以本為本：復(fù)習(xí)課如何“用教材教”——以勾股定理復(fù)習(xí)課教學(xué)為例

☉江蘇省如皋市城北初級中學(xué)　周　兵

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以本為本：復(fù)習(xí)課如何“用教材教”——以勾股定理復(fù)習(xí)課教學(xué)為例

☉江蘇省如皋市城北初級中學(xué)周兵

2015年《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）發(fā)表了多篇關(guān)于勾股定理新授課的課例研究，老師們對勾股定理起始課研究頗見功夫，反映了各自在理解數(shù)學(xué)上的深度，筆者受益其中.對比之下，勾股定理復(fù)習(xí)課的研究卻并不多見，本地區(qū)近期在一次教研活動中就選擇了該課題展開教學(xué)研討，筆者有幸執(zhí)教勾股定理復(fù)習(xí)課，由于創(chuàng)造性地使用教材，開發(fā)教材內(nèi)容，緊貼教學(xué)主線，融通相關(guān)內(nèi)容，取得較好的教學(xué)效果，本文呈現(xiàn)該課的教學(xué)流程，并跟進闡釋教學(xué)立意，提供研討.

一、勾股定理復(fù)習(xí)課教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1.直角三角形三邊長的特殊關(guān)系

問題1：本章我們學(xué)習(xí)了勾股定理，勾股定理主要揭示了直角三角形三邊長的特殊關(guān)系，這就是兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖1，可以求出AB=？（學(xué)生口答出5之后，找一個學(xué)困生說明過程，鞏固勾股定理）

圖1

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)課開課階段，低起點起入，吸引學(xué)生全員參與，而這個特殊的數(shù)據(jù)為下一復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)提供對照.

問題2：我們是如何證明勾股定理的呢？你學(xué)會了哪些方法？

設(shè)計意圖：安排學(xué)生上臺展示自己理解的勾股定理證明方法，對于不同的證明方法要求學(xué)生概述思路，并闡釋這種證明方法的關(guān)鍵之處是什么？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？比如，趙爽弦圖體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)家“出入相補原理”等.這里的追問與對話，不僅限于展示學(xué)生與教師之間，教師也可追問臺下學(xué)生對臺上展示學(xué)生之間的展開互動、對話.

圖2

教學(xué)環(huán)節(jié)2.已知三角形三邊長，如何判斷直角三角形

問題3：我們在研究了勾股定理之后，還研究了它的逆命題，如圖2，已知一個三角形的三邊，如何判斷直角三角形呢？（預(yù)設(shè)：根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判定圖2中的∠F是直角）

問題4：我們也知道，與勾股定理的證明方法眾多相比，勾股定理的逆定理的證法就少了很多，你學(xué)會了哪種證法呢？

設(shè)計意圖：安排學(xué)生上臺對照圖1、圖2進行講解，即先構(gòu)造一個直角三角形，使得兩條直角邊等于圖2中的兩條邊長，這里在圖1中利用勾股定理計算出斜邊AB= 5=DE，從而根據(jù)“SSS”證明△DEF≌△ABC，從而得出圖2中的∠F=∠C=90°.

問題5：在學(xué)習(xí)這章過程中，有人認為需要積累很多勾股數(shù)，這對于提升解題效率很有幫助，你們積累了哪些勾股數(shù)組呢？（學(xué)生口答，追問補充）

拓展1：古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)，你認為對嗎？如果對，說明理由.（需要安排學(xué)生獨立演算，然后匯報自己的演算結(jié)果）

拓展2：有人還把柏拉圖上述結(jié)論進一步拓展，提出命題：如果m，n表示大于1的不等整數(shù)，a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2，那么a，b，c為勾股數(shù).（繼續(xù)安排學(xué)生演算之后再匯報它們的證明過程，證明之后，安排學(xué)生利用這個規(guī)律，舉例寫出兩組勾股數(shù)組）

拓展3：有人指出（3，4，5）可以看成是方程x2+y2=z2的一個正整數(shù)解，你能否再找出一個正整數(shù)解嗎？（學(xué)生會受到勾股數(shù)組啟示，寫出很多）你能否寫出這個三元二次方程的“通解”嗎？（預(yù)設(shè)：x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，其中m，n表示大于1的不等整數(shù)）

教學(xué)環(huán)節(jié)3.例題講評

圖3

例1如圖3，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD= 12，AD=13，∠B=90°.

（1）連接AC，求AC的長；

（2）求證：AC⊥CD；

（3）求點C到AD的距離；

（4）請你再設(shè)計一個問題，并在小組內(nèi)交流，再到全班展示.

