隨機變量特征函數(shù)的求法研究

蔣同斌

(淮陰工學院 數(shù)理學院，江蘇 淮安 223003)

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隨機變量特征函數(shù)的求法研究

蔣同斌

(淮陰工學院 數(shù)理學院，江蘇 淮安 223003)

摘要：分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定， 判斷函數(shù)為特征函數(shù)的條件,成為特征函數(shù)的基本要求、基本類型及其具體的確定，利用特征函數(shù)的定義積分變換和積分方法等說明特征函數(shù)的求解方法，討論特征函數(shù)在數(shù)學通信保險數(shù)據(jù)查詢等生產(chǎn)實際中的具體應用。

關(guān)鍵詞：特征函數(shù);分布函數(shù);求解方法;實際應用

概率論中，隨機變量的數(shù)學期望和方差只能粗略地反映其分布函數(shù)的性質(zhì)，而分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定[1]。

從以下方面討論隨機變量特征函數(shù)的求解方法。

1 判斷函數(shù)為特征函數(shù)的條件與實例

1.1判斷函數(shù)為特征函數(shù)的條件

辛欽一渡赫納爾定理[2]： 函數(shù)f(t)是特征函數(shù)的充要條件是

(1)函數(shù)f(t)是非負定性的；(2)f(t)連續(xù)；(3)f(0)=1 。

1.2實例

2特征函數(shù)的求解方法

2.1根據(jù)特征函數(shù)的定義求解

例1設隨機變量X的分布如下(見表1)，試求X的特征函數(shù)。

表1　隨機變量X的分布表

解：已知X的分布列為pk=P(X=xk),k=0,1,2,3，所以X的特征函數(shù)為：

=0.4+0.3eit+0.2ei2t+0.1ei3t

例2設離散隨機變量X服從幾何分布P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…求的特征函數(shù)。

解：已知X的分布列為P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…所以X的特征函數(shù)為

2.2已知分布函數(shù)求解特征函數(shù)

2.3常用分布的密度函數(shù)求解特征函數(shù)

(1)求均勻分布的特征函數(shù)

(2)求指數(shù)分布的特征函數(shù)

所以特征函數(shù)為

f(t)=∫0+∞eitxλe-λxdx=λ{∫0+∞cos(tx)eλxdx+i∫0+∞sin(tx)e-λxdx}

(3)求標準正態(tài)分布的特征函數(shù)

2.4利用獨立隨機變量和的特征函數(shù)為特征函數(shù)的積來求解和的特征函數(shù)

2.5用高效積分法求解特征函數(shù)

隨機變量的概率密度函數(shù)與特征函數(shù)可以表示為一個Fourier變換對[3]，定義為

利用Fourier的位移性質(zhì)求(1)中的F(ω)有

(2)

對f(Y)進行坐標平移t0，f(Y)→f(Y-t0)，于是式(2)變?yōu)椋?/p>

(3)

式(2)表明，F(xiàn)(ω)是另一函數(shù)Y'=e-iωY的均值。因為Y=Y(V)?Y'=Y'(V)，所以式(2)又可寫作

F(ω)=E{Y'(V)}=∫ΩY'(V)f(V)dV

(4)

Ω是積分區(qū)域，而式(4)的積分可以完全利用高效數(shù)值積分法來完成。另外假設隨機變量x1,x2,…,xn服從正態(tài)分布且相互獨立。那么由于x1,x2,…,xn是n個相互獨立的正態(tài)分布隨機變量，因此，它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為

(5)

于是式(4)的積分可以寫為

(6)

3特征函數(shù)單調(diào)性與迭代數(shù)列收斂性之間的關(guān)系

利用特征函數(shù)單調(diào)性判斷迭代數(shù)列收斂性[4]并求其極限。

證明：對于任意的x1，有-1≤xn≤1(n=2,3,…)，因此F(x)=x-f(x)=x-c·sinx是{xn}在區(qū)間[-1,1]上的特征函數(shù)。又當x∈[-1,1]時，F(xiàn)'(x)=1-c·cosx≥0(其中等號僅當c=1,x=0時成立)，故F(x)和f(x)在[-1,1]單調(diào)增加，且F(0)=0。故由定理2知{xn}的極限存在且等于0。

4二維隨機變量的特征函數(shù)

二維隨機變量特征函數(shù)的求法

解：它的特征函數(shù)為

f(t1,t2)=∫-∞+∞∫-∞+∞ei(t1x1+t2x2)f(x1,x2)dx1dx2

特別，當m1=m2=0,σ1=σ2=1時，即(ζ1，ζ2)～N(0,1;0,1;r)，則

當η=αζ1+βζ2+r，(α、β、γ為實常數(shù))時，η的特征函數(shù)為

5特征函數(shù)的應用

特征函數(shù)在許多領域中廣泛應用，如在數(shù)學、無線通訊、數(shù)據(jù)庫查詢等方面，下面就其在數(shù)據(jù)庫查詢方面的應用作簡要說明[5]。利用特征函數(shù)來改善系統(tǒng)效率，提高查詢速度。從結(jié)構(gòu)上講，利用SQL內(nèi)部基本數(shù)符和函數(shù)，特征函數(shù)可編寫成數(shù)量表達式，具體編碼依賴于各種語言內(nèi)部特性以及涉及到的變量數(shù)據(jù)類型。目前已開發(fā)了處理各種數(shù)據(jù)類型的技術(shù)，在此簡單介紹將特征函數(shù)限于數(shù)字類型實例。

