走近丟番圖

孫曉祥

丟番圖（Diophantus of Alexandria），生活在約公元250年前后，丟番圖的生平事跡人們知道得很少. 但在一本《希臘詩文選》（The Greek anthology）【這是公元500年前后的遺物，大部分為語法學(xué)家梅特羅多勒斯（Metrodorus）所輯，其中有46首和代數(shù)問題有關(guān)的短詩（epigram）. 以下所引的是第126題.】中，收錄了他的墓志銘：“墳中安葬著丟番圖.上帝給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭. 五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓. 悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過四年，他也走完了人生的旅途.”意思即是：丟番圖的一生，幼年占，青少年占，又過了才結(jié)婚，5年后生子，子先父4年而卒，壽為其父之半. 這相當(dāng)于方程+++5++4=x，x=84，由此知道丟番圖享年84歲.

亞歷山大的丟番圖對代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了極其重要的作用，對后來的數(shù)論學(xué)者有很深的影響. 他有幾種著作，最重要的是《算術(shù)》，還有一部《多角數(shù)》，另一些已遺失. 《算術(shù)》是一部劃時代的著作，它在歷史上影響之大，可和歐幾里得的《幾何原本》相媲美.

丟番圖的《算術(shù)》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程. 現(xiàn)在對于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫作丟番圖方程，它是數(shù)論的一個分支. 不過丟番圖并不要求解答是整數(shù)，而只要求是正有理數(shù).

從另一個角度看，《算術(shù)》一書也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍. 代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最大特點是引入了未知數(shù)，并對未知數(shù)加以運(yùn)算. 就引入未知數(shù)、創(chuàng)設(shè)未知數(shù)的符號，以及建立方程的思想（雖然未有現(xiàn)代方程的形式）這幾方面來看，丟番圖的《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù).

希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命題才是可靠的. 為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣. 一切代數(shù)問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中. 直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來，擺脫了幾何的羈絆. 他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨樹一幟. 他被后人稱為“代數(shù)學(xué)之父”不無道理.