuǎn)換試驗(yàn)，沿緯度和經(jīng)度方向均每隔0.1°選取一個(gè)點(diǎn)，共121個(gè)點(diǎn)，如圖1所示。取大地高為0，計(jì)算得到所有點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)作為第1套坐標(biāo)。給定一組轉(zhuǎn)換參數(shù)t=[105020]T、κ=1+10×10-6D、3個(gè)旋轉(zhuǎn)角ωx=1°、ωy=0.5°和ωy=2.5°，轉(zhuǎn)換所有點(diǎn)第1套坐標(biāo)得到第2套坐標(biāo)。試驗(yàn)中，均勻地選取15個(gè)點(diǎn)作為公共點(diǎn),如圖1三角點(diǎn)所示，其余106個(gè)點(diǎn)為非公共點(diǎn),如圖1圓點(diǎn)所示。

圖1　模擬試驗(yàn)的公共點(diǎn)和非公共點(diǎn)分布Fig.1　The layout of common and uncommon points in simulation experiment

(30)

以及基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的點(diǎn)位精度為

(31)

圖2給出了附約束條件迭代解和解析解的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換500次試驗(yàn)結(jié)果，圖2(a)為兩種方法計(jì)算的驗(yàn)后單位權(quán)精度，圖2(b)和圖2(c)分別為兩種方法的3個(gè)坐標(biāo)分量和點(diǎn)位轉(zhuǎn)換精度。表1給出了兩種方法500次試驗(yàn)轉(zhuǎn)換精度平均值。顯然，兩種方法得到的驗(yàn)后單位權(quán)精度和3個(gè)坐標(biāo)分量及點(diǎn)位轉(zhuǎn)換精度相當(dāng)，即兩種方法的轉(zhuǎn)換效果等效。

圖2　大角度基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的迭代解(舊方法)與解析解(新方法)轉(zhuǎn)換精度比較Fig.2　Comparison of transformation accuracies between iteration method (old method) and analytical method (new method) for datum transformation with big angles

表1附約束條件迭代解和解析解500次試驗(yàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度均值

Tab.1The mean accuracies of 500 datum transformation experiments for iteration and analytical methods

cm

分析本文給出的大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換擴(kuò)展模型解析解在基準(zhǔn)變換中的應(yīng)用，給兩套坐標(biāo)模擬期望為零、精度為5 cm的正態(tài)分布隨機(jī)誤差，得到含有誤差的兩套坐標(biāo)。分別采用第2節(jié)的傳統(tǒng)附約束條件迭代解法和第3節(jié)的解析解法，同樣模擬計(jì)算500次，采用式(30)和式(31)統(tǒng)計(jì)轉(zhuǎn)換精度，結(jié)果如圖3所示，500次試驗(yàn)的轉(zhuǎn)換精度平均值如表2所示。同樣，兩種方法的3個(gè)坐標(biāo)分量及點(diǎn)位轉(zhuǎn)換精度相當(dāng)，但驗(yàn)后單位權(quán)精度差異較大，新方法得到的驗(yàn)后單位權(quán)精度4.69 cm與先驗(yàn)精度5 cm更為接近，而傳統(tǒng)迭代解的驗(yàn)后單位權(quán)精度達(dá)到7.22 cm。其原因是無(wú)論第2套坐標(biāo)受誤差影響與否，傳統(tǒng)迭代法只顧及第1套坐標(biāo)誤差，基于此理論估計(jì)的單位權(quán)精度必然不能反映實(shí)際觀測(cè)精度，而新的解析解法在一定程度上考慮了兩套坐標(biāo)誤差的影響，得到的驗(yàn)后精度更客觀。這一優(yōu)勢(shì)在實(shí)際應(yīng)用中是很關(guān)鍵的，因?yàn)橥ǔＯ闰?yàn)精度是未知的，只有求解正確的驗(yàn)后精度才能客觀地評(píng)定轉(zhuǎn)換參數(shù)精度，實(shí)現(xiàn)有效的粗差探測(cè)和假設(shè)檢驗(yàn)等。

表2附約束條件迭代解和解析解500次試驗(yàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的均值

Tab.2The mean accuracies of 500 datum transformation experiments for iteration and analytical methods

cm

圖3　大角度基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換擴(kuò)展模型的迭代解(舊方法)與解析解(新方法)轉(zhuǎn)換精度比較Fig.3　Comparison of transformation accuracies between iteration method (old method) and analytical method (new method) for extended datum transformation with big angles

如文中引言所述，為滿足現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)的實(shí)時(shí)應(yīng)用需求，需要高計(jì)算效率的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換方法，這也是本文研究基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換解析解的初衷之一，因此分析本文大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型解析解的計(jì)算效率。

