具有最小交易量限制的多階段均值-半方差投資組合優(yōu)化

張 鵬，張衛(wèi)國，張逸菲

(1.武漢理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 湖北 武漢 430070；2.華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510641；3.武漢科技大學(xué)管理學(xué)院，湖北 武漢 430081)

具有最小交易量限制的多階段均值-半方差投資組合優(yōu)化

張 鵬1，張衛(wèi)國2，張逸菲3

(1.武漢理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 湖北 武漢 430070；2.華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510641；3.武漢科技大學(xué)管理學(xué)院，湖北 武漢 430081)

考慮交易成本，借款約束和閾值約束,文章提出了具有最小交易量限制的多階段均值-半方差投資組合模型。該模型是具有路徑依賴性的混合整數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題,還是NP完全問題。文章提出了前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。最后，通過一個(gè)算例比較不同風(fēng)險(xiǎn)約束下的最優(yōu)投資策略，從而驗(yàn)證模型和算法的有效性。

多階段投資組合；均值-半方差；最小交易量；借款約束；前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法

1 引言

Markowitz[1-2]提出的均值—方差投資組合理論為現(xiàn)代投資組合的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。此后投資多元化問題已經(jīng)變成了計(jì)算問題。Deng Xiaotie等[3]和Hirschberger等[4]提出了基于方差風(fēng)險(xiǎn)度量投資組合模型。雖然方差一直在投資組合中充當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)度量的角色，但其具有一定的局限性[2, 5]。一個(gè)明顯的缺點(diǎn)是方差將高收益和低收益同樣認(rèn)為不好，因?yàn)楦呤找嬗兄诔霈F(xiàn)極端方差。當(dāng)證券收益的概率分布是不對稱的，基于方差的投資組合可能犧牲太多的預(yù)期收益去消除極端的低收益和高收益，在現(xiàn)實(shí)中，許多實(shí)證研究,如[6-7]證明了證券收益不是對稱分布的。

為了克服均值-方差模型的局限性，人們開始考慮收益分布的不對稱性。有些學(xué)者采用偏態(tài)，即三階中心矩來測量收益分布的不對稱性[8-9]，其他學(xué)者則直接用下方風(fēng)險(xiǎn)度量，即以負(fù)偏差取代方差的度量方法。下方風(fēng)險(xiǎn)度量只關(guān)注低于某個(gè)預(yù)定水平的收益。因此，它符合投資者風(fēng)險(xiǎn)和收益的觀念。實(shí)證研究[10]表明投資者大多贊成下方風(fēng)險(xiǎn)度量。Rom和Ferguson[11]研究表明下方風(fēng)險(xiǎn)日益普及。下方風(fēng)險(xiǎn)度量方法有許多形式，安全首要準(zhǔn)則[12],半方差[2]。許多學(xué)者，如Markowitz等[14]和Huang Xiaoxia[13]研究了半方差的屬性和計(jì)算問題。

上述投資組合模型假設(shè)投資組合中資產(chǎn)數(shù)量為實(shí)數(shù)，這是不符合實(shí)際的。特別是資產(chǎn)都有最小交易量限制(所謂的手)，而解決方案只涉及資產(chǎn)的實(shí)數(shù)權(quán)重，而不涉及資產(chǎn)交易單位。例如，股票手?jǐn)?shù)進(jìn)行買賣，互惠基金有其各自的最低交易數(shù)量。因此，這些模型得到的最優(yōu)解必須為整數(shù)，具有最小交易量的投資組合優(yōu)化問題是一個(gè)組合優(yōu)化問題(一個(gè)NP完全問題)，其可行域是不連續(xù)的。一些研究者提出了不同的求解方法，例如Konno和Wijayanayake[15]，Speranza[16]，Mansini和 Speranza[17]， Kellerer等[18]，Lin Changchun和Liu Yiting[19]，Soleimani等[20]，Golmakani和Fazel[21]。

