把握數(shù)學(xué)本質(zhì)尋同求異
——《射線、直線和角》的教學(xué)思辨

林 萍 林錦城

人們常說“教無定法，貴在得法”，教師個體對教法、學(xué)法的選擇也是因人而異，因課而定。雖然教法千變?nèi)f化，但教學(xué)規(guī)律卻有章可循。對于同課異構(gòu)，我們希望能“尋同”——科學(xué)解讀，突出學(xué)習內(nèi)容對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的價值；“求異”——倡導(dǎo)百花齊放、個性飛揚，以不同方式演繹出生動的課堂。下面，筆者以陳杰、孫婷兩位老師的《射線、直線和角》教學(xué)設(shè)計為例談如何殊途同歸發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、在知識結(jié)構(gòu)體系中把握概念

布魯納認為，學(xué)習是認知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織，對新的知識經(jīng)驗進行加工改造并形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程，強調(diào)知識間的聯(lián)系與溝通。本課所學(xué)習的射線、直線與第一學(xué)段學(xué)習的線段，這三種幾何圖形也是不同的數(shù)學(xué)概念，以線段概念為生長點教學(xué)射線、直線，并及時比較三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，能有效促進理解三個數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征。

學(xué)生已經(jīng)知道線段有兩個端點、直直的，長度是有限的，這些認知是學(xué)習射線、直線的邏輯起點。陳老師從直觀入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察并尋找新舊知識的聯(lián)系點，即三種線的端點、延伸、長度。開門見山就指出“把手上這支激光筆看成一條線段”，一下子就切入端點與有限長，有利于學(xué)生在觀察激光束時，快速舍棄教具的物質(zhì)元素，直奔空間形式與數(shù)量上的數(shù)學(xué)信息，體會端點、無限長。孫老師的《研學(xué)單》也注重三種線之間的比較與分析，以回顧線段特征為著眼點，嘗試畫圖并思考三者的相同點與不同點。

兩位老師都重視在課堂上，組織射線、直線與線段的相互比較，有利于學(xué)生弄清三種圖形的端點個數(shù)、延長和度量情況，溝通三者的聯(lián)系與區(qū)別。在學(xué)生形象感知射線、直線后，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度，即將線段的一端無限延長，就得到一條射線；將線段的兩端無限延長，就得到一條直線。利用線段改畫成射線、直線，可以幫助形成射線、直線的表象，也加深對圖形之間內(nèi)在聯(lián)系的認識，滲透圖形之間變與不變的思想。

有關(guān)角的認識同樣溝通新舊知識的聯(lián)系，學(xué)生已初步知道角有一個頂點與兩條邊，本課重在引導(dǎo)將頂點、邊的直觀認識抽象為“從一點引出的兩條射線可以組成角”。陳、孫兩位老師引出角的方式不同，但都放手讓學(xué)生畫一畫、看一看，理解“角是從一點引出兩條射線”。

以上射線、直線、線段等三個不同概念的橫向比較和角的認識在不同學(xué)段的縱向比較，都強調(diào)將概念的學(xué)習用聯(lián)系的方法放在知識體系中對比、分析，掌握同類事物的共同本質(zhì)屬性，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的重組。

二、基于發(fā)展核心素養(yǎng)組織教學(xué)

“核心素養(yǎng)”是當前教育領(lǐng)域最受關(guān)注的熱詞之一，而對于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的界定更是莫衷一是，但通常認同2011年版《課標》中的十大“核心概念”與“核心素養(yǎng)”的緊密關(guān)系。如著名特級教師吳正憲老師在中國教研網(wǎng)舉辦的“小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的專題培訓(xùn)中提出：學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識是數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)的重點，學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想是促進數(shù)學(xué)課程學(xué)習和數(shù)學(xué)思想形成的源動力。

圍繞學(xué)科核心素養(yǎng)組織教學(xué)是課堂實踐的靈魂?！渡渚€、直線和角》一課屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容，其教與學(xué)，不僅僅為了知道或理解基本知識與技能，更貴在于培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生空間觀念。陳杰老師在授課伊始，以演示激光筆著手，從直觀現(xiàn)象中引發(fā)學(xué)生的觀察與想象，體會“端點”“無限延長”，初步引入數(shù)學(xué)概念“射線”和“直線”，進而在交流線段、射線和直線三者的聯(lián)系與區(qū)別的基礎(chǔ)上畫出圖形。以上“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”與“依據(jù)語言的描述畫出圖形”就是培養(yǎng)空間觀念的具體表現(xiàn)。孫婷老師在課堂上，以小信封為交流平臺融合了“猜”“畫”“量”“剪”等多層次活動，以引導(dǎo)學(xué)生想象圖形的運動與變化為主線貫穿始終，學(xué)生的空間觀念在趣味互動中得以滋生、成長。

