依靠“基本套路”，踐行“單元教學(xué)”——以“矩形、菱形”第1課時(shí)教學(xué)為例

☉浙江省溫州市甌海區(qū)塘下中學(xué)　陳乘風(fēng)

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依靠“基本套路”，踐行“單元教學(xué)”——以“矩形、菱形”第1課時(shí)教學(xué)為例

☉浙江省溫州市甌海區(qū)塘下中學(xué)陳乘風(fēng)

初二幾何中特殊的平行四邊形（如矩形、菱形及正方形）教學(xué)時(shí)，常常是分別研究矩形、菱形及正方形，一個(gè)一個(gè)地開展研究，而且有些教師還將矩形的性質(zhì)專門安排一課時(shí)，矩形的判定再安排一課時(shí)，似乎擔(dān)心學(xué)生接受不了，各個(gè)擊破，然后輔之以大量的練習(xí)題美名為鞏固訓(xùn)練.經(jīng)由《中學(xué)數(shù)學(xué)》等刊物推介的李庾南老師倡導(dǎo)的單元教學(xué)表明，基于數(shù)學(xué)知識的前后一致、邏輯連貫而重組教材，開展單元教學(xué)是有教學(xué)可能性的.筆者在新近一次執(zhí)教特殊的平行四邊形的研究課時(shí)，就整合教材內(nèi)容，把矩形、菱形及正方形作為一個(gè)單元，在該單元的第1課時(shí)就跟學(xué)生一起研究矩形和菱形的性質(zhì)與判定，也取得了較好的教學(xué)效果.本文整理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)解讀教學(xué)立意，供研討.

一、“矩形、菱形”第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）開課階段，研究矩形

從復(fù)習(xí)平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定開始，在黑板上給出四邊形到平行四邊形的條件，并引導(dǎo)學(xué)生回顧研究平行四邊形的“基本套路”，即從定義、性質(zhì)和判定的角度開展研究，而具體的是關(guān)注邊、角、對角線三種元素.

圖1

接著添加強(qiáng)化條件（如圖1）：平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角為直角時(shí)，此時(shí)平行四邊形成為一個(gè)什么圖形？（預(yù)設(shè)：學(xué)生熟悉的長方形）

根據(jù)研究經(jīng)驗(yàn)，請學(xué)生給出“定義”：有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形.

追問：矩形是一種特殊的平行四邊形，它有哪些性質(zhì)呢？你準(zhǔn)備從哪些角度來研究矩形？（安排學(xué)生獨(dú)立探索2分鐘后再在小組內(nèi)交流，然后全班匯報(bào)，最后教師參與梳理形成板書，從邊、角、對角線、軸對稱性質(zhì)的角度概括、歸納出矩形的性質(zhì)定理）

（二）例題學(xué)習(xí)，研究判定

例1如圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形的對角線的長.

圖2

講解預(yù)設(shè)：安排學(xué)生先貫通思路，然后請學(xué)生匯報(bào)自己的思路，其他學(xué)生傾聽后表達(dá)各自的思考.比如有的學(xué)生可能是先證等邊△ABO，再分析出矩形對角線的長；也有學(xué)生是先推出△ABC是含30°角的特殊直角三角形.

變式：在這個(gè)問題中，把目光聚焦在Rt△ABC中，如果沒有∠AOB=60°這個(gè)條件，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則斜邊AC上的中線BO還會(huì)是斜邊AC的一半嗎？

變式意圖：從特殊到一般把思考引向深入，并得出性質(zhì)定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”證明這個(gè)定理時(shí)，可以利用“倍長中線法”將三角形補(bǔ)全成一個(gè)四邊形，并證出這是一個(gè)矩形，再利用矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)證明定理.

在上述研究過程中，將會(huì)涉及矩形的判定，以此為過渡，接下來就全面研究矩形有哪些判定方法.

研究矩形判定的活動(dòng)預(yù)設(shè)：先安排學(xué)生獨(dú)立研究，從邊、角、對角線等角度思考，可以先證平行四邊形后再增加強(qiáng)化條件；也可以從一般四邊形開始，引出三個(gè)角為直角等，最后再跟學(xué)生一起明確符號語言，便于規(guī)范和簡化后續(xù)例、習(xí)題的解題過程.

例2如圖2，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=60°，求∠OAB的度數(shù).

講評預(yù)設(shè)：需要引導(dǎo)學(xué)生重視證明矩形的過程和規(guī)范步驟，并體會(huì)矩形性質(zhì)、判定的靈活運(yùn)用.

追問：當(dāng)AD=2時(shí)，求?ABCD的面積.

（三）類比學(xué)習(xí)，研究菱形

過渡：剛才我們對平行四邊形添加一個(gè)強(qiáng)化條件后成為矩形，如果我們添出另外一個(gè)強(qiáng)化條件（如圖3）：有一組鄰邊相等，此時(shí)平行四邊形又會(huì)怎樣特殊呢？你準(zhǔn)備從哪些角度來研究呢？

圖3

預(yù)設(shè)：安排學(xué)生獨(dú)立研究3分鐘后，小組內(nèi)交流，再全班匯報(bào).在匯報(bào)過程中，教師可通過引導(dǎo)、追問，把問題研究的角度豐富起來，具體來說，如何定義菱形？怎樣研究菱形的性質(zhì)？怎樣反過來研究菱形的判定？如何使得判斷的條件最簡化？最后在黑板上形成板書，梳理出相關(guān)知識要點(diǎn).（限于篇幅，這里不給出相關(guān)性質(zhì)和判定定理）

例3如圖4，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AB=5，AO=3，BO=4.求證：?ABCD是菱形.

