細長軸磨削時輔助支撐對自由振動的影響

李香飛，苗德華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機械工程學(xué)院，天津　300222）

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細長軸磨削時輔助支撐對自由振動的影響

李香飛，苗德華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機械工程學(xué)院，天津300222）

摘要：從振動角度分析支撐架剛度對工藝系統(tǒng)的影響，得出細長軸磨削時的受力簡化模型。將有支撐架輔助支撐的細長軸簡化為中間彈性支撐的超靜定梁模型，以支座反力替代彈性支撐的振動系統(tǒng)，根據(jù)連續(xù)梁的邊界條件及彈性支撐處的約束條件，得出頻率特征方程和自振頻率，將理論推導(dǎo)所得結(jié)果與有限元法所得結(jié)果進行對比，并分析中間彈性支撐位置變化時，細長軸各階頻率的變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：細長軸；超靜定結(jié)構(gòu)；彈性支撐；磨削加工

軸類零件中長徑比大于10及以上的屬于細長軸類型。細長軸常用于精密高速傳動部件，例如機床、武器裝備以及測量儀器等設(shè)備。細長軸已加工表面質(zhì)量是影響這些儀設(shè)備使用性能及其自身壽命的主要因素，因此對其進行合理的磨削加工對保證加工質(zhì)量十分必要。細長軸本身剛度較差，在磨削加工時易產(chǎn)生讓刀和振動現(xiàn)象。針對上述現(xiàn)象，國內(nèi)外學(xué)者通過建立加工模型實現(xiàn)在線實時檢測與補償，提高磨削加工質(zhì)量，這種誤差在線補償技術(shù)在行業(yè)內(nèi)獲得較好的應(yīng)用，但對于復(fù)雜的工藝模型，該技術(shù)還不能滿足加工要求。一些學(xué)者從磨削參數(shù)、磨削液以及安裝方式等方面提出了許多新方法，如宋燦等[1]提出以水射流輔助支撐、以射流沖擊力抵消背向力的設(shè)計思路，獲得較好的效果，但該技術(shù)還處于試驗階段，不能應(yīng)用于實際生產(chǎn)中。一般細長軸的加工常采用跟刀架或中心架提高工藝系統(tǒng)的剛度，文獻[2]提出采用跟刀架來提高磨削剛度，討論了跟刀架剛度對系統(tǒng)振動的影響。文獻[3]在細長軸磨削工藝改進中提出了在支撐處裝加減振棒，提高工藝系統(tǒng)剛度，但沒有討論中心架位置對工藝系統(tǒng)頻率的影響。上述文獻中都提到中心架支撐托架的固有頻率會對工藝系統(tǒng)的振動產(chǎn)生一定影響，因此本文從振動角度研究分析支撐架剛度對工藝系統(tǒng)的影響，得出細長軸磨削時的受力簡化模型。根據(jù)連續(xù)梁的邊界條件及彈性支撐處的約束條件，得出頻率特征方程和自振頻率，同時分析中間彈性支撐位置變化時細長軸各階頻率的變化規(guī)律。

1　細長軸加工工藝系統(tǒng)力學(xué)模型

采用MM1336外圓磨床進行細長軸加工，為減小固定頂尖支撐力隨機變化引起的細長軸振動，采用彈性頂尖的裝夾方式，其中一端為液壓頂尖，一端為固定頂尖。由于細長軸剛性差，故采用中心架進行輔助支撐。在加工前先對細長軸進行冷校直，采用中心架放在軸中間處的支承方式，使L/d值為原來的1/2，這樣在磨削時工藝系統(tǒng)的剛性可增加幾倍。在放上中心架之前，須在軸中心架位置處預(yù)先磨出一段與支承爪對應(yīng)的外圓面，其表面粗糙度及圓柱度誤差應(yīng)在公差要求范圍內(nèi)，以免影響加工精度。因此，先磨削中心架位置并留有適當(dāng)?shù)挠嗔浚詼p小軸的彎曲變形引起的內(nèi)應(yīng)力。