在處理射線與直線的畫法時，兩位老師都抓住“在有限大小的紙張上畫出無限長的射線”這看似悖論的話題，引發(fā)學(xué)生的積極的思考與爭辯。從形象感知射線，以畫線為契機上升為符號表征，借助想象、比較、分析、抽象等思維活動，令難以在生活中尋找到原型，想象出來的“虛幻”射線數(shù)學(xué)化為“直觀”射線。射線需要這個具有高度抽象性的數(shù)學(xué)模型得以具體化，也體會到圖形符號是進行數(shù)學(xué)思考和表達的重要形式。

三、駐足關(guān)鍵問題突破難點

基于小學(xué)生的思維發(fā)展水平，在小學(xué)階段，許多數(shù)學(xué)概念都沒有嚴格地下定義，往往注重結(jié)合實物或具體情境，在描述中引出概念。如人教版教材用舉例的方式呈現(xiàn)射線概念“像手電筒、汽車燈和太陽等射出來的光線，都可以近似地看成是射線”；蘇教版教材在用生活中的射線（射燈）實例感知基礎(chǔ)上，以線段為基礎(chǔ)運動形成射線“把線段的一端無限延長，就得到一條射線”。其概念的形成通常經(jīng)歷“直觀—表象—抽象—應(yīng)用”的認識過程，所以教學(xué)中一方面應(yīng)重視從生活實例引入，為概念的形成提供直觀觀察，建立表象，另一方面還要注意幫助學(xué)生適時脫離生活直觀，抽象出數(shù)學(xué)概念。

在生活的數(shù)學(xué)化的過程中，陳老師主要安排如下四個層次的活動：一是借助激光筆動態(tài)演示，感受“無限延伸”；二是通過比較、交流，體會射線、直線與線段不同，想象中體會“無限長”；三是回溯生活，在舉例過程中豐富表象，建立射線的空間觀念；四是畫法比較，引導(dǎo)學(xué)生展開想象、思辨，突破以“有限”表示“無限”的難點。孫老師采用利用《研學(xué)單》，課前布置學(xué)生自主探究，喚醒原有認知經(jīng)驗，在對比中尋找新知的生長點。課堂展學(xué)匯報時，孫老師緊扣“將無限畫出來”的學(xué)習難點，變教為探，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷精彩地思維碰撞的過程。

圖形的畫法可以通過示范與模仿，在較短時間內(nèi)貌似“高效”掌握，但兩位老師均以畫法作為幫助學(xué)生撥開認知“茫點”，突破知識“節(jié)點”的重要契機，賦予其濃墨重彩。陳老師在放手讓學(xué)生嘗試畫圖時，采訪“三種線哪種最難畫？難在哪里？”追問“本子是有限的，怎么畫得下無限長的直線與射線呢？”孫老師在該環(huán)節(jié)時，設(shè)計問題串“什么是無限長”“如何畫出無限長”“為什么可以畫出無限長”。兩位老師所創(chuàng)設(shè)情境手法略有不同，但異曲同工之妙在于，均恰當預(yù)設(shè)了認知難點，并不吝教學(xué)時間，將學(xué)習的主動權(quán)交給學(xué)生，在教師點撥下，針對認知的迷茫處進行了有效爭辯。教師提煉的有效問題，幫助學(xué)生對射線、直線的認識不僅僅停留在“幾個端點”“是不是無限長”等通過識記就可解決問題的低層次認知，貴在深化對“無限長”的理解，感悟到用數(shù)學(xué)符號表達無限的合理性，實現(xiàn)認識上質(zhì)的飛躍。

本課教學(xué)射線、直線和角是在學(xué)生原有認知線段和初步認識角的基礎(chǔ)上進行的，同時本課也為后續(xù)學(xué)習平行、垂直等做了鋪墊。需要指出的是，本課教學(xué)內(nèi)容的教育教學(xué)價值不僅僅是以上知識與技能方面，更要從有利于學(xué)生終身可持續(xù)發(fā)展的角度，賦予教學(xué)更為深遠的意義，如培養(yǎng)理性探索的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)積極的數(shù)學(xué)學(xué)習體驗，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗等等。