圖4

預(yù)設(shè)：安排學(xué)生利用勾股定理的逆定理證明AC⊥BD之后，再結(jié)合菱形的判定方法證出菱形.教學(xué)對話時(shí)關(guān)注學(xué)生的表達(dá)，特別是幾何語言的組織是否準(zhǔn)確、簡潔.

追問：你有哪些不同的方法求菱形ABCD的面積？

預(yù)設(shè)：可以作出BC邊上的高，也可根據(jù)菱形兩條對角線互相垂直，直接用對角線乘積的一半；或者求出△ABO的面積，再乘以4等，暴露學(xué)生的思維過程，展示不同解法.

（四）練習(xí)與“生長式”小結(jié)

練習(xí)：如圖5，兩張等寬紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是一個(gè)什么圖形？為什么？

預(yù)設(shè)：學(xué)生首先會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)平行四邊形，但還不徹底，需要發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)菱形，并追問判定菱形的依據(jù).

圖5

圖6

變式：將其中一張紙條繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖6，四邊形ABCD中有一個(gè)直角時(shí)，此時(shí)四邊形又是一個(gè)什么圖形呢？

預(yù)設(shè)：這時(shí)成為一個(gè)正方形了，而本節(jié)課由于教學(xué)時(shí)間所限，課堂上已沒有繼續(xù)研究的時(shí)間了，就把正方形作為特殊的矩形或特殊的菱形留給學(xué)生課后自主研究，并在黑板上形成四邊形與平行四邊形之間的知識結(jié)構(gòu).

附：板書設(shè)計(jì)

特殊的平行四邊形：矩形、菱形、正方形

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.基于知識的前后一致、邏輯連貫規(guī)劃教學(xué)單元

由李庾南老師倡導(dǎo)的單元教學(xué)可知：單元的劃分是第一位的，即根據(jù)知識的整體結(jié)構(gòu)，“前后一致、邏輯連貫”（章建躍語）整體規(guī)劃教學(xué)單元，像本文課例規(guī)劃在矩形、菱形及正方形這一單元中，而本課作為第1課時(shí)，第2課時(shí)可以繼續(xù)研究正方形，第3、4、5課時(shí)建議安排相關(guān)習(xí)題課的教學(xué).值得一說的是，根據(jù)學(xué)情，如果第1課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容偏多，還可在整個(gè)框架之內(nèi)做靈活的處理，比如只探究到了菱形的性質(zhì)教學(xué)時(shí)間就到了，那么就在第2課時(shí)繼續(xù)菱形的判定研究，并后續(xù)開展正方形的研究，這樣在整個(gè)單元的知識體系都構(gòu)建起來之后，再進(jìn)入本單元的習(xí)題教學(xué).

2.基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，用好學(xué)生已有“研究套路”

最近發(fā)展區(qū)理論是新世紀(jì)課改以來一個(gè)普遍得到傳播的教學(xué)理解，從本質(zhì)上說就是要基于學(xué)情，也是“三個(gè)理解”（章建躍語）中的“理解學(xué)生”.對于本課例來說，學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)有多個(gè)理解的角度或?qū)哟?，比如學(xué)生已有四邊形、平行四邊形的知識儲備，同時(shí)有了研究三角形、四邊形的很多“研究套路”，比如新接觸一種圖形，則需要研究它如何定義、性質(zhì)怎樣、如何判定等，具體來說，又需要從邊、角、對角線、對稱性等角度開展深入、細(xì)致的研究和概括.

3.重視教材例、習(xí)題的變式追問，讓教學(xué)環(huán)節(jié)關(guān)聯(lián)呼應(yīng)

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例、習(xí)題的訓(xùn)練，而例、習(xí)題的選擇首先要關(guān)注的是教材，這也是“以本為本”的重要內(nèi)涵.本課例中一些例、習(xí)題均選自教材，但又不止步于教材例、習(xí)題的照搬呈現(xiàn)，而是加強(qiáng)了變式與追問，使得這些例、習(xí)題的功能得到充分發(fā)揮，特別是通過一些變式與追問使得教學(xué)環(huán)節(jié)之間充分關(guān)聯(lián)與呼應(yīng).比如，在例1的變式中，把矩形“截去”一半得到直角三角形后，把問題的思路過渡到矩形性質(zhì)的一個(gè)推論（直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)）.再比如，例3選自教材，但不止于判定菱形，而是進(jìn)一步整合教材內(nèi)容，把菱形面積融合進(jìn)來，使得例題的功能得到豐富，追求了成果擴(kuò)大，實(shí)現(xiàn)了“做一題，會(huì)一類”的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

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