磨削加工時，細長軸會受磨削力Fx、Fy和Fz作用，F(xiàn)x引起的橫向振動可忽略不計。磨削力Fy和Fz引起在xOy平面和xOz平面的橫向振動響應(yīng)分別以y（x，t）和z（x，t）表示，y（x，t）和z（x，t）是關(guān)于切削位置x和時間t的二元函數(shù)。對于簡支梁，其邊界條件為：y（0，t）= 0，y（L，t）= 0。中間有中心架輔助支撐的簡化模型如圖1所示。

圖1　具有輔助支撐的細長軸

將支撐簡化為彈性支撐的連續(xù)細長軸，其彈性支承的剛度為kr（r = 1，2，…，r）。用集中力代替輔助支撐的簡化模型如圖2所示[4]。

圖2　受力簡化模型

激振力為F是切削力（F為不同平面的磨削力Fy、Fz），圖2所示的超靜定細長軸的強迫振動方程為[4]：

式中：EI為抗彎剛度；ρ為材料密度；A為軸的截面積；f（x，t）為外力，包括彈性支反力和切削力，f（x，t）的表達式為：

式中：v = n·f/60為砂輪沿軸向移動的速度；δ為狄拉克函數(shù)；F0為橫向力，在xOy平面內(nèi)F0= Fy，在xOz平面內(nèi)F0= Fz。

狄拉克函數(shù)的特性為：

在Xr處的位移約束條件為：

采用振型分解法對微分方程求解，梁在強迫振動下的動撓度y（x，t）表示為：

式中：φi（x）為主振型函；qi（t）為廣義振型坐標(biāo)，由振型正交性質(zhì)，對式（4）兩邊同乘以φn（x）dx并進行積分，得到：

當(dāng)i≠n時，等式右邊積分為0，于是得到第n項的振型表達式為：

對簡支梁的振動方程進行分解，將式（2）—式（4）代入式（1）得：

將式（3）代入式（1）化簡后，兩端同乘以φn（x）dx，再進行全長積分，得到第n個振型的廣義坐標(biāo)運動方程為：

式中：對于等截面的簡支梁，振型函數(shù)設(shè)為三角函數(shù)：

將式（9）代入式（8）得：

令

則式（10）化簡為：

由于磨削時，先磨削彈性支撐位置，并留有較小的余量，因此初始時刻，細長軸的彎曲撓度忽略不計。在t = 0時刻，qn（0）= q′n（0）= 0。令τn= nπv/l

可得：

方程（13）的通解為：

由初始條件qn（0）= q′n（0）= 0可得：

將式（9）、式（14）和式（15）代入式（4）中，求得由移動切削力引起的xOy平面內(nèi)工藝系統(tǒng)位移響應(yīng)為：

由于xOz平面內(nèi)的受力與xOy平面內(nèi)相同，根據(jù)以上方法可得到xOz平面內(nèi)F0引起的軸的振動響應(yīng)。

2　實例分析

一中心架支撐簡圖如圖3所示。圖中兩端為簡支的兩跨連續(xù)梁，梁的橫截面尺寸為b×h = 0.2×0.3 m，單段長度為L1= L2= 3 m，材料密度為ρ=7 800 kg·m-3，彈性模量為E = 210 GPa，彈性支撐剛度為K = 5.426× 107N/m。

圖3　一中心架支撐簡圖

在沒有施加切削力時，低階頻率對系統(tǒng)影響最大，因此取前3階頻率。系統(tǒng)的頻率由式（11）計算得到，其結(jié)果與文獻[4]得到的結(jié)果進行比較，如表1所示。采用本文的公式得到的結(jié)果與有限元分析得到的結(jié)果相比，二者誤差小于1%，結(jié)果基本一致，由此驗證了本文推導(dǎo)過程的正確性。