以大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型為例，在該試驗(yàn)區(qū)域加密采樣，得到從200至4000個(gè)公共點(diǎn)，分別采用迭代法和解析法計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)，分析采用不同數(shù)量公共點(diǎn)的兩種方法計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)所需時(shí)間。結(jié)果如圖4所示，顯然迭代法所需時(shí)間遠(yuǎn)超過(guò)解析法，即解析法能得到與迭代法等效基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換精度的同時(shí)，有效提高基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換效率。

圖4　大角度基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型迭代解(舊方法)與解析解(新方法)的計(jì)算效率比較Fig.4　Comparison of computation efficiency between iteration method (old method) and analytical method (new method) for datum transformation with big angles

值得說(shuō)明的是，盡管本文算例中給出的大角度為2.5°，但從理論推導(dǎo)可看出，新方法不涉及大角度的線性化處理，因此可適用于任意角度旋轉(zhuǎn)的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換。

5結(jié)論

本文圍繞解決現(xiàn)代空間觀測(cè)技術(shù)對(duì)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換提出大旋轉(zhuǎn)角和高計(jì)算效率的需求，開展了大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型及其擴(kuò)展模型的解析解研究，得出以下結(jié)論：

(1) 大角度基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換解析解能得到與傳統(tǒng)附約束條件迭代解等效的轉(zhuǎn)換精度和驗(yàn)后單位權(quán)精度。

(2) 大角度基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換擴(kuò)展模型的解析解能得到與傳統(tǒng)附約束條件迭代解等效的轉(zhuǎn)換精度，且能計(jì)算可靠的驗(yàn)后單位權(quán)精度，而迭代解的驗(yàn)后單位權(quán)精度與實(shí)際精度相差較大。

(3) 本文給出的解析法在實(shí)現(xiàn)與迭代法等效轉(zhuǎn)換精度的同時(shí)，有效提高基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換效率，為海量數(shù)據(jù)應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱華統(tǒng), 楊元喜, 呂志平. GPS坐標(biāo)系統(tǒng)的變換[M]. 北京: 測(cè)繪出版社, 1994.

ZHU Huatong, YANG Yuanxi, Lü Zhiping. GPS Coordinate System Transformation[M]. Beijing: Surveying and Mapping Press, 1994.

[2]RAPP R H. Geometric Geodesy Part Ⅱ[M]. Ohio: Ohio State University, 1993.

[3]LI Bofeng, SHEN Yunzhong, LI Weixiao. The Seamless Model for Three-dimensional Datum Transformation[J]. Science China Earth Sciences, 2012, 55(12): 2099-2108.

[4]YANG Yuanxi. Robust Estimation of Geodetic Datum Transformation[J]. Journal of Geodesy, 1999, 73(5): 268-274.

[5]沈云中, 胡雷鳴, 李博峰. Bursa模型用于局部區(qū)域坐標(biāo)變換的病態(tài)問(wèn)題及其解法[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2006, 35(2): 95-98.DOI: 10.3321/j.issn:1001-1595.2006.02.001.

SHEN Yunzhong, HU Leiming, LI Bofeng. Ill-posed Problem in Determination of Coordinate Transformation Parameters with Small Area’s Data Based on Bursa Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2006, 35(2): 95-98. DOI: 10.3321/j.issn:1001-1595.2006.02.001.

[6]沈云中, 衛(wèi)剛. 利用過(guò)渡坐標(biāo)系改進(jìn)3維坐標(biāo)變換模型[J] .測(cè)繪學(xué)報(bào), 1998, 27(2): 161-165.

SHEN Yunzhong, WEI Gang. Improvement of Three Dimensional Coordinate Transformation Model by Use of Interim Coordinate System[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 1998, 27(2): 161-165.

[7]楊元喜, 徐天河. 不同坐標(biāo)系綜合變換法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版),2001, 26(6): 509-513.

YANG Yuanxi, XU Tianhe. The Combined Method of Datum Transformation between Different Coordinate Systems[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2001, 26(6): 509-513.

[8]YOU R, HWANG H.Coordinate Transformation between Two Geodetic Datums of Taiwan by Least-squares Collocation[J]. Journal of Surveying Engineering, 2006, 132(2): 64-70.

[9]楊元喜, 張菊清, 張亮. 基于方差分量估計(jì)的擬合推估及其在GIS誤差糾正的應(yīng)用[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2008, 37(2): 152-157.

YANG Yuanxi,ZHANG Juqing,ZHANG Liang.Variance Component Estimation Based Collocation and Its Application in GIS Error Fitting[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2008, 37(2): 152-157.

[10]李博峰, 沈云中, 樓立志. 基于等效殘差的方差-協(xié)方差分量估計(jì)[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2010, 39(4): 349-354.

LI Bofeng,SHEN Yunzhong,LOU Lizhi.Variance-covariance Component Estimation Based on the Equivalent Residuals[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2010, 39(4): 349-354.