對于上述模型，他們都假設(shè)投資期限為一期。但是，在現(xiàn)實(shí)生活中，投資組合策略常常是多階段的，因?yàn)橥顿Y者可以隨時(shí)重新分配自己的財(cái)富。所以，我們很自然的將單階段投資組合優(yōu)化擴(kuò)展到多階段。Mossin[22]運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解多階段投資組合模型。Hakansson[23]運(yùn)用投資組合決策的一般理論方法分析了多階段均值-方差。Li Duan等[24]運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法來解決多階段安全首要的投資組合問題。用同樣的方法，Li Duan和Ng[25]提出了多階段均值-方差終期財(cái)富最大化投資組合模型，并求出了最優(yōu)投資策略和有效前沿的解析表達(dá)式。Calafiore[26]考慮金融資產(chǎn)配置的多階段序貫決策問題，提出了具有線性控制策略的多階段投資組合模型。Zhu Shushang等[27]提出了具有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)控制的多階段均值-方差投資組合模型。Gülpnar和Rustem[28]運(yùn)用情景分析法提出了隨機(jī)多階段均值-方差投資組合模型。Yu Mei等[29]提出了具有破產(chǎn)控制的均值-絕對偏差動(dòng)態(tài)投資組合模型。?likyurt和?zekici[30]提出了幾種隨機(jī)多階段均值-方差投資組合模型。然而，上述文章多用方差度量風(fēng)險(xiǎn)。在當(dāng)資產(chǎn)的收益分布不對稱的情況下，利用方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量可能會(huì)為了消除低收益和高收益極端而犧牲太多的預(yù)期收益。為了衡量金融市場中真正的投資風(fēng)險(xiǎn)，學(xué)者們采用了一些新的風(fēng)險(xiǎn)度量來取代方差。例如，Yan Wei等[31-32]提出了多階段均值-半方差投資組合模型。Pnar[33]提出了多階段均值—下方風(fēng)險(xiǎn)投資組合模型。Zhang Weiguo等[34-35]和Liu Yongjun等[36-37]提出了多階段模糊投資組合模型，并分別運(yùn)用遺傳算法，混合智能算法和差分進(jìn)化算法求解。袁子甲和李仲飛[38]研究了引入?yún)?shù)不確定和學(xué)習(xí)時(shí)的連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)投資組合選擇問題, 使用鞅方法求導(dǎo)出了具有CRRA 型效用函數(shù)的投資者的最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式。金秀等[39]提出了預(yù)期效用最大化的動(dòng)態(tài)損失厭惡多階段投資組合優(yōu)化模型.上面多階段投資組合研究都假設(shè)決策變量是連續(xù)型變量，實(shí)際投資過程中，買賣股票均為整數(shù)手(最小交易量)，如中國證券市場規(guī)定為100股的整數(shù)倍。

文章提出一個(gè)新的具有最小交易量限制，借款約束限制和交易成本的多階段均值-半方差投資組合模型。該模型是一個(gè)具有路徑依賴的整數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題。我們提出了前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。

2 多階段均值—半方差投資組合模型

本文討論具有隨機(jī)回報(bào)的多階段投資組合問題。首先是問題的描述和符號說明，接著描述多階段投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)，最后提出投資組合模型的最小交易量。

2.1 問題描述和符號說明

假設(shè)一個(gè)多階段投資組合有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供選擇。假設(shè)投資者用初始財(cái)富W1進(jìn)行投資，投資者將其財(cái)富投資n+1種資產(chǎn)進(jìn)行T期連續(xù)投資，他的財(cái)富將在每個(gè)時(shí)期的開始進(jìn)行調(diào)整。為了方便說明，我們現(xiàn)將所有下文中將使用的符號列在下面。

xit第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資手?jǐn)?shù)的數(shù)量，其中xit是整型變量;

xi0第0期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的初始投資的手?jǐn)?shù);

xt第t期投資組合的手?jǐn)?shù)，其中xt= (x1t,x2t…,xnt);

pit第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的單位價(jià)格;

Wt第t期的初始財(cái)富;

Rit第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的隨機(jī)收益率;

rit第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率, 其中rit=E(Rit) ;

rpt第t期投資組合xt的期望收益率;

rNt第t期投資組合xt的凈收益率;

uit第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資上界;

q第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最小交易量(手)，如中國證券市場規(guī)定的100股;

rbt第t期無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的借款利率;

rlt第t期無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的貸款利率;

cit第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的單位交易成本;

2.2 多階段投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)

投資組合中的借款約束是其中的一個(gè)影響因素。大多數(shù)經(jīng)紀(jì)公司提供從券商借入不同種類的資產(chǎn)進(jìn)行收購的機(jī)會(huì)。一些研究人員研究了借款約束，例如，DengXue和LiRongjun[40]提出了具有借貸限制的均值-方差模糊投資組合。Sadjadi等[41]提出了具有不同借款利率和貸款利率的模糊多階段投資組合模型。在實(shí)踐中，我們應(yīng)當(dāng)考慮到每個(gè)資產(chǎn)都有其最小交易量。那么，投資組合優(yōu)化問題的解必須是整數(shù)， t期的投資組合投資數(shù)量qxt= (qx1t, qx2t,…, q xnt)′的期望收益為:

