精選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，踐行“用教材教”——以七年級(jí)“余角與補(bǔ)角”教學(xué)為例

☉江蘇省南通市通州區(qū)西亭初中　邵　艷

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精選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，踐行“用教材教”——以七年級(jí)“余角與補(bǔ)角”教學(xué)為例

☉江蘇省南通市通州區(qū)西亭初中邵艷

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》，嚴(yán)冬梅老師在文1中對專家教師李庾南老師“余角與補(bǔ)角”新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了解讀和賞析，感受到專家教師辨識(shí)學(xué)段特征的功夫，同時(shí)在初中幾何起始教學(xué)階段就重視對學(xué)生的推理表達(dá)能力的訓(xùn)練，讓筆者深受教益.恰好在最近一次教研活動(dòng)中，筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教七年級(jí)“余角與補(bǔ)角”新課，借鑒了上述課例中的很多觀點(diǎn)和立意，研討課取得較好的反響和好評(píng).本文整理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并整體闡釋教學(xué)立意，與更多同行分享.

一、“余角與補(bǔ)角”教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：由一組習(xí)題引入定義

開課之初，在黑板上依次畫出一條直線AB，在直線AB上取一點(diǎn)O，利用三角尺引射線OC使∠BOC為直角，再利用三角尺作出∠COD= 30°（如圖1）.

圖1

問題1：圖中除平角外，有幾個(gè)角？如何表示？

問題2：圖中有幾個(gè)銳角？銳角的度數(shù)有什么關(guān)系？圖中鈍角的度數(shù)是多少？

預(yù)設(shè)意圖：復(fù)習(xí)角的概念、表示法，并會(huì)利用平角、直角的關(guān)系求出其他角的度數(shù).“問題2”為進(jìn)一步定義互余、互補(bǔ)提供“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”情境.

互余的定義：兩個(gè)角的和等于90°，就說這兩個(gè)角互為余角，簡稱互余.

講解：如果∠1+∠2=90°，就可以說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角.如果兩個(gè)角互余，把兩個(gè)角粘在一起的話，就構(gòu)成一個(gè)直角.如圖2.

圖2

互補(bǔ)的定義：如果兩個(gè)角的和等于一平角（180°），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ).

講解：如圖3，∠3+∠4=180°，所以∠3，∠4互為補(bǔ)角.∠3是∠4的補(bǔ)角，∠4也是∠3的補(bǔ)角.

注意：提醒互余、互補(bǔ)只是定義了兩個(gè)角度之間的數(shù)量關(guān)系，與位置關(guān)系無關(guān).但是一些具有特殊位置關(guān)系的角，如圖1、圖2、圖4中的兩角就同時(shí)具有互余或互補(bǔ)的性質(zhì).

環(huán)節(jié)2：一幅三角尺擺放出的互余、互補(bǔ)關(guān)系

過渡語：現(xiàn)在同學(xué)們都知道了一幅三角尺中兩個(gè)銳角都是互余關(guān)系.下面讓我們把一幅三角尺進(jìn)行如下不同的擺放（圖5～8），試分析α、β之間的關(guān)系.

圖5　

圖6

圖7

圖8

問題3：α與β一定相等的擺放方式有幾種？

預(yù)設(shè)意圖：圖6、圖7中α與β一定相等，這時(shí)追問學(xué)生推理依據(jù).給學(xué)生寫出規(guī)范的推理語句，并總結(jié)性質(zhì)：同角（等角）的余（補(bǔ)）角相等.

問題4：你發(fā)現(xiàn)上述擺放方式中的α與β還有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

預(yù)設(shè)意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)互補(bǔ)、互余兩種關(guān)系.特別是圖8中這種互余的關(guān)系，在后來的幾何解題中有廣泛的應(yīng)用，這里需要讓學(xué)生熟悉它們互余的道理，如何推證，寫出簡單的推理語句是這里訓(xùn)練的重點(diǎn).

環(huán)節(jié)3：畫圖探究“雙角平分線”基本圖形及性質(zhì)

圖9

畫圖：如圖9，畫∠AOB=90°，在其內(nèi)部引射線OC，再用量角器作射線OM、ON，使OM平分∠AOC、ON平分∠BOC.

安排學(xué)生度量∠MON的度數(shù)并小組內(nèi)核對度量結(jié)果，思考∠MON的度數(shù)與∠AOB的度數(shù)有何關(guān)系？

預(yù)設(shè)意圖：這是一個(gè)經(jīng)典問題，與之前學(xué)生在線段雙中點(diǎn)問題中積累下來的解答經(jīng)驗(yàn)類似，需要學(xué)會(huì)洞察這類問題的深層結(jié)構(gòu)，并學(xué)會(huì)推證結(jié)論.

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測

引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)本課所學(xué)互余、互補(bǔ)的概念和性質(zhì)之后，進(jìn)行5分鐘的限時(shí)檢測.