[11]陳義, 陸玨, 鄭波. 近景攝影測(cè)量中大角度問(wèn)題的探討[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2008, 37(4): 458-463.

CHEN Yi, LU Jue, ZHENG Bo. Research on Close-range Photogrammetry with Big Rotation Angle[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2008, 37(4): 458-463.

[12]SHEN Yunzhong, CHEN Yi, ZHENG Dehua. A Quaternion-Based Geodetic Datum Transformation Algorithm[J]. Journal of Geodesy, 2006,80(5): 233-239.

[13]KOCH K R. Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models[M]. 2nd ed.Berlin: Springer,1999.

[14]張堯庭, 方開泰. 多元統(tǒng)計(jì)分析引論[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2013.

ZHANG Yaoting, FANG Kaitai. Multivariate Statistics Analysis[M]. Wuhan:Wuhan University Press, 2013.

[15]SCHAFFRIN B, WIESER A. On Weighted Total Least-squares Adjustment for Linear Regression[J]. Journal of Geodesy,2008, 82(7): 415-421.

[16]SHEN Yunzhong, LI Bofeng, CHEN Yi. An Iterative Solution of Weighted Total Least-squares Adjustment[J]. Journal of Geodesy, 2011,85(4): 229-238.

[17]FANG Xing. Weighted Total Least Squares: Necessary and Sufficient Conditions, Fixed and Random Parameters[J]. Journal of Geodesy,2013, 87(8): 733-749.

[18]XU Peiliang, LIU Jingnan, SHI Chuang. Total Least Squares Adjustment in Partial Errors-in-variables Models: Algorithm and Statistical Analysis[J]. Journal of Geodesy, 2012, 86(8): 661-675.

[19]李微曉, 沈云中, 李博峰. 顧及2套坐標(biāo)誤差的三維坐標(biāo)變換方法[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 39(8): 1243-1246.

LI Weixiao, SHEN Yunzhong, LI Bofeng. Three-dimensional Coordinate Transformation with Consideration of Coordinate Errors in Two Coordinate Systems[J].Journal of Tongji University (Natural Science), 2011, 39(8): 1243-1246.

[20]李博峰, 沈云中. 基于等效殘差積探測(cè)粗差的方差-協(xié)方差分量估計(jì)[J]. 測(cè)繪學(xué)報(bào), 2011, 40(1): 10-14.

LI Bofeng, SHEN Yunzhong. Equivalent Residual Product Based Outlier Detection for Variance and Covariance Component Estimation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2011, 40(1): 10-14.

(責(zé)任編輯：叢樹平)

Analytical Close-form Solutions for Three-dimensional Datum Transformation with Big Rotation Angles

LI Bofeng，HUANG Shanqi

College of Surveying and Geo-informatics, Tongji University, Shanghai 200092， China

Abstract：The small rotation angles are typically involved in the traditional geodetic datum transformation, for which one can iteratively solve for its linearized model with ignoring its second-smaller terms. However, the big rotation angles are introduced to transform the outcomes from the advanced space surveying techniques. For this transformation model with big rotation angles, all elements of rotation matrix are usually parameterized as unknown parameters and then solved with the constrained adjustment theory by using the orthogonal condition of rotation matrix. With three-dimensional datum transformation with big rotation angles as example, this paper derives the analytical close-form solutions by formularizing the coordinates of multi-points as a matrix and using the orthogonal condition of rotation matrix. Expanding the transformation model with introducing the errors to common points of both datum, we derive out its analytical solutions as well. The results of simulation computations show that the presented three-dimensional datum transformation can realize the comparable transformation result while the new method can outcome the complicated and time-consuming iterations, therefore improving the computation efficiency.

Key words：three-dimension datum transformation; big rotation angle; Bursa model; error-in-variables (EIV) model

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(41374031;41574023)；地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室開放研究基金(SKLGIE2013-M-2-2)；測(cè)繪地理信息公益性行業(yè)科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)(HY14122136)

中圖分類號(hào)：P223

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2016)03-0267-07

作者簡(jiǎn)介：第一 李博峰(1983—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)槎囝l多模GNSS數(shù)據(jù)處理理論及應(yīng)用新技術(shù)。E-mail： bofeng_li@#edu.cn

收稿日期：2015-03-02

引文格式：李博峰，黃善琪.大角度三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的解析封閉解[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(3)：267-273. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150108.

LI Bofeng，HUANG Shanqi.Analytical Close-form Solutions for Three-dimensional Datum Transformation with Big Rotation Angles[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(3):267-273. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150108.

修回日期： 2015-05-25

First author： LI Bofeng (1983—), male, PhD, professor,majors in multi-frequency, multi-GNSS data processing theory and new application technologies.