(1)

交易成本是投資者關(guān)心的主要因素之一。Arnott和Wagner[42]研究發(fā)現(xiàn)，忽略交易成本會(huì)導(dǎo)致無效投資組合。Yoshimoto[43]的實(shí)證分析也得出了同樣的結(jié)論。Bertsimas和Pachamanova[44]和Gulpnar等[45]研究了具有交易成本的多階段投資組合問題。我們假設(shè)交易成本為第t期投資組合qxt= (qx1t,qx2t…,qxnt)和第t-1期內(nèi)投資組合qxt-1= (qx1(t-1),qx2(t-1),…,qxn(t-1)) 的V型函數(shù)。這就是說，第t期第i種資產(chǎn)的交易成本為cit|pitqxit-pit-1qxit-1|。因此，第t期投資組合xt= (x1t,x2t,…,xnt)的總交易成本可表示為:

(2)

因此，第t期投資組合xt的凈收益可以表示為:

(3)

第t期的借款約束可以寫成:

(4)

那么，第t期的初始財(cái)富可以寫成:

(5)

定理1 假設(shè)pit表示第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的單位價(jià)格，q表示第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最小交易量(手)，xit表示第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資手?jǐn)?shù)的數(shù)量，其中xt= (x1t,x2t,…,xnt)，則投資組合xt的半方差可以表示為:

(6)

證明：

St(xt)=St(p1tqr1tx1t+p2tqr2tx2t+…+pntqrntxnt)=E{[(p1tqR1tx1t+…+pntqRntxnt)-(p1tqr1tx1t+…+pntqrntxnt)]-}2=E{[q(p1tR1tx1t+…+pntRntxnt)-q(p1tr1tx1t+…+pntrntxnt)]-}2=q2E{[(p1tR1tx1t+…+pntRntxnt)-(p1tr1tx1t+…+pntrntxnt)]-}2=q2E{[(p1t(R1t-r1t)x1t+…+pnt(Rnt-rnt)xnt]-}2

根據(jù)Markowitz[2]，上式可以轉(zhuǎn)化為:

定理證畢。

第t期第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資上界為:

pitqxit≤zituit

(7)

2.3 具有最小交易量的多階段均值—半方差投資組合模型

假設(shè)投資者的目標(biāo)是在整個(gè)T期終期財(cái)富最大化。具有最小交易量的多階段投資組合模型為:

由于模型(8)的可行域是非凸集，該模型不再是凸動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。該模型(8)的目標(biāo)函數(shù)是T期投資過程中投資者終期財(cái)富最大化。約束條件(a)表示的是財(cái)富轉(zhuǎn)移方程；約束條件((b)表示在任何一個(gè)時(shí)期內(nèi)投資組合xt的半方差不超過給定值vt; 約束條件(c)表示第t期無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資金額的下界限制；約束條件(d)表示xit的上界限制，并且xit是整數(shù)值。

在模型(8)中，vtmin≤vt≤vtmax。vtmin和vtmax可以通過以下方法得到：

(9)

(10)

3 多階段投資組合優(yōu)化

我們提出了一個(gè)前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解模型(8)。

模型(8)的t期子問題可轉(zhuǎn)化為:

(11)

算法 前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法

步驟2 如果t=m(m≥1 和mZ+), 由于和已知，運(yùn)用CPLEX求解模型(11)，也就是說我們已經(jīng)得到t=m+1的最優(yōu)解。同時(shí)，我們也得到:

當(dāng)?shù)趖階段決策變量不是太多，運(yùn)用CPLEX可以求出模型(8)的第t個(gè)子問題(11)的全局最優(yōu)解。因此，運(yùn)用前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃也可以求出模型(8)的全局最優(yōu)解。

4 實(shí)證研究

假設(shè)投資者從上證權(quán)重股中選擇20只股票，分別為S1(600000), S2(600015), S3(600016), S4(600030), S5(600036), S6(600310), S7(600104), S8(600362), S9(600519), S10(600663), S11(6000501), S12(600283), S13(600551), S14(600064), S15(600011), S16(600660), S17(600196), S18(600749), S19(600389), S20(600396)。我們收集了從2006年4月到2013年9月的數(shù)據(jù)，并且以每三個(gè)月為一個(gè)周期進(jìn)行處理。