二、教學(xué)立意的整體闡釋

1.精選數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)引入新課

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)數(shù)學(xué)情境包括生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)及其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，對于初中幾何教學(xué)來說，特別是一個(gè)知識(shí)板塊中的幾何內(nèi)容，注意從前后一致、邏輯連貫的角度預(yù)設(shè)開課情境.像本課余角、補(bǔ)角的教學(xué)，很多教材上都是從一幅三角尺中兩個(gè)銳角互余出發(fā)，引入新課，這種引入方式固然有一定的合理性，學(xué)生也能接觸互余、互補(bǔ)的概念.然而從幾何知識(shí)的邏輯嚴(yán)密性來看，前面剛學(xué)習(xí)線段、角的初步知識(shí)，并沒有學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理，而使用三角尺來引入余角的定義顯得有些邏輯性上的缺陷.基于上述認(rèn)識(shí)，我們選擇了在圖1中先畫平角、再畫直角、再畫30°角這樣漸進(jìn)式畫圖的方式，呈現(xiàn)出一些角度之間的關(guān)系，既是對前面所學(xué)幾何內(nèi)容（特別是角的表示法及度量角度等）的復(fù)習(xí)，又為定義余角提供了有效的數(shù)學(xué)情境.從這個(gè)意義上看，我們所謂的“貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)”就不僅是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，還需要從所教學(xué)內(nèi)容的邏輯性、前后一致的高觀點(diǎn)來審查、取舍教學(xué)情境的預(yù)設(shè).

2.預(yù)設(shè)畫圖活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生幾何文字語言與圖形的對應(yīng)能力

本課中，我們預(yù)設(shè)了多處畫圖活動(dòng)，不僅開課時(shí)由教師示范作圖，并成為開課階段的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情境；在教學(xué)環(huán)節(jié)3中，又安排學(xué)生畫一個(gè)直角的“雙角平分線”圖形，并經(jīng)歷度量、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，應(yīng)該說前面的畫圖是發(fā)展學(xué)生幾何文字語言與圖形的對應(yīng)能力，后面的驗(yàn)證則是初步訓(xùn)練學(xué)生的推理能力.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，一些幾何適應(yīng)性偏弱的學(xué)生，常常是幾何文字語言與圖形之間的對應(yīng)、轉(zhuǎn)譯能力存在障礙.一個(gè)教學(xué)現(xiàn)實(shí)是：不少學(xué)生面對文字命題常常表現(xiàn)出較低的適應(yīng)性，而很多文字命題往往又會(huì)出現(xiàn)圖形位置的不確定性，需要分類討論.可見，幾何起始階段教學(xué)，重視文字語言與圖形語言、符號(hào)語言之間的對應(yīng)或轉(zhuǎn)譯是十分重要的.

3.辨別學(xué)段特征，幾何起始教學(xué)時(shí)做好推理語句的示范與引領(lǐng)

初中幾何學(xué)習(xí)不同于小學(xué)圖形的學(xué)習(xí)，初中幾何主要是歐氏幾何系統(tǒng)，以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維、理性精神為主.上述學(xué)段特征明確之后，就需要排除大量現(xiàn)實(shí)情境的干擾，引導(dǎo)學(xué)生善于抽象分離出幾何圖形并初步使用推理語言進(jìn)行表達(dá)、推理或說明.在上面課例中，我們在環(huán)節(jié)2中，結(jié)合三角尺擺放后出現(xiàn)的α、β相等的情況，引導(dǎo)學(xué)生從推理的角度說明，借助學(xué)生在方程學(xué)習(xí)中已有的等式性質(zhì)推理說明.事實(shí)上，就后續(xù)幾何證題所需要的解題能力來看，等式性質(zhì)參與下的幾何解題技能是普遍使用的，特別是在全等三角形證明過程中對于間接條件的處理.

4.注重變式設(shè)問，培養(yǎng)學(xué)生洞察問題深層結(jié)構(gòu)的能力

在教學(xué)環(huán)節(jié)3中，通過“雙角平分線”基本圖形的研究，引導(dǎo)學(xué)生感受這個(gè)問題結(jié)構(gòu)與之前線段學(xué)習(xí)時(shí)積累到的“雙中點(diǎn)”基本圖形的經(jīng)驗(yàn)，能培養(yǎng)學(xué)生洞察問題深層結(jié)構(gòu)的能力.而這種深刻的洞察力、敏銳的捕捉力恰恰是后續(xù)繁雜圖形問題能否快速貫通思路的關(guān)鍵.

三、結(jié)束語

有人說，越簡單的教學(xué)內(nèi)容往往越難教學(xué).多輪循環(huán)教學(xué)之后，筆者教過“余角和補(bǔ)角”不下十余次，此前多是簡單照搬教材內(nèi)容，照本宣科，沒有能從“教教材”走向“用教材教”.這次算是一次初步嘗試，雖然獲得聽課同行的好評(píng)，也引發(fā)一些人的議論，期待聽到更多的批判與建議，更歡迎類似案例跟進(jìn)，讓“用教材教”這種教學(xué)“風(fēng)氣”得到進(jìn)一步傳播.

參考文獻(xiàn)：

1.嚴(yán)冬梅.辨識(shí)學(xué)段特征，重視推理訓(xùn)練——李庾南老師“余角與補(bǔ)角”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015 （9）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.劉東升.辨別學(xué)段特征：初中幾何教學(xué)的用力點(diǎn)——以“圓（第1課時(shí)）”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（3）.