特征函數(shù)一般的編碼形式為1-abs(sign(A-B))，sign()和abs()是內(nèi)部Sybase函數(shù)。abs()返回變量的絕對值；當變量為負數(shù)、零和正數(shù)時sign()分別返回-1、0、+1。

以下是特征函數(shù)的編碼(不考慮空值情況)：

δ[A=B]=1-abs(sign(A-B))δ[A

δ[A<=B]=sign(1-sign(A-B))δ[A>B]=1-sign(1-sign(A-B))

δ[A>=B]=sign(1+sign(A-B))

例如：對于表student(name,status,parincome,selfincome)，它包括學生姓名、獨立狀況(1代表獨立，0代表非獨立)和兩種收入(來自父母和自己的)。假設要生成表格(name,income)，分別包括非獨立學生和獨立學生來自父母和自己的收入，傳統(tǒng)的SQL方法如下：

SELECT name,income=parincome*status+selfncome*(1-status)

FROM students

而利用上述討論的特征函數(shù)查詢，語句如下：

SELECT name,

income=parincome*δ[status=1]+selfincome*δ[status=0]

FROM students

傳統(tǒng)的查詢方法，如語句(1)，一旦問題復雜化，即狀態(tài)不僅是0或者1時，用公式不能直接表達出問題。例如條件不只一個時，如考慮屬性“年齡”，我們利用特征函數(shù)編碼的方法得到如下的查詢語句：

SELECT name,

income=parincome*δ[status=1]δ[age<=19]+selfincome*sign(δ[status=0]+δ[age>23])+(parincome+selfincome/2.0)*(1-δ[status=1])*δ[age<=19]-sign(δ[status=0])*δ[age>23]

FROM students

此查詢過程是：學生在19歲或19歲以下且非獨立的，結(jié)果返回parincome；學生獨立或大于23歲的，結(jié)果返回selfincome；其它情況則返回算術(shù)平均值。傳統(tǒng)的SQL解決條件查詢問題需要多個SQL語句，對每個條件進行一次數(shù)據(jù)訪問，最后通過UNION合成結(jié)果。而現(xiàn)在只用一個SQL語句，做一次數(shù)據(jù)訪問，這種方法不僅節(jié)約了查詢所需訪問數(shù)據(jù)表的次數(shù)，節(jié)省時間，減輕計算機工作量。

6結(jié)論

隨機變量特征函數(shù)的求法及應用，對于初學者來說是有難度的。傅里葉變換是一個有效工具，特征函數(shù)能夠決定分布函數(shù)，并且具有好的性質(zhì)，是研究概率分布的最好的方法，特別是研究隨機變量序列的概率分布的極限問題起關(guān)健作用，論文的目的是利用積分變換和積分方法，結(jié)合具體實例進行分析說明，有利于我們更好地認識特征函數(shù)。論文首先用辛欽一渡赫納爾定理給出了判斷函數(shù)是否為特征函數(shù)，并運用幾種不同的方法求解特征函數(shù)，使其在數(shù)學領域和其它方面得到了廣泛的運用。

參考文獻:

[1] 程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2005：206.

[2] 蔡果蘭，郭繼軍.二次型與特征函數(shù)[J].晉中師專學報，1994(4)：19-20.

[3] 黃誠,楊春和,童志怡.基于快速Fourier變換的可靠性分析方法[J].固體力學學報,2008(3)：319-324.

[4] 張弛，吳瑛.利用特征函數(shù)識別相位調(diào)制信號[J].信息工程大學學報,2008(4)：443-446.

[5] 陳虹，周常柱.快速查詢——特征函數(shù)法[J].計算機時代,1997(3)：17-20.

[6] 周茂袁，王秀麗，李雪艷.特征函數(shù)的一種新解釋及其應用[J]．吉林師范大學學報：自然科學版,2008(2)：37-38．

(責任編輯：尹曉琦)

The Study on the Method for Quantitative Changeof Stochastic Characteristic Function

JIANG Tong-bin

(School of Mathematics and Physics,Huaiyin Institute of Technology,Huai'an Jiangsu 223003,China)

Abstract:The distribution function is uniquely determined by its characteristic function. Prerequisites to judge whether a function is the characteristic function become basic requirements, basic type of a characteristic function and specific determination. The definition of characteristic function, integral transformation and integral methods are used to describe the solution of characteristic functions and their practical application in mathematics, communication, insurance, data inquiry and etc.

Key words:characteristic function;distribution function;solution;practical application

中圖分類號：O213.2

文獻標識碼：A

文章編號：1009-7961(2016)01-0081-05

作者簡介：蔣同斌(1961-)，男，江蘇漣水人，副教授，主要從事概概率與統(tǒng)計應用研究。

收稿日期：2015-11-10