表1　本文計算的前3階頻率結(jié)果與有限元法計算結(jié)果的比較

3　支撐位置對頻率的影響

現(xiàn)針對兩中心架支撐的工藝系統(tǒng)進行分析，中心架位置如圖4所示。

圖4　中心架位置簡圖

由圖4可知，X1、X2的邊界條件為：

將式（17）代入式（11）化簡得：

令

對式（19）求關(guān)于X1、X2的偏導(dǎo)數(shù)，獲得使βn最大值時X1、X2的取值，X1、X2的取值情況如表2所示。

由表2可知，當(dāng)X1、X2對稱布置時，βn達到最大值。設(shè)ε是X1與l的比值，X1、X2呈對稱布置，由式（17）可知ε取值范圍是[0，1/2]，采用Matlab繪出1～3階頻率與中心架位置的關(guān)系曲線，如圖5所示。

表2　最大值時X1、X2的取值情況

圖5　1～3階頻率與中心架位置關(guān)系曲線圖

由表2數(shù)據(jù)可知，采用對式（19）求偏導(dǎo)獲取最優(yōu)中心架位置的方法可行，通過數(shù)據(jù)分析得出兩中心架對稱布置時，式（19）取得最大值。由圖5(a）可知，系統(tǒng)第1階段頻率隨中心架位置的變動而變動，變化規(guī)律呈拋物線狀，當(dāng)中心架在細長軸1/2處，系統(tǒng)的頻率取得最大值；由圖5（b）可知，系統(tǒng)第2階段頻率變化規(guī)律與圖5（a）的一致，但峰值位置發(fā)生變化，出現(xiàn)在細長軸1/4處；由圖5（c）可知，第3階頻率與支撐位置之間的關(guān)系呈正弦曲線，在細長軸1/6處系統(tǒng)頻率達到峰值，這與實際加工時支撐布置工況相符合。通過對研究所得數(shù)據(jù)進行分析，從理論上解釋了中心架對稱分布的合理性。由分析可知，在第1階頻率，兩中心架在軸的中間位置重合，此處為剛性最薄弱的環(huán)節(jié)；在第2階頻率，剛性薄弱環(huán)節(jié)在軸的1/4處與3/4處；而第3階頻率的剛性薄弱環(huán)節(jié)在軸的1/6處與5/6處。

4　結(jié)束語

本文研究了細長軸磨削時彎曲變形及振幅等對磨削的影響?；跈M向振動原理建立了細長軸磨削過程的振動模型，并從力學(xué)及數(shù)值分析方面得出輔助支撐部件剛度引起的被加工工件振動響應(yīng)的關(guān)系式；通過數(shù)值計算以及仿真分析了中心架尺寸變化對工藝系統(tǒng)振動頻率的影響，找到了中心架布置的最佳位置；從理論角度提出可通過中心架對稱布置來提高工藝系統(tǒng)剛度，減小加工變形。本研究的結(jié)果為細長軸類磨削工藝制定提供了理論依據(jù)。

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Effects of assistant supporting mechanism on free vibration in slender bar grinding

LI Xiang-fei，MIAO De-hua
（School of Mechanical Engineering，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：Study on the influence of brace stiffness on the process system from a perspective of vibration analysis and obtains a simplified mechanical model of slender shaft grinding.The slender bar with center rests is simplified to a static indeterminate beam with flexible supports.According to the boundary conditions of continuous beam and elastic constraints，the frequency equation and the natural frequencies are obtained.The results from this theoretical research and the finite element method are compared.Furthermore，this paper obtains the patterns of each order natural frequency by analyzing the change of elastic support location.

Key words：slender bar；statically indeterminate structure；flexible support；grinding machining

作者簡介：李香飛（1986—），男，碩士研究生；苗德華（1957—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為機械設(shè)計、新材料的開發(fā)與性能等.

基金項目：天津市科技計劃項目（15ZXZNGX00220）.

收稿日期：2016-01-07

中圖分類號：TG580

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：2095－0926（2016）01－0041－04