Faddeev 模型的求解及數(shù)值模擬

趙寶珠, 石長光

(上海電力學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 上海　200090)

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Faddeev 模型的求解及數(shù)值模擬

趙寶珠, 石長光

(上海電力學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 上海200090)

摘要:通過構(gòu)造合適的矢量,對(duì)Faddeev模型的場方程進(jìn)行了化簡,使用Mathematica軟件對(duì)模型中的非線性方程進(jìn)行了數(shù)值求解.為方便使用,還對(duì)大量的數(shù)值解進(jìn)行了有效擬合.采用擬合的解析解,得到了此類簡化后的場方程的三分量的波動(dòng)解,數(shù)值模擬給出了此類解的外形特征.

關(guān)鍵詞：Faddeev模型; 數(shù)值模擬; Mathematica軟件

尋求非線性系統(tǒng)的解,特別是孤立波解(包括精確解和數(shù)值解)是孤立子理論研究的一個(gè)主要內(nèi)容[1-3].近年來在非線性問題中,非線性演化方程的求解和定性分析占有很重要的地位[4-5].國內(nèi)外的研究者創(chuàng)造了許多求解非線性發(fā)展方程的方法.比較系統(tǒng)的求解方法和分析手段,有Jacobi橢圓函數(shù)展開法和齊次平衡法等[6-7]，這些方法可以求得非線性波方程的周期解、沖擊波解或孤立波解.求1+1 孤立子方程解析解的方法很多,如逆反射法、Hirota方法、Backlund 變換、Darboux 變換等[8-11].文獻(xiàn)[12]較詳細(xì)地介紹了幾種新方法,但只對(duì)求解幾類特殊的2+1維的非線性系統(tǒng)有效.隨著數(shù)學(xué)機(jī)械化的發(fā)展,孤立波的研究也開始越來越多依賴于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用,隨之而來產(chǎn)生了一系列求解非線性波動(dòng)方程的新方法[13],并且這些方法逐漸被應(yīng)用到離散的非線性微分-差分系統(tǒng)和隨機(jī)微分系統(tǒng)中來研究離散系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)的孤立波問題.

本文首先介紹了Faddeev模型的構(gòu)成、理論化簡與求解,然后結(jié)合數(shù)學(xué)軟件Mathematica和Matlab對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值求解,并對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行擬合，得到了近似的解析解,最后展示了幾種情況下本模型的場分量的外形特征.

1Faddeev模型的求解

Faddeev模型是修正的非線性σ模型,它建立在Hopf電荷不變以及Skyrme模型[14]的基礎(chǔ)上.一般認(rèn)為Faddeev模型來源于SU(N)Yang-Mills理論的紅外極限.該模型包含一個(gè)3分量的矢量場:

(1)

Faddeev模型的拉格朗日密度由式(2)至式(5)給出:

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:c2,c4——耦合常數(shù).

Faddeev模型的場方程n可由復(fù)函數(shù)u表示:

(6)

定義：

(7)

(8)

式中:ρ,φ,z——柱坐標(biāo);

m,n——任意整數(shù).

我們考慮Faddeev模型滿足如下空間:

(9)

且邊界滿足:

(10)

g(ρ)滿足方程[ 15]:

(11)

及其邊界條件:

(12)

(13)

由式(6),式(7),式(8)可以得到矢量場n的3分量如下.

n1分量:

n2分量:

n3分量:

為了獲得n1分量、n2分量、n3分量的最終結(jié)果,首先我們需要獲得g(ρ)的表達(dá)式.

2g(ρ)的擬合解

2.1m=1和n=1時(shí)

在得不出解析解的情況下,我們?nèi)∵吔鐥l件g(0),g′(0)=1,首先利用Mathematica求方程(13)的數(shù)值解.再利用Table函數(shù),提取數(shù)值解,以0.02個(gè)單位.