圖4

（1）若正方形的周長為16cm，求△AEF的周長；

（2）若正方形的邊長為a，求△AEF的周長（用含a的式子表示）；

（3）有人指出圖4中，一共有4個直角三角形，你覺得呢？理由是什么？

預(yù)設(shè)講評：這兩個例題改編自教材習(xí)題，設(shè)計了系列問題，既需要使用勾股定理，又需要運用逆定理.教學(xué)時可以使用PPT的動畫漸次呈現(xiàn)問題（如圖5），使得學(xué)生的思維有序深入.教師通過對話、啟發(fā)、追問，把更多學(xué)生的思維吸引到問題探究上來.

圖5

教學(xué)環(huán)節(jié)4.課堂小結(jié)

小結(jié)：從勾股定理全章來看，我們不僅學(xué)會了勾股定理的原命題、逆命題，也感受到原命題與逆命題之間的差異.那么在幾何學(xué)習(xí)時，是否原命題成立，逆命題也一定成立呢？請舉例說說.（預(yù)設(shè)學(xué)生舉例，比如對頂角相等）我們也學(xué)到了不少定理、逆定理，請舉例說說.（預(yù)設(shè)學(xué)生舉例，比如等邊對等角、等角對等邊）

附：當堂檢測題

（1）請寫出方程“x2+y2=z2”的兩個正整數(shù)解.

（2）在例2中，給出“新定義”：如果一個直角三角形的兩條直角邊之比為1∶2時，稱該直角三角形為“半正切三角形”.請指出圖4中所有的“半正切三角形”.

（3）設(shè)直角三角形的兩條直角邊、斜邊、斜邊上的中線和高分別為a，b，c，m，h.

二、教學(xué)立意的進一步解讀

1.以本為本，復(fù)習(xí)課也要重視“用教材教”

人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室原主任章建躍編審曾指出：“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細選的.”［1］應(yīng)該承認，當前各級賽課活動、示范課中，對于新授課的教學(xué)研討，老師們普遍重視教材的理解和創(chuàng)造性的使用，然而在一些常態(tài)的復(fù)習(xí)課中，離開教材找來一些考題、習(xí)題充當復(fù)習(xí)學(xué)案內(nèi)容的現(xiàn)象還不在少數(shù).正是基于上述認識，我們在預(yù)設(shè)本課教學(xué)內(nèi)容時努力理解教材，熟悉人教版八年級教材的同行應(yīng)該知道，在勾股定理章末小結(jié)時，教材上提供了5個問題：

（1）直角三角形三邊的長有什么特殊的關(guān)系？

（2）趙爽證明勾股定理運用了什么思想方法？

（3）已知一個三角形的三邊長，怎樣判斷它是不是直角三角形？你作判斷的依據(jù)是什么？

（4）證明勾股定理的逆定理運用了什么方法？

（5）一個命題成立，它的逆命題未必成立.請舉例說明.

這樣來比對上文中的課例路徑，可見，我們預(yù)設(shè)的一條教學(xué)主線正是基于教材上的這“5個問題”.此外，本課中的例題、拓展中的問題都選自教材習(xí)題，也是我們重視教材、以本為本的直接體現(xiàn).

2.對話教學(xué)，備課時預(yù)設(shè)系列追問是前提

當前教學(xué)倡導(dǎo)對話已深入人心，然而如何讓這一理念落地，卻還有很長的路要走.一個現(xiàn)實的做法就是，在備課時減少選題的數(shù)量，而走上精選母題的道路，并針對入選的母題展開系列追問，通過如上文中PPT動畫方式漸次呈現(xiàn)系列問題的策略，每呈現(xiàn)一個問題，就安排學(xué)生思考、表達，教師在這個過程中起到主導(dǎo)發(fā)問、啟發(fā)探究、穿針引線的作用，把問題從一個學(xué)生引向另外的學(xué)生，促進師生之間的互動、生生之間的對話互動，讓教學(xué)對話走向深入，吸引學(xué)生更多的思維參與.特別是，我們不僅在例題教學(xué)環(huán)節(jié)加強了系列設(shè)問，在課堂最后的檢測題中，還注意了例2的互動、拓展，開發(fā)一個“新定義”問題.

三、結(jié)束語

華東師大終身教授鐘啟泉先生曾指出：“教師不能滿足于現(xiàn)成教科書的普適性預(yù)設(shè)，而是需要在課堂教學(xué)之前，根據(jù)本校、本班學(xué)生的實際重新作出預(yù)設(shè).”并認為新、舊教學(xué)的分水嶺就是從“教教材”過渡到“用教材教”.我們在復(fù)習(xí)課中重視教材、以本為本的實踐還很初步，期待更多的實踐跟進與案例分享.

參考文獻：

1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3～5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.