如果在投資組合中借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，我們用前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來解決模型(8)，可以得到如下相應(yīng)的結(jié)果。

當(dāng)t=1,…,5,我們用CPLEX分別解模型(9)和模型(10)，那么我們得到v1max=0.1203099E+08,v1min=0;v2max=0.1073514E+08,V2min=0;v3max=0.1270018E+08,V3min=0;v4max=0.1515640E+08,V4min=0;v5max=0.1286227E+08,V5min=0。

假設(shè)vt=4000000,t=1,…,5,最優(yōu)解如表1所示。

允許借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，第1期的最優(yōu)投資策略是x13=1,x41= 96,x91= 14,x131= 133,x161= 201,x171=143,x191=50，其它為0，這意味著投資者應(yīng)該將他的初始財(cái)富分配于資產(chǎn)1, 資產(chǎn)4, 資產(chǎn)9,資產(chǎn)13, 資產(chǎn)16, 資產(chǎn)17, 資產(chǎn)19分別為1, 96,14, 133, 201, 143, 50手， 其他13只股票分配

表1 具有借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的多階段投資組合最優(yōu)解

表2 不含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的多階段投資組合最優(yōu)解

0。從表1還可以得到第2、3、4和5期最優(yōu)投資策略。終期財(cái)富為1766828.4。

如果投資組合不含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，模型(8)可轉(zhuǎn)化為以下模型：

(12)

我們用前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決問題(12)，我們可以得到如下的相應(yīng)結(jié)果。

假設(shè)vt=4000000,t= 1,…,5,我們可以得到最優(yōu)解如表2所示。

不含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的多階段投資組合的終期財(cái)富為1704116。

為了表明無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)對于投資組合決策的影響，我們分別考慮了借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和不含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下的投資組合優(yōu)化問題。運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解模型(8)和模型(12)得到相應(yīng)的最優(yōu)投資策略如表1和表2所示。從表1 和表2可以看出，當(dāng)在投資組合決策模型中借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，終期財(cái)富也隨之變大，這反映了允許借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)對多階段投資策略有較大的影響。

5 結(jié)語

考慮交易成本，最小交易量和借款約束，本文提出了具有風(fēng)險(xiǎn)控制的多階段均值-半方差投資組合模型，該模型為具有路徑依賴的整數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題。提出前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。最后以一個(gè)具體實(shí)例比較了不具有無風(fēng)險(xiǎn)借款限制和不含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)兩種情況下的最優(yōu)投資策略，驗(yàn)證了模型和算法的有效性。

與以前多階段投資組合相比，本文研究的多階段投資組合的決策變量是整數(shù)與現(xiàn)實(shí)投資組合更加符合。對于投資者來說，本文的方法具有良好的可操作性和實(shí)用價(jià)值。本文結(jié)合前向動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和CPLEX可以很快地計(jì)算出多階段投資組合的最優(yōu)投資策略。

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Multi-period Mean-semivariance Portfolio Selection with Minimum Transaction Lots Constraints

ZHANG Peng1，ZHANG Wei-Guo2， ZHANG Yi-fei3

(1.School of Economics,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China;2.School of Business Administration, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China;3.School of Management, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

In this paper the multi-period mean semivariance portfolio problem is dealt with minimum transaction lots considering, transaction costs, borrowing constraints and threshold constraints. In this case the problem of finding a feasible solution is NP-complete. An optimal investment policy can be generated to help investors not only achieve an optimal return, but also have a good risk control. The multi-period portfolio selection is the mix integer dynamic optimization problem with path dependence. The forward dynamic programming method is designed to obtain the optimal portfolio strategy. Finally, the comparison analysis with borrowing risk-free assets and without risk-free assets in the portfolio selection is provided by a numerical example to illustrate the efficiency of the proposed approaches and the designed algorithm.

multi-period portfolio selection; mean semivariance; minimum transaction lots; borrowing constraints; the forward dynamic programming method

1003-207(2016)07-0011-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.07.002

2013-12-29；

2015-01-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71271161)；國家社科基金資助項(xiàng)目(13BJL0062)

張鵬(1975-)，男(漢族)，江西吉安人，武漢理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院教授，工學(xué)博士，研究方向：投資組合優(yōu)化、金融工程,E-mail:zhangpeng300478@aliyun.com.

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