根據(jù)這些數(shù)值點(diǎn)并利用Matlab中的cftool函數(shù)包找到一個(gè)最佳擬合函數(shù)進(jìn)行擬合,g(ρ)的擬合函數(shù)為:

g(ρ)=

(15)

擬合曲線如圖1所示.由圖1可以看出，數(shù)值解很好地在擬合曲線上.為了比較擬合與非擬合的誤差,利用Matlab得到和方差與均方根及確定系數(shù).由誤差分析結(jié)果可知,和方差為0.000 110 2,均方根為0.001 455.和方差與均方根的值均較小,且在合理范圍內(nèi),故認(rèn)為該擬合函數(shù)較為合理.

2.2m=2和n=1時(shí)

取邊界條件g(0)=g′(0)=0,ρ0選為0.47,求出方程(13)的數(shù)值解.再提取曲線上的數(shù)值點(diǎn),以0.01個(gè)單位,利用Matlab中的cftool函數(shù)包找到g(ρ)的一個(gè)最佳擬合函數(shù)為:

擬合圖像如圖2所示.擬合效果比較好,誤差

分析結(jié)果為:和方差為0.000 232 9,均方根為0.002 444.

3n場行為的數(shù)值模擬

為了展示n場的具體外形分布特點(diǎn),這里選定以上得到的3種情況的g(ρ),并結(jié)合式(7),式(8),式(14),并設(shè)z=1,z=φ∈(0,2π)時(shí)進(jìn)行數(shù)值模擬.

當(dāng)m=1,n=1時(shí),3分量的數(shù)值模擬結(jié)果如圖3所示.當(dāng)m=2,n=1時(shí),3分量的數(shù)值模擬結(jié)果如圖4所示.

4結(jié)語

結(jié)合數(shù)學(xué)軟件Mathematica及Matlab對(duì)非線性方程在滿足某些邊界條件情況下進(jìn)行了數(shù)值求解,得到了其數(shù)值解及擬合解.盡管擬合解不如數(shù)值解精確,但擬合解在我們研究的區(qū)域內(nèi)有效,且可以方便地給出解析形式,對(duì)于最終求得此非線性場的解起到了關(guān)鍵的作用,從而獲得了模型中依賴于整數(shù)m和n的3個(gè)場分量,分別得到了m=1,n=1和m=2,n=1時(shí)柱坐標(biāo)的z分量為1時(shí)的孤子波曲面圖的外部特征,形象地展示了此類非線性場模型的內(nèi)部本質(zhì).由圖像可以看出,m=1時(shí)的正向波包有1個(gè),m=2時(shí)的正向波包有2個(gè),可以看出m的數(shù)值影響波包的數(shù)目.對(duì)于n增大到2的情況也進(jìn)行了類似的數(shù)值模擬,但結(jié)果表明n值并未明顯地影響正向波包的個(gè)數(shù),這仍是我們要繼續(xù)研究的問題.

本研究對(duì)發(fā)展非線性偏微分方程的求解方法、理論上探索非線性模型的內(nèi)部規(guī)律、揭示模型中隱藏的對(duì)稱性,以及孤立子在非線性模型中的應(yīng)用具有一定的借鑒作用.

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(編輯白林雪)

Solution and Numerical Simulation of Faddeev ModelZHAO Baozhu, SHI Changguang

(School of Mathematics and Physics, Shanghai University of Electric Power, Shanghai200090, China)

Abstract:The field equation of Faddeev model is simplified by constructing suitable vectors.The nonlinear partial differential equations of the model are solved numerically by using software Mathematica.The massive numerical solutions are fitted effectively for convenient use.The fitted analytical solutions are utilized which result in three-component wave solutions of the simplified field equation,and the behaviors of these solutions are shown by numerical simulations.

Key words:Faddeev model; numerical simulation; Mathematica software

中圖分類號(hào)：O413.4; O175.29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-4729(2016)01-0093-04

基金項(xiàng)目：上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)自然科學(xué)基金(11ZR1414100).

通訊作者簡介：石長光(1972-),女,博士,教授,遼寧沈陽人.主要研究方向?yàn)橛?jì)算物理,理論物理.E-mail:shicg@shiep.edu.cn.

收稿日期：2015-06-04

DOI：10.3969/j.issn.1006-4729